Парадокс Милнера–Радо

В теории множеств , разделе математики, парадокс Милнера – Радо , открытый Эриком Чарльзом Милнером и Ричардом Радо  (1965), утверждает, что каждое порядковое число, меньшее следующего за некоторым кардинальным числом, может быть записано в виде объединения множеств , где имеет тип порядка не более κ ⁿ для n – положительного целого числа. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Доказательство

Доказательство — трансфинитная индукция. Пусть — предельный ординал (индукция тривиальна для последующих ординалов), и для каждого пусть — разбиение , удовлетворяющее требованиям теоремы. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \{X_{n}^{\beta }\}_{n}}$ ${\displaystyle \beta }$

Исправьте возрастающую последовательность, конфинальную в с помощью . ${\displaystyle \{\beta _{\gamma }\}_{\gamma <\mathrm {cf} \,(\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{0}=0}$

Примечание . ${\displaystyle \mathrm {cf} \,(\alpha )\leq \kappa }$

Определять:

${\displaystyle X_{0}^{\alpha }=\{0\};\ \ X_{n+1}^{\alpha }=\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$

Обратите внимание, что:

${\displaystyle \bigcup _{n>0}X_{n}^{\alpha }=\bigcup _{n}\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\bigcup _{n}X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }=\alpha \setminus \beta _{0}}$

и так . ${\displaystyle \bigcup _{n}X_{n}^{\alpha }=\alpha }$

Пусть будет типом ордера . Что касается типов ордеров, то очевидно . ${\displaystyle \mathrm {ot} \,(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{0}^{\alpha })=1=\kappa ^{0}}$

Отмечая, что множества образуют последовательную последовательность порядковых интервалов, и что каждый из них является хвостовым сегментом , тогда: ${\displaystyle \beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}}$

${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{n+1}^{\alpha })=\sum _{\gamma }\mathrm {ot} (X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma })\leq \sum _{\gamma }\kappa ^{n}=\kappa ^{n}\cdot \mathrm {cf} (\alpha )\leq \kappa ^{n}\cdot \kappa =\kappa ^{n+1}}$

Ссылки

• Милнер, EC; Радо, Р. (1965), «Принцип ящика для порядковых чисел», Труды Лондонского математического общества , Серия 3, 15 : 750–768, doi :10.1112/plms/s3-15.1.750, MR  0190003
• Как доказать парадокс Милнера-Радо? - Mathematics Stack Exchange