Код препарата

В теории кодирования коды Препараты образуют класс нелинейных кодов, исправляющих двойные ошибки . Они названы в честь Франко П. Препараты , который впервые описал их в 1968 году.

Хотя коды Препараты нелинейны по GF(2), они линейны по Z ₄ с расстоянием Ли .

Строительство

Пусть m — нечетное число и . Сначала мы опишем расширенный код Препараты длиной : код Препараты затем получается путем удаления одной позиции. Слова расширенного кода рассматриваются как пары ( X ,  Y ) из 2 ^m -кортежей, каждый из которых определенным фиксированным образом соответствует подмножествам конечного поля GF(2 ^{m ).} ${\displaystyle n=2^{m}-1}$ ${\displaystyle 2n+2=2^{m+1}}$

Расширенный код содержит слова ( X ,  Y ), удовлетворяющие трем условиям

1. X , Y имеют четный вес;
2. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x=\sum _{y\in Y}y;}$
3. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x^{3}+\left(\sum _{x\in X}x\right)^{3}=\sum _{y\in Y}y^{3}.}$

Код Препараты получается удалением позиции в X , соответствующей 0 в GF(2m ⁾ .

Характеристики

Код Препараты имеет длину 2 ^{м +1}  - 1, размер 2 ^k , где k = 2 ^{м  + 1}  - 2 м  - 2, и минимальное расстояние 5.

Когда m = 3, код Препараты длины 15 также называется кодом Нордстрома – Робинсона .

Рекомендации

• Ф.П. Препарата (1968). «Класс оптимальных нелинейных кодов, исправляющих двойные ошибки». Информация и контроль . 13 (4): 378–400. дои : 10.1016/S0019-9958(68)90874-7 . hdl : 2142/74662 .
• Дж. Х. ван Линт (1992). Введение в теорию кодирования. ГТМ . Том. 86 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 111–113. ISBN 3-540-54894-7.
• http://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Preparata_code
• http://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes