Теорема Мазура–Улама

В математике теорема Мазура –Улама утверждает, что если и являются нормированными пространствами над R и отображение ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle f\colon V\to W}$

является сюръективной изометрией , то является аффинной . Это было доказано Станиславом Мазуром и Станиславом Уламом в ответ на вопрос, поднятый Стефаном Банахом . ${\displaystyle f}$

Для строго выпуклых пространств результат верен и прост, даже для изометрий, которые не обязательно являются сюръективными. В этом случае для любого и в , и для любого в , запишите и обозначьте замкнутый шар радиуса R вокруг v через . Тогда — единственный элемент , поэтому, поскольку инъективно, — единственный элемент и, следовательно, равно . Следовательно, — аффинное отображение. Этот аргумент не работает в общем случае, потому что в нормированном пространстве, которое не является строго выпуклым, два касательных шара могут встретиться в некоторой плоской выпуклой области их границы, а не только в одной точке. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle r=\|u-v\|_{V}=\|f(u)-f(v)\|_{W}}$$ ${\displaystyle {\bar {B}}(v,R)}$ ${\displaystyle tu+(1-t)v}$ ${\displaystyle {\bar {B}}(v,tr)\cap {\bar {B}}(u,(1-t)r)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(tu+(1-t)v)}$ $${\displaystyle f{\bigl (}{\bar {B}}(v,tr)\cap {\bar {B}}(u,(1-t)r{\bigr )}=f{\bigl (}{\bar {B}}(v,tr){\bigr )}\cap f{\bigl (}{\bar {B}}(u,(1-t)r{\bigr )}={\bar {B}}{\bigl (}f(v),tr{\bigr )}\cap {\bar {B}}{\bigl (}f(u),(1-t)r{\bigr )},}$$ ${\displaystyle tf(u)+(1-t)f(v)}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

Задача Александрова–Рассиаса

Ссылки

• Ричард Дж. Флеминг; Джеймс Э. Джеймисон (2003). Изометрии в банаховых пространствах: функциональные пространства . CRC Press . стр. 6. ISBN 1-58488-040-6.
• Станислав Мазур ; Станислав Улам (1932). «Сюр-ле-изометрические преобразования векторных норм». ЧР акад. наук. Париж . 194 : 946–948.
• Ника, Богдан (2012). «Теорема Мазура – ​​Улама». Экспозиции Mathematicae . 30 (4): 397–398. arXiv : 1306.2380 . дои : 10.1016/j.exmath.2012.08.010 .
• Юсси Вяйсяля (2003). «Доказательство теоремы Мазура – ​​Улама». Американский математический ежемесячник . 110 (7): 633–635. дои : 10.1080/00029890.2003.11920004. JSTOR  3647749 . S2CID  43171421.