График Маккея

Построение в теории графов

В математике граф Маккея конечномерного представления V конечной группы G — это взвешенный колчан, кодирующий структуру теории представлений G. Каждый узел представляет неприводимое представление G. Если χ _i , χ _j — неприводимые представления G , то существует стрелка из χ _i в χ _j тогда и только тогда, когда χ _j — составная часть тензорного произведения Тогда вес n _ij стрелки — это количество раз, которое эта составная часть появляется в Для конечных подгрупп H из ⁠ ⁠ граф Маккея группы H — это граф Маккея определяющего двумерного представления H. ${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$ ${\displaystyle V\otimes \chi _{i}.}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}$

Если G имеет n неприводимых характеров, то матрица Картана c _V представления V размерности d определяется как где δ — символ Кронекера . Результат Роберта Стейнберга гласит, что если g — представитель класса сопряженности G , то векторы являются собственными векторами c _V к собственным значениям, где χ _V — характер представления V . ^[1] ${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$ ${\displaystyle ((\chi _{i}(g))_{i}}$ ${\displaystyle d-\chi _{V}(g),}$

Соответствие Маккея, названное в честь Джона Маккея , утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между графами Маккея конечных подгрупп ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ и расширенными диаграммами Дынкина , которые появляются в классификации ADE простых алгебр Ли . ^[2]

Определение

Пусть G — конечная группа, V — представление G , а χ — ее характер. Пусть — неприводимые представления G. Если ${\displaystyle \{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}}$

${\displaystyle V\otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\chi _{j},}$

затем определите граф Маккея Γ _G группы G относительно V следующим образом:

• Каждое неприводимое представление G соответствует узлу в Γ _G .
• Если n _ij > 0 , то существует стрелка из χ _i в χ _j веса n _ij , записываемая как или иногда как n _ij непомеченные стрелки. ${\displaystyle \chi _{i}\xrightarrow {n_{ij}} \chi _{j},}$
• Если мы обозначим две противоположные стрелки между χ _i , χ _j как ненаправленное ребро веса n _ij . Более того, если мы опустим метку веса. ${\displaystyle n_{ij}=n_{ji},}$ ${\displaystyle n_{ij}=1,}$

Мы можем вычислить значение n _ij, используя внутреннее произведение символов : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.}$

Граф Маккея конечной подгруппы ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} )}$ определяется как граф Маккея ее канонического представления.

Для конечных подгрупп ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ каноническое представление на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ является самодвойственным, поэтому для всех i, j . Таким образом, граф Маккея конечных подгрупп ⁠ ⁠ неориентирован. ${\displaystyle n_{ij}=n_{ji}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

На самом деле, согласно соответствию Маккея, существует взаимно-однозначное соответствие между конечными подгруппами ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ и расширенными диаграммами Коксетера-Дынкина типа ADE.

Определим матрицу Картана c _V для V следующим образом:

${\displaystyle c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},}$

где δ _ij — символ Кронекера .

Некоторые результаты

• Если представление V является точным, то каждое неприводимое представление содержится в некоторой тензорной степени и граф Маккея представления V является связным. ${\displaystyle V^{\otimes k},}$
• Граф Маккея конечной подгруппы ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ не имеет петель, то есть для всех i . ${\displaystyle n_{ii}=0}$
• Все стрелки графа Маккея конечной подгруппы ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ имеют вес один.

Примеры

• Предположим, что G = A × B , и существуют канонические неприводимые представления c _A , c _B групп A и B соответственно. Если χ _i , i = 1, …, k , являются неприводимыми представлениями группы A , а ψ _j , j = 1, …, ℓ , являются неприводимыми представлениями группы B , то

${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell }$

являются неприводимыми представлениями A × B , где В этом случае мы имеем ${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B.}$

${\displaystyle \langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .}$

Следовательно, в графе Маккея G есть стрелка между и тогда и только тогда, когда в графе Маккея A есть стрелка между χ _i , χ _k и в графе Маккея B есть стрелка между ψ _j , ψ _ℓ . В этом случае вес стрелки в графе Маккея G является произведением весов двух соответствующих стрелок в графах Маккея A и B . ${\displaystyle \chi _{i}\times \psi _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{k}\times \psi _{\ell }}$

• Феликс Клейн доказал, что конечные подгруппы ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ являются бинарными полиэдральными группами; все они сопряжены с подгруппами ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} ).}$ Соответствие Маккея утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между графами Маккея этих бинарных полиэдральных групп и расширенными диаграммами Дынкина. Например, бинарная тетраэдральная группа порождается матрицами ⁠ ⁠ : ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),}$

где ε — примитивный корень восьмой степени из единицы. Фактически, мы имеем

${\displaystyle {\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.}$

Классы сопряженности : ${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle C_{1}=\{U^{0}=I\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{U^{3}=-I\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},}$

${\displaystyle C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},}$

${\displaystyle C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.}$

Таблица символов : ${\displaystyle {\overline {T}}}$

Здесь каноническое представление V здесь обозначается как  c . Используя скалярное произведение, мы находим, что граф Маккея является расширенной диаграммой Коксетера–Дынкина типа ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}.}$ ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}.}$

Смотрите также

• классификация ADE
• Двоичная тетраэдрическая группа

Ссылки

1. Стейнберг, Роберт (1985), «Подгруппы , диаграммы Дынкина и аффинные элементы Кокстера», Pacific Journal of Mathematics , 18 : 587–598, doi :10.2140/pjm.1985.118.587 ${\displaystyle SU_{2}}$
2. Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая жилка», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag

Дальнейшее чтение

• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7
• Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (2001), Представления и характеры групп (2-е изд.) , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00392-X
• Кляйн, Феликс (1884), «Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade», Тойбнер , Лейбниц
• Маккей, Джон (1980), «Графы, особенности и конечные группы», Proc. Symp. Pure Math. , Труды симпозиумов по чистой математике, 37 , Amer. Math. Soc.: 183–186, doi : 10.1090/pspum/037/604577 , ISBN 9780821814406
• Рименшнайдер, Освальд (2005), Соответствие Маккея для особенностей фактор-поверхности , Особенности в геометрии и топологии, Труды Триестской летней школы и семинара по особенностям, стр. 483–519