Первые три шага построения кривой Гильберта , заполняющей пространство кривой, которая по теореме Нетто имеет много самопересеченийКривая Осгуда , без самопересечений. По теореме Нетто такая кривая не может полностью покрыть любую двумерную область.
В математическом анализе теорема Нетто утверждает, что непрерывные биекции гладких многообразий сохраняют размерность . То есть, не существует непрерывной биекции между двумя гладкими многообразиями разной размерности. Она названа в честь Эжена Нетто . [1]
Случай отображений из многообразия большей размерности в многообразие одномерное было доказано Якобом Люротом в 1878 году, который использовал теорему о промежуточном значении, чтобы показать, что никакое многообразие, содержащее топологическую окружность, не может быть отображено непрерывно и биективно на вещественную прямую . И Нетто в 1878 году, и Георг Кантор в 1879 году дали ошибочные доказательства общей теоремы. Ошибки были позже обнаружены и исправлены. [2]
Важный частный случай этой теоремы касается несуществования непрерывных биекций из одномерных пространств, таких как вещественная прямая или единичный интервал , в двумерные пространства, такие как евклидова плоскость или единичный квадрат . Условия теоремы можно ослабить разными способами, чтобы получить интересные классы функций из одномерных пространств в двумерные пространства:
Кривые, заполняющие пространство, являются сюръективными непрерывными функциями из одномерных пространств в двумерные пространства. Они покрывают каждую точку плоскости или единичного квадрата образом линии или единичного интервала. Примерами являются кривая Пеано и кривая Гильберта . Ни один из этих примеров не имеет самопересечений, но по теореме Нетто существует много точек квадрата, которые покрываются этими кривыми несколько раз. [1]
Кривые Осгуда — это непрерывные биекции из одномерных пространств в подмножества плоскости, имеющие ненулевую площадь . Они образуют жордановы кривые на плоскости. Однако, по теореме Нетто, они не могут покрыть всю плоскость, единичный квадрат или любую другую двумерную область . [1]
Если ослабить требование непрерывности, то все гладкие многообразия ограниченной размерности имеют одинаковую мощность , мощность континуума . Следовательно, существуют разрывные биекции между любыми двумя из них, как показал Георг Кантор в 1878 году. [2] [3] Результат Кантора стал неожиданностью для многих математиков и положил начало направлению исследований, приведших к кривым, заполняющим пространство, кривым Осгуда и теореме Нетто. [2] Почти биекция из единичного квадрата в единичный интервал может быть получена путем чередования цифр десятичных представлений декартовых координат точек в квадрате. Неоднозначности десятичных чисел, проиллюстрированные двумя десятичными представлениями 1 = 0,999... , приводят к тому, что это инъекция , а не биекция, но эту проблему можно исправить, используя теорему Шредера–Бернштейна . [3]
Ссылки
^ abc Саган, Ганс (1994), Кривые, заполняющие пространство, Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, г-н 1299533. Для формулировки теоремы и исторического фона см. Теорему 1.3, стр. 6. Для ее доказательства для случая биекций между единичным интервалом и двумерным множеством см. Раздел 6.4, «Доказательство теоремы Нетто», стр. 97–98. Для применения теоремы Нетто к самопересечениям кривых, заполняющих пространство, и для кривых Осгуда см. Главу 8, «Жордановы кривые положительной меры Лебега», стр. 131–143.
^ abc Dauben, Joseph W. (1975), «Инвариантность размерности: проблемы раннего развития теории множеств и топологии», Historia Mathematica , 2 : 273–288, doi : 10.1016/0315-0860(75)90066-X , MR 0476319
^ ab Gouvêa, Fernando Q. (2011), «Был ли Кантор удивлен?», The American Mathematical Monthly , 118 (3): 198–209, doi :10.4169/amer.math.monthly.118.03.198, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.118.03.198, MR 2800330
