гипотеза о кручении

Гипотеза в теории чисел

В алгебраической геометрии и теории чисел гипотеза о кручении или гипотеза равномерной ограниченности для точек кручения для абелевых многообразий утверждает, что порядок группы кручения абелева многообразия над числовым полем может быть ограничен в терминах размерности многообразия и числового поля. Более сильная версия гипотезы заключается в том, что кручение ограничено в терминах размерности многообразия и степени числового поля. Гипотеза о кручении была полностью разрешена в случае эллиптических кривых .

Эллиптические кривые

С 1906 по 1911 год Беппо Леви опубликовал ряд статей, в которых исследовал возможные конечные порядки точек на эллиптических кривых над рациональными числами. ^[1] Он показал, что существует бесконечно много эллиптических кривых над рациональными числами со следующими группами кручения:

• C _n с 1 ≤ n ≤ 10, где C _n обозначает циклическую группу порядка n ;
• С ₁₂ ;
• C _2n × C _{2 ,} где 1 ≤ n ≤ 4, где × обозначает прямую сумму .

На Международном математическом конгрессе 1908 года в Риме Леви высказал гипотезу, что это полный список групп кручения для эллиптических кривых над рациональными числами. ^[1] Гипотеза о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами была независимо переформулирована Трюгве Нагелем  (1952) и снова Эндрю Оггом  (1971), после чего гипотеза стала широко известна как гипотеза Огга . ^[1]

Эндрю Огг  (1971) установил связь между гипотезой о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами и теорией классических модулярных кривых . ^[1] В начале 1970-х годов работа Жерара Лигоза, Даниэля Куберта , Барри Мазура и Джона Тейта показала, что несколько малых значений n не встречаются как порядки точек кручения на эллиптических кривых над рациональными числами. ^[1] Барри Мазур  (1977, 1978) доказал полную гипотезу о кручении для эллиптических кривых над рациональными числами. Его методы были обобщены Камени (1992) и Камени и Мазуром (1995), которые получили равномерную ограниченность для квадратичных полей и числовых полей степени не выше 8 соответственно. Наконец, Луик Мерель  (1996) доказал гипотезу для эллиптических кривых над любым числовым полем. ^[1] Он доказал для K числового поля степени и эллиптической кривой , что существует ограничение на порядок группы кручения, зависящее только от степени . Более того, если — точка простого порядка, то мы имеем ${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|\leq B(d)}$ ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq d^{3d^{2}}.}$

Эффективная граница для размера группы кручения в терминах степени числового поля была дана Парентом (1999). Парент доказал, что для точки порядка простой степени мы имеем Задание мы получаем из структурного результата, лежащего в основе теоремы Морделла-Вейля , т.е. существуют два целых числа, такие что , грубая, но эффективная граница ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle p^{n}}$ $${\displaystyle p^{n}\leq B(d,p)={\begin{cases}129(3^{d}-1)(3d)^{6}&{\text{if }}p=2,\\65(5^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p=3,\\65(3^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p>3.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle B_{\text{max}}(d)=129(5^{d}-1)(3d)^{6}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ ${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}\cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n_{2}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B(d)=\left(B_{\text{max}}(d)^{B_{\text{max}}(d)}\right)^{2}.}$

Джозеф Эстерле в частных заметках 1994 года дал немного лучшую границу для точек простого порядка , которая оказалась полезной для вычислений над полями малого порядка, но сама по себе недостаточна для получения эффективной границы для . Дерикс и др. (2017) приводят опубликованную версию результата Эстерле. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq (3^{d/2}+1)^{2}}$ ${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|}$

Для числовых полей малой степени известны более уточненные результаты (Sutherland 2012). Полный список возможных групп кручения был дан для эллиптических кривых над (см. выше) и для квадратичных и кубических числовых полей. В степени 1 и 2 все возникающие группы встречаются бесконечно часто. То же самое справедливо для кубических полей ^[2] , за исключением группы C ₂₁ , которая встречается только в одной эллиптической кривой над . Для числовых полей четвертой и пятой степени группы кручения, которые возникают бесконечно часто, были определены. Следующая таблица дает множество всех простых чисел , которые фактически возникают как порядок точки кручения , где обозначает множество всех простых чисел, не превышающих q (Derickx et al. (2017) и Khawaja (2023)). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{9})^{+}}$ ${\displaystyle S(d)}$ ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle {\text{Primes}}(q)}$

В следующей таблице представлен набор всех простых чисел , которые встречаются бесконечно часто в порядке точки кручения (Derickx et al. (2017)). ${\displaystyle S'(d)}$

Барри Мазур выступил с обзорным докладом о гипотезе кручения ^[2] по случаю учреждения профессорской должности Огга ^[3] в Институте перспективных исследований в октябре 2022 года.

Смотрите также

• Гипотеза Бомбьери–Лэнга
• Гипотеза равномерной ограниченности для предпериодических точек
• Гипотеза равномерной ограниченности для рациональных точек

Ссылки

1. Schappacher & Schoof 1996, стр. 64–65.
2. Балакришнан, Дженнифер С .; Мазур, Барри; Догра, Нетан (10 июля 2023 г.). «Гипотеза Огга о кручении: пятьдесят лет спустя». arXiv : 2307.04752 [math.NT].
3. "Frank C. and Florence S. Ogg Professorship Established at IAS". Институт перспективных исследований . 12 октября 2022 г. Получено 16 апреля 2024 г.

Библиография

• Каменни, Шелдон (1992). "Точки кручения на эллиптических кривых и -коэффициенты модулярных форм". Inventiones Mathematicae . 109 (2): 221–229. Bibcode :1992InMat.109..221K. doi :10.1007/BF01232025. MR  1172689. S2CID  118750444. ${\displaystyle q}$
• Каменни, Шелдон; Мазур, Барри (1995). «Рациональное кручение простого порядка в эллиптических кривых над числовыми полями». Astérisque . 228 . С приложением А. Гранвиля: 81–100. MR  1330929.
• Мазур, Барри (1977). «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. дои : 10.1007/BF02684339. MR  0488287. S2CID  122609075.
• Мазур, Барри (1978), «Рациональные изогении простых степеней», Inventiones Mathematicae , 44 (2), с приложением Дориана Голдфельда : 129–162, Bibcode : 1978InMat..44..129M, doi : 10.1007/BF01390348, MR  0482230, S2CID  121987166
• Мерель, Лоик (1996). «Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres» [Оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на французском языке). 124 (1): 437–449. Бибкод : 1996InMat.124..437M. дои : 10.1007/s002220050059. MR  1369424. S2CID  3590991.
• Нагель, Трюгве (1952). «Проблемы теории исключительных точек на плоских кубиках рода один». Den 11te Skandinaviske Matematikarkongress, Тронхейм, 1949, Осло . Йохан Грундт Танум форлаг  [нет] . стр. 71–76. ОСЛК  608098404.
• Огг, Эндрю (1971). «Рациональные точки конечного порядка на эллиптических кривых». Inventiones Mathematicae . 22 (2): 105–111. Bibcode : 1971InMat..12..105O. doi : 10.1007/BF01404654. S2CID  121794531.
• Огг, Эндрю (1973). «Рациональные точки на некоторых эллиптических модулярных кривых». Proc. Symp. Pure Math . Труды симпозиумов по чистой математике. 24 : 221–231. doi :10.1090/pspum/024/0337974. ISBN 9780821814246.
• Родитель, Пьер (1999). «Эффективные оценки Борна для кручения эллиптических кривых над числовыми полями». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на французском языке). 1999 (506): 85–116. arXiv : alg-geom/9611022 . doi : 10.1515/crll.1999.009. МР  1665681.
• Шаппахер, Норберт ; Шоф, Рене (1996), «Беппо Леви и арифметика эллиптических кривых» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 57–69, doi :10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
• Сазерленд, Эндрю В. (2012). "Подгруппы кручения эллиптических кривых над числовыми полями" (PDF) . math.mit.edu .
• Derickx, Maarten; Kamienny, Sheldon; Stein, William; Stoll, Michael (2017). «Точки кручения на эллиптических кривых над числовыми полями малой степени». arXiv : 1707.00364 [math.NT].
• Хаваджа, Малиха (2023). «Простые числа кручения для эллиптических кривых над числовыми полями степени 8». arXiv : 2304.14284 [math.NT].