В математике теорема классификации Терстона характеризует гомеоморфизмы компактной ориентируемой поверхности . Теорема Уильяма Терстона завершает работу, начатую Якобом Нильсеном (1944).
Если задан гомеоморфизм f : S → S , то существует отображение g , изотопное f , такое , что выполняется по крайней мере одно из следующих условий:
Случай, когда S является тором (т. е. поверхностью, род которой равен единице), рассматривается отдельно (см. торическое расслоение ) и был известен до работы Терстона. Если род S равен двум или больше, то S является естественно гиперболическим , и инструменты теории Тейхмюллера становятся полезными. В дальнейшем мы предполагаем, что S имеет род по крайней мере два, поскольку именно этот случай рассматривал Терстон. (Однако следует отметить, что случаи, когда S имеет границу или не является ориентируемым, определенно по-прежнему представляют интерес.)
Три типа в этой классификации не являются взаимоисключающими, хотя псевдо-аносовский гомеоморфизм никогда не является периодическим или приводимым . Приводимый гомеоморфизм g может быть далее проанализирован путем разрезания поверхности вдоль сохраненного объединения простых замкнутых кривых Γ . На каждую из полученных компактных поверхностей с границей действует некоторая степень (т. е. итерированная композиция ) g , и классификация снова может быть применена к этому гомеоморфизму.
Классификация Терстона применима к гомеоморфизмам ориентируемых поверхностей рода ≥ 2, но тип гомеоморфизма зависит только от связанного с ним элемента группы классов отображений Mod(S) . Фактически, доказательство теоремы классификации приводит к каноническому представителю каждого класса отображений с хорошими геометрическими свойствами. Например:
Первоначальной мотивацией Терстона для разработки этой классификации было нахождение геометрических структур на торах отображения типа, предсказанного гипотезой геометризации . Тор отображения M g гомеоморфизма g поверхности S — это 3-многообразие, полученное из S × [0,1] путем склеивания S × {0} с S × {1} с помощью g . Если S имеет род не менее двух, геометрическая структура M g связана с типом g в классификации следующим образом:
Первые два случая сравнительно просты, в то время как существование гиперболической структуры на отображающем торе псевдоаносовского гомеоморфизма является глубокой и сложной теоремой (также принадлежащей Терстону ). Гиперболические 3-многообразия, возникающие таким образом, называются расслоенными, поскольку они являются поверхностными расслоениями над окружностью , и эти многообразия рассматриваются отдельно в доказательстве теоремы геометризации Терстона для многообразий Хакена . Расслоенные гиперболические 3-многообразия обладают рядом интересных и патологических свойств; например, Кэннон и Терстон показали, что поверхностная подгруппа возникающей клейновой группы имеет предельное множество , которое является кривой, заполняющей сферу .
Три типа гомеоморфизмов поверхности также связаны с динамикой группы классов отображений Mod( S ) на пространстве Тейхмюллера T ( S ). Терстон ввел компактификацию T ( S ), которая гомеоморфна замкнутому шару, и на которую действие Mod( S ) естественным образом распространяется. Тип элемента g группы классов отображений в классификации Терстона связан с его неподвижными точками при действии на компактификацию T ( S ):
Это напоминает классификацию гиперболических изометрий на эллиптические , параболические и гиперболические типы (которые имеют структуры неподвижных точек, подобные периодическим , приводимым и псевдоаносовским типам, перечисленным выше).