Лемма Морса–Пале

В математике лемма Морса –Пале является результатом вариационного исчисления и теории гильбертовых пространств . Грубо говоря, она утверждает, что достаточно гладкая функция вблизи критической точки может быть выражена в виде квадратичной формы после подходящей замены координат.

Лемма Морса–Пале была первоначально доказана в конечномерном случае американским математиком Марстоном Морсом с использованием процесса ортогонализации Грама–Шмидта . Этот результат играет решающую роль в теории Морса . Обобщение на гильбертовы пространства принадлежит Ричарду Пале и Стивену Смейлу .

Утверждение леммы

Пусть — действительное гильбертово пространство, и пусть — открытая окрестность начала координат в Пусть — непрерывно дифференцируемая функция , причем имеет место, Предположим, что и что — невырожденная критическая точка , то есть вторая производная определяет изоморфизм с его непрерывным сопряженным пространством следующим образом: ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (k+2)}$ ${\displaystyle k\geq 1;}$ ${\displaystyle f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f;}$ ${\displaystyle D^{2}f(0)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$ $${\displaystyle H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.}$$

Тогда существует подокрестность в диффеоморфизме , имеющем обратный , и обратимый симметричный оператор такой, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \varphi :V\to V}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle A:H\to H,}$ $${\displaystyle f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

Следствие

Пусть будет таким, что — невырожденная критическая точка. Тогда существует -с- -обратным диффеоморфизм и ортогональное разложение, такие, что если написать то ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in C^{k+2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \psi :V\to V}$ $${\displaystyle H=G\oplus G^{\perp },}$$ $${\displaystyle \psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },}$$ $${\displaystyle f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

Смотрите также

• Производная Фреше  – Производная, определенная на нормированных пространствах

Ссылки

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Рединг, Массачусетс–Лондон–Дон Миллс, Онтарио: Addison–Wesley Publishing Co., Inc.