Теорема Нортона

Метод анализа цепей постоянного тока

Любой черный ящик, содержащий только сопротивления и источники напряжения и тока, можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из эквивалентного источника тока, соединенного параллельно с эквивалентным сопротивлением.

Эдвард Лоури Нортон

В теории цепей постоянного тока теорема Нортона , также называемая теоремой Майера–Нортона , является упрощением, которое может быть применено к сетям, состоящим из линейных неизменных во времени сопротивлений , источников напряжения и источников тока . На паре клемм сети ее можно заменить источником тока и одним резистором, включенными параллельно.

Для систем переменного тока (AC) теорема может быть применена к реактивным сопротивлениям, а также к сопротивлениям. Эквивалентная схема Нортона используется для представления любой сети линейных источников и сопротивлений на заданной частоте .

Теорема Нортона и ее дуальная теорема Тевенена широко используются для упрощения анализа цепей и изучения начальных условий и установившегося отклика цепи.

Теорема Нортона была независимо выведена в 1926 году исследователем Siemens & Halske Гансом Фердинандом Майером (1895–1980) и инженером Bell Labs Эдвардом Лоури Нортоном (1898–1983). ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Чтобы найти эквивалент Нортона линейной стационарной цепи, ток Нортона I _no рассчитывается как ток, текущий на двух клеммах A и B исходной цепи, которая теперь закорочена (нулевое сопротивление между клеммами). Сопротивление Нортона R _no определяется путем расчета выходного напряжения V _{o ,} произведенного на A и B без подключенного сопротивления или нагрузки, тогда R _no = V _o / I _no ; эквивалентно, это сопротивление между клеммами, когда все (независимые) источники напряжения закорочены, а независимые источники тока разомкнуты (т. е. каждый независимый источник настроен на производство нулевой энергии). Это эквивалентно расчету сопротивления Тевенина.

При наличии зависимых источников необходимо использовать более общий метод. Напряжение на клеммах рассчитывается для подачи на клеммы испытательного тока силой 1 ампер. Это напряжение, деленное на ток силой 1 А, является импедансом Нортона R _no (в омах). Этот метод необходимо использовать, если в цепи имеются зависимые источники, но его можно использовать во всех случаях, даже если нет никаких зависимых источников.

Пример эквивалентной схемы Нортона

1. Оригинальная схема
2. Расчет эквивалентного выходного тока
3. Расчет эквивалентного сопротивления
4. Разработать эквивалентную схему Нортона

В этом примере общий ток I _total определяется по формуле:

${\displaystyle I_{\mathrm {total} }={15\,\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \parallel (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}=5.625\,\mathrm {mA} .}$

Тогда ток через нагрузку, используя правило делителя тока , равен :

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {no} }&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over 1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega }\cdot I_{\mathrm {total} }\\[5pt]&=2/3\cdot 5.625\,\mathrm {mA} =3.75\,\mathrm {mA} .\end{aligned}}}$

А эквивалентное сопротивление, если смотреть на цепь в обратном направлении, равно:

${\displaystyle R_{\mathrm {no} }=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \parallel (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega .}$

Таким образом, эквивалентная схема представляет собой источник тока 3,75 мА, соединенный параллельно с резистором сопротивлением 2 кОм.

Перевод в эквивалент Тевенина

К эквиваленту Тевенина

Эквивалентная схема Нортона связана с эквивалентной схемой Тевенена следующими уравнениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\rm {th}}=R_{\rm {no}}\\[8pt]&V_{\rm {th}}=I_{\rm {no}}R_{\rm {no}}\\[8pt]&{\frac {V_{\rm {th}}}{R_{\rm {th}}}}=I_{\rm {no}}\end{aligned}}}$

Теория массового обслуживания

Пассивный эквивалент «теоремы Нортона» в теории очередей называется теоремой Чанди-Герцога Ву . ^{[3] [4] [7]} В обратимой системе очередей часто можно заменить неинтересное подмножество очередей одной очередью ( FCFS или PS ) с соответствующим образом выбранной скоростью обслуживания. ^[8]

Смотрите также

• Закон Ома
• Теорема Миллмана
• Преобразование источника
• Теорема о суперпозиции
• Теорема Тевенена
• Теорема о передаче максимальной мощности
• Теорема о дополнительном элементе

Ссылки

1. Майер, Ганс Фердинанд (1926). «Ueber das Ersatzschema der Verstärkerröhre» [Об эквивалентных схемах электронных усилителей]. Telegraphen- und Fernsprech-Technik (на немецком языке). 15 : 335–337.
2. Нортон, Эдвард Лоури (1926). «Проектирование конечных сетей для равномерной частотной характеристики». Bell Laboratories . Технический отчет TM26–0–1860. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
3. Джонсон, Дон Х. (2003). "Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника напряжения" (PDF) . Труды IEEE . 91 (4): 636–640. doi :10.1109/JPROC.2003.811716. hdl : 1911/19968 .
4. Джонсон, Дон Х. (2003). "Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника тока" (PDF) . Труды IEEE . 91 (5): 817–821. doi :10.1109/JPROC.2003.811795.
5. Бриттен, Джеймс Э. (март 1990 г.). "Теорема Тевенина" . IEEE Spectrum . 27 (3): 42. doi :10.1109/6.48845. S2CID  2279777. Получено 01.02.2013 .
6. Дорф, Ричард К .; Свобода, Джеймс А. (2010). «Глава 5: Теоремы о цепях». Введение в электрические цепи (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons . стр. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1. Архивировано из оригинала 2012-04-30 . Получено 2018-12-08 .
7. Гюнтер, Нил Дж. (2004). Анализ производительности компьютерной системы с помощью Perl::PDQ (Электронное издание). Берлин: Springer Science+Business Media . стр. 281. ISBN 978-3-540-20865-5.
8. Чанди, Каниантра Мани ; Герцог, Ульрих; Ву, Лин С. (январь 1975 г.). «Параметрический анализ сетей очередей» . IBM Journal of Research and Development . 19 (1): 36–42. doi :10.1147/rd.191.0036.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с теоремой Нортона на Wikimedia Commons
• Теорема Нортона на allaboutcircuits.com