Теорема о запрете удаления

Основная теорема квантовой обработки информации

В физике теорема о запрете удаления квантовой теории информации — это запретная теорема , которая утверждает, что, как правило, при наличии двух копий некоторого произвольного квантового состояния невозможно удалить одну из копий. Это двойственная по времени теорема о запрете клонирования ^{[1] [2]} , которая утверждает, что произвольные состояния не могут быть скопированы. Это доказали Арун К. Пати и Сэмюэл Л. Браунштейн . ^[3] Интуитивно это происходит потому, что информация сохраняется в условиях унитарной эволюции. ^[4]

Эта теорема кажется замечательной, поскольку во многих смыслах квантовые состояния хрупкие; теорема утверждает, что в частном случае они также робастны.

Теорема о запрете удаления вместе с теоремой о запрете клонирования лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теории категорий и, в частности, как кинжало-симметричной моноидальной категории . ^{[5] [6]} Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика , в свою очередь позволяет связать квантовую механику с линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в точной аналогии с классической логикой, основанной на декартовых замкнутых категориях ) .

Обзор

Предположим, что существуют две копии неизвестного квантового состояния. В этом контексте уместен вопрос: возможно ли, имея две идентичные копии, удалить одну из них с помощью квантово-механических операций? Оказывается, нельзя. Теорема о запрете удаления является следствием линейности квантовой механики . Как и теорема о запрете клонирования, это имеет важные последствия для квантовых вычислений , квантовой теории информации и квантовой механики в целом.

Процесс квантового удаления берет две копии произвольного неизвестного квантового состояния на входном порту и выводит пустое состояние вместе с оригиналом. Математически это можно описать следующим образом:

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}}$

где – унитарный оператор, – неизвестное квантовое состояние, – пустое состояние, – начальное состояние удаляющей машины и – конечное состояние машины. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |0\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |A\rangle _{C}}$ ${\displaystyle |A'\rangle _{C}}$

Можно отметить, что классические биты можно копировать и удалять, как и кубиты в ортогональных состояниях. Например, если у нас есть два одинаковых кубита , мы можем преобразовать их в и . В данном случае мы удалили вторую копию. Однако из линейности квантовой теории следует, что не существует человека, способного выполнить операцию удаления для любого произвольного состояния . ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Официальное заявление

Даны три гильбертовых пространства для систем такие, что гильбертовы пространства для систем идентичны. ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle A,B}$

If — унитарное преобразование и вспомогательное состояние, такое, что ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |A\rangle _{C}}$

$${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},\quad \forall |\psi \rangle }$$

${\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\mapsto |A_{\psi }\rangle _{C}}$

Доказательство

Теорема справедлива для квантовых состояний в гильбертовом пространстве любой размерности. Для простоты рассмотрим удаляющее преобразование для двух одинаковых кубитов. Если два кубита находятся в ортогональных состояниях, то для удаления требуется, чтобы

${\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}}$,

${\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}}$.

Пусть — состояние неизвестного кубита. Если у нас есть две копии неизвестного кубита, то по линейности удаляющего преобразования имеем ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}}$

${\displaystyle \qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.}$

В приведенном выше выражении было использовано следующее преобразование:

${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.}$

Однако если мы можем удалить копию, то на выходном порту удаляющей машины комбинированное состояние должно быть

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}}$.

В общем, эти состояния не идентичны, и поэтому мы можем сказать, что машине не удается удалить копию. Если мы потребуем, чтобы конечные выходные состояния были одинаковыми, мы увидим, что есть только один вариант:

${\displaystyle |\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),}$

и

${\displaystyle |A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.}$

Поскольку конечное состояние вспомогательной функции нормализовано для всех ее значений, должно быть верно, что и ортогональны. Это означает, что квантовая информация просто находится в конечном состоянии вспомогательной системы. Всегда можно получить неизвестное состояние из конечного состояния вспомогательной функции, используя локальную операцию в гильбертовом пространстве вспомогательной функции. Таким образом, линейность квантовой теории не позволяет полностью исключить неизвестное квантовое состояние. ${\displaystyle |A'\rangle }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}}$ ${\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}$

Последствие

• Если бы можно было удалить неизвестное квантовое состояние, то, используя две пары состояний ЭПР , мы могли бы посылать сигналы со скоростью, превышающей скорость света. Таким образом, нарушение теоремы о запрете удаления несовместимо с условием отсутствия сигнализации .
• Теоремы о запрете клонирования и запрете удаления указывают на сохранение квантовой информации.
• Более сильные версии теоремы о запрете клонирования и теоремы о запрете удаления обеспечивают постоянство квантовой информации. Чтобы создать копию, необходимо импортировать информацию из какой-то части вселенной, а для удаления состояния необходимо экспортировать ее в другую часть вселенной, где она продолжит существовать.

Смотрите также

• Теорема о запрете трансляции
• Теорема о запрете клонирования
• Теорема об отсутствии связи
• Теорема о несокрытии ^[7]
• Квантовое клонирование
• Квантовая запутанность
• Квантовая информация
• Квантовая телепортация
• Принцип неопределенности
• Принцип Ландауэра

Рекомендации

1. WK Wootters и WH Zurek, «Один квант не может быть клонирован», Nature 299 (1982), стр. 802.
2. Д. Дикс, «Связь с помощью устройств ЭПР», Physics Letters A , том. 92 (6) (1982), стр. 271.
3. А. К. Пати и С. Л. Браунштейн, «Невозможность удаления неизвестного квантового состояния», Nature 404 (2000), стр. 164.
4. Городецкий, Михал; Городецкий, Рышард; Сен(Де), Адити; Сен, Уджвал (1 декабря 2005 г.). «Общее происхождение принципов сохранения информации, запрещающих клонирование и удаление». Основы физики . 35 (12): 2041–2049. arXiv : Quant-ph/0407038 . дои : 10.1007/s10701-005-8661-4. ISSN  1572-9516.
5. Джон Баэз, Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень (2009)
6. Боб Коке, Квантовый пиктурализм , (2009) ArXiv 0908.1787
7. Квантовая теорема о несокрытии впервые подтверждена экспериментально. 7 марта 2011 г., Лиза Зыга