Измеримое пространство

Основной объект в теории меры: множество и сигма-алгебра

В математике измеримое пространство или пространство Бореля ^[1] является базовым объектом в теории меры . Оно состоит из множества и σ-алгебры , которая определяет подмножества , которые будут измеряться.

Она охватывает и обобщает интуитивные понятия, такие как длина, площадь и объем, с помощью набора «точек» в пространстве, но регионы пространства являются элементами σ-алгебры , поскольку интуитивные меры обычно не определяются для точек. Алгебра также охватывает отношения, которые можно ожидать от регионов: регион может быть определен как пересечение других регионов, объединение других регионов или пространство за исключением другого региона. ${\displaystyle X}$

Определение

Рассмотрим множество и σ-алгебру на Тогда кортеж называется измеримым пространством. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Обратите внимание, что в отличие от пространства меры , для измеримого пространства мера не требуется.

Пример

Посмотрите на множество: Одна возможная -алгебра будет: Тогда - измеримое пространство. Другая возможная -алгебра будет набором мощности на : При этом второе измеримое пространство на множестве задается как $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Общие измеримые пространства

Если конечно или счетно бесконечно, то -алгебра чаще всего является степенным множеством , поэтому Это приводит к измеримому пространству ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Если - топологическое пространство , то -алгебра чаще всего является -алгеброй Бореля, поэтому Это приводит к измеримому пространству , которое является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Неоднозначность с пространствами Бореля

Термин «пространство Бореля» используется для различных типов измеримых пространств. Он может относиться к

• любое измеримое пространство, поэтому это синоним измеримого пространства, как определено выше ^[1]
• измеримое пространство, изоморфное по Борелю измеримому подмножеству действительных чисел (снова с -алгеброй Бореля) ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Смотрите также

• Множество Бореля  – Класс математических множеств
• Измеримая функция  – Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Мера  – обобщение массы, длины, площади и объема.
• Стандартное борелевское пространство  – Математическое построение в топологии
• Категория измеримых пространств

Ссылки

1. Сазонов, В.В. (2001) [1994], "Измеримое пространство", Энциклопедия математики , EMS Press
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. стр. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Т. 77. Швейцария: Springer. С. 15. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.