В алгебраической геометрии группа Мамфорда–Тейта (или группа Ходжа ) MT ( F ), построенная из структуры Ходжа F , является некоторой алгебраической группой G . Когда F задано рациональным представлением алгебраического тора , определение G есть замыкание Зарисского образа в представлении группы окружности , над рациональными числами . Мамфорд (1966) ввел группы Мамфорда–Тейта над комплексными числами под названием групп Ходжа. Серр (1967) ввел p -адический аналог конструкции Мамфорда для модулей Ходжа–Тейта , используя работу Тейта (1967) о p-делимых группах , и назвал их группами Мамфорда–Тейта.
Алгебраический тор T, используемый для описания структур Ходжа, имеет конкретное матричное представление в виде обратимых матриц 2×2 формы, которая задается действием a + bi на основе {1, i } комплексных чисел C над R :
Группа окружностей внутри этой группы матриц является унитарной группой U (1).
Структуры Ходжа, возникающие в геометрии, например, на группах когомологий кэлеровых многообразий , имеют решетку, состоящую из целочисленных классов когомологий. Для определения группы Мамфорда–Тейта требуется не так много, но она предполагает, что векторное пространство V, лежащее в основе структуры Ходжа, имеет заданную рациональную структуру, т. е. задано над рациональными числами Q. Для целей теории используется комплексное векторное пространство V C , полученное путем расширения скаляров V от Q до C .
Вес k структуры Ходжа описывает действие диагональных матриц T , и V , следовательно, предполагается однородным веса k , под действием этого действия. Под действием полной группы V C распадается на подпространства V pq , комплексно сопряженные попарно при переключении p и q . Думая о матрице в терминах комплексного числа λ , которое она представляет, V pq имеет действие λ в p -й степени и комплексно сопряженного λ в q -й степени. Здесь обязательно
В более абстрактных терминах тор T, лежащий в основе матричной группы, является ограничением Вейля мультипликативной группы GL (1) с комплексного поля на действительное поле, алгебраическим тором, группа характеров которого состоит из двух гомоморфизмов в GL (1), замененных комплексным сопряжением.
После такой формулировки рациональное представление ρ группы T на V , устанавливающее структуру Ходжа F, определяет образ ρ( U (1)) в GL ( V C ); а MT ( F ) по определению является наименьшей алгебраической группой, определенной над Q, содержащей этот образ. [1]
Первоначальным контекстом для формулировки рассматриваемой группы был вопрос о представлении Галуа на модуле Тейта абелева многообразия A . Предположительно, образ такого представления Галуа, которое является l-адической группой Ли для заданного простого числа l , определяется соответствующей группой Мамфорда–Тейта G (исходящей из структуры Ходжа на H 1 ( A )), в той мере, в которой знание G определяет алгебру Ли образа Галуа. Эта гипотеза известна только в частных случаях. [2] Благодаря обобщениям этой гипотезы группа Мамфорда–Тейта была связана с мотивной группой Галуа и, например, с общим вопросом о расширении гипотезы Сато–Тейта (теперь теоремы).
Связанная гипотеза об абелевых многообразиях утверждает, что матрица периодов A над числовым полем имеет степень трансцендентности , в смысле поля, порожденного ее элементами, предсказанную размерностью ее группы Мамфорда–Тейта, как в предыдущем разделе. Работа Пьера Делиня показала, что размерность ограничивает степень трансцендентности; так что группа Мамфорда–Тейта улавливает достаточно много алгебраических соотношений между периодами. Это частный случай полной гипотезы о периодах Гротендика. [3] [4]
