Модель Нагеля–Шрекенберга — это теоретическая модель для моделирования движения по скоростным автомагистралям . Модель была разработана в начале 1990-х годов немецкими физиками Каем Нагелем и Михаэлем Шрекенбергом. [1] По сути, это простая модель клеточного автомата для дорожного транспортного потока , которая может воспроизводить пробки, т. е. показывать замедление средней скорости автомобилей, когда дорога переполнена (высокая плотность автомобилей). Модель показывает, как пробки можно рассматривать как возникающее или коллективное явление из-за взаимодействия между автомобилями на дороге, когда плотность автомобилей высока и поэтому автомобили в среднем находятся близко друг к другу.
В модели Нагеля–Шрекенберга дорога делится на ячейки . В исходной модели эти ячейки выровнены в один ряд, концы которого соединены так, что все ячейки образуют круг (это пример того, что называется периодическими граничными условиями ). Каждая ячейка либо является пустой дорогой, либо содержит одну машину; т. е. в ячейке в любой момент времени может находиться не более одной машины. Каждой машине назначается скорость, которая является целым числом от 0 до максимальной скорости (= 5 в исходной работе Нагеля и Шрекенберга).
Время дискретизируется на временные шаги. Эта дискретизация как в пространстве, так и во времени приводит к клеточному автомату. Можно представить себе клетку длиной в несколько длин автомобиля, а максимальную скорость — как ограничение скорости на дороге. Тогда временной шаг — это время, необходимое автомобилю с ограничением скорости для проезда около 10 длин автомобиля. Однако модель можно также рассматривать как просто способ понять или смоделировать особенности дорожных пробок, показывая, как взаимодействие между соседними автомобилями заставляет автомобили замедляться. На каждом временном шаге процедура выглядит следующим образом. [1]
На каждом шаге выполняются следующие четыре действия в порядке от первого к последнему, и все они применяются ко всем автомобилям. На каждом действии обновления применяются ко всем автомобилям параллельно.
Эти четыре действия повторяются много раз, столько, сколько требуется для изучения возможных пробок. Модель является примером клеточного автомата . Модель предназначена для одной полосы, где автомобили не могут разъезжаться; обгон невозможен.
Выше и справа представлен график средней скорости как функции плотности автомобилей, полученный в результате моделирования исходной модели Нагеля–Шрекенберга. [1] В детерминированном пределе, p = 0, скорость постоянна при максимальной скорости (здесь 5) до плотности ρ = 1/(максимальная скорость + 1) = 1/6 = 0,167, в этой точке наблюдается разрыв в наклоне из-за внезапного появления пробок. Затем, по мере дальнейшего увеличения плотности, средняя скорость уменьшается, пока не достигнет нуля, когда дорога будет занята на 100%. Когда p = 0,3, и, таким образом, происходят случайные уменьшения скорости, то при низких плотностях средняя скорость, конечно, медленнее. Однако следует отметить, что p > 0 также смещает плотность, при которой появляются пробки, в сторону более низких плотностей — пробки появляются в точке перегиба кривой, которая при p = 0,3 близка к 0,15, а случайные замедления сглаживают разрыв в наклоне, обнаруженный при p = 0 в начале возникновения пробок. [2]
Справа — результат примера имитационного прогона модели Нагеля–Шрекенберга с максимальной скоростью 5, плотностью автомобилей 0,35 и вероятностью замедления p = 0,3. Это дорога из 100 ячеек. Автомобили показаны черными точками, и поэтому, например, если бы на дороге была одна машина, график был бы белым, за исключением одной черной линии с уклоном −1/5 (максимальная скорость = 5). Линии имеют более крутые уклоны, что указывает на то, что заторы замедляют автомобили. Небольшие пробки отображаются в виде темных полос, т. е. групп автомобилей, которые находятся нос к хвосту и медленно движутся вправо. Волнистость полос обусловлена шагом рандомизации.
Итак, модель Нагеля–Шрекенберга учитывает эффект, когда автомобили мешают друг другу и тем самым замедляют друг друга. Средняя скорость при этой плотности немного больше 1, а при низкой плотности она немного меньше максимальной скорости 5. Она также показывает, что это коллективное явление, при котором автомобили скапливаются в пробках. Когда происходит затор, распределение автомобилей вдоль дороги становится крайне неравномерным.
Без шага рандомизации (третье действие) модель представляет собой детерминированный алгоритм , т. е. автомобили всегда движутся по заданному шаблону после того, как задано исходное состояние дороги. С рандомизацией это не так, как на реальной дороге с водителями-людьми. Рандомизация имеет эффект сглаживания в противном случае резкого перехода. [2] Чуть ниже этого перехода один автомобиль, тормозящий из-за случайного замедления, может замедлить автомобили позади, спонтанно создавая пробку. Эта особенность одного автомобиля, тормозящего случайным образом и вызывающего пробку, отсутствует в детерминированной модели.