Тетраэдр Рело

Форма, образованная пересечением четырех шаров.

Анимация тетраэдра Рело, показывающая также тетраэдр, из которого он образован.

Четыре шара пересекаются, образуя тетраэдр Рело.

Рело Тетраэдр

Тетраэдр Рело — это пересечение четырех шаров радиуса s с центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной стороны s . ^[1] Сферическая поверхность шара с центром в каждой вершине проходит через три другие вершины, которые также образуют вершины тетраэдра Рело. Таким образом, центр каждого шара находится на поверхностях трех других шаров. Тетраэдр Рело имеет ту же структуру граней, что и правильный тетраэдр, но с изогнутыми гранями: четырьмя вершинами и четырьмя изогнутыми гранями, соединенными шестью дугами окружности.

Эта форма определена и названа по аналогии с треугольником Рело , двумерной кривой постоянной ширины ; Обе формы названы в честь Франца Рёло , немецкого инженера XIX века, который провел новаторскую работу над способами, с помощью которых машины преобразуют один тип движения в другой. В математической литературе можно встретить неоднократные утверждения о том, что тетраэдр Рело аналогично представляет собой поверхность постоянной ширины , но это неверно: две средние точки противоположных реберных дуг разделены большим расстоянием,

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249s.}$

Объем и площадь поверхности

Объем тетраэдра Рело равен ^[1]

${\displaystyle {\frac {s^{3}}{12}}(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\;\!)={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422s^{3}.}$

Площадь поверхности [ ^1]

${\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.}$

Мейснеровские тела

Эрнст Мейснер и Фридрих Шиллинг ^[2] показали, как модифицировать тетраэдр Рело, чтобы сформировать поверхность постоянной ширины , заменив три его реберные дуги изогнутыми участками, образованными как поверхности вращения дуги окружности. В соответствии с заменой трех реберных дуг (три, имеющих общую вершину, или трех, образующих треугольник) получаются две неконгруэнтные фигуры, которые иногда называют телами Мейснера или тетраэдрами Мейснера . ^[3]

Нерешенная задача по математике :

Являются ли два тетраэдра Мейснера трехмерными фигурами минимального объема и постоянной ширины?

(еще нерешенные задачи по математике)

Боннесен и Фенхель ^[4] предположили, что тетраэдры Мейсснера представляют собой трехмерные формы минимального объема и постоянной ширины, и эта гипотеза до сих пор остается открытой. ^[5] В связи с этой проблемой Кампи, Колесанти и Гронки ^[6] показали, что поверхность вращения минимального объема постоянной ширины является поверхностью вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии.

Одна из картин Ман Рэя , «Гамлет» , была основана на сделанной им фотографии тетраэдра Мейснера ^[7] , который, по его мнению, напоминал череп Йорика и грудь Офелии из шекспировского « Гамлета ». ^[8]

Рекомендации

1. Weisstein, Эрик В. (2008), Reuleaux Tetrahedron, MathWorld – Веб-ресурс Wolfram
2. Мейснер, Эрнст; Шиллинг, Фридрих (1912), «Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite», Z. Math. Физ. , 60 : 92–94
3. Вебер, Кристоф (2009). «Какое отношение это твердое тело имеет к шару?» (PDF) .
4. Боннесен, Томми; Фенхель, Вернер (1934), Theorie der konvexen Körper , Springer-Verlag, стр. 127–139.
5. Каволь, Бернд; Вебер, Кристоф (2011), «Таинственные тела Мейснера» (PDF) , Mathematical Intelligencer , 33 (3): 94–101, doi : 10.1007/s00283-011-9239-y, S2CID  120570093
6. Кампи, Стефано; Колезанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), «Задачи минимума для объемов выпуклых тел», Уравнения в частных производных и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55, номер документа : 10.1201/9780203744369-7.
7. Свифт, Сара (20 апреля 2015 г.), «Значение в Гамлете Ман Рэя», Экспериментальная станция , Коллекция Филлипса.
8. Дорфман, Джон (март 2015 г.), «Секретные формулы: Шекспир и высшая математика встречаются в поздней великой серии картин Ман Рэя, Шекспировские уравнения», Art & Antiques , А что касается Гамлета , то Ман Рэй сам нарушил свое правило и предложил небольшой комментарий: «Белая треугольная выпуклая форма, которую вы видите в «Гамлете », напомнила мне белый череп» — несомненно, имея в виду череп Йорика, которого Гамлет допрашивает в игре, — «геометрический череп, который также был похож на грудь Офелии. Поэтому я добавил маленькую розовую точку в одном из трех углов — небольшой эротический штрих, если хотите!»

Внешние ссылки

• Лашан-Роберт, Томас; Уде, Эдуард. «Сфероформы». Архивировано из оригинала 2 октября 2006 г. Проверено 12 сентября 2006 г.
• Вебер, Кристоф. «Тела постоянной ширины».Есть также фильмы и даже интерактивные изображения обоих тел Мейснера.
• Робертс, Патрик. «Сфероформа с тетраэдрической симметрией».Включает трехмерные изображения и ссылку на математическую статью, показывающую доказательство постоянной ширины.