Nullstellensatz Гильберта

Связь между алгебраическими многообразиями и полиномиальными идеалами

В математике теорема о нулях Гильберта (по-немецки «теорема о нулях» или, более буквально, «теорема о нулевом локусе») — это теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрией и алгеброй . Эта связь является основой алгебраической геометрии . Она связывает алгебраические множества с идеалами в кольцах полиномов над алгебраически замкнутыми полями . Эта связь была обнаружена Давидом Гильбертом , который доказал теорему о нулях в своей второй крупной работе по теории инвариантов в 1893 году (после своей основополагающей работы 1890 года, в которой он доказал теорему Гильберта о базисе ).

Формулировка

Пусть будет полем (например, рациональными числами ) и будет алгебраически замкнутым расширением поля (например, комплексными числами ). Рассмотрим кольцо многочленов и пусть будет идеалом в этом кольце. Алгебраическое множество , определяемое этим идеалом, состоит из всех -кортежей в таких, что для всех в ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$.В Nullstellensatz Гильберта утверждается, что если p — некоторый многочлен от , который обращается в нуль на алгебраическом множестве , т.е. для всех в , то существует натуральное число такое, что находится в . ^[1] ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{r}}$ ${\displaystyle I}$

Непосредственным следствием является слабое предложение Nullstellensatz : идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены в I не имеют общих нулей в K ⁿ . Слабое предложение Nullstellensatz можно также сформулировать следующим образом: если I — собственный идеал в , то V( I ) не может быть пустым , т. е. существует общий нуль для всех многочленов в идеале в каждом алгебраически замкнутом расширении k . Это причина названия теоремы, полную версию которой можно легко доказать из «слабой» формы с помощью приема Рабиновича . Предположение о рассмотрении общих нулей в алгебраически замкнутом поле здесь существенно; например, элементы собственного идеала ( X ² + 1) в не имеют общего нуля в ${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}],}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Используя обозначения, общепринятые в алгебраической геометрии, Nullstellensatz можно также сформулировать как

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

для любого идеала J. Здесь обозначает радикал J , а I( U ) — идеал всех многочленов, которые обращаются в нуль на множестве U . ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

Таким образом, взяв мы получаем обращающее порядок биективное соответствие между алгебраическими множествами в K ⁿ и радикальными идеалами В действительности, в более общем случае, имеется связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры, где « замыкание Зарисского » и «радикал порожденного идеала» являются операторами замыкания . ${\displaystyle k=K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

В качестве частного примера рассмотрим точку . Тогда . В более общем смысле, ${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$ ${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

Наоборот, каждый максимальный идеал кольца многочленов (заметим, что оно алгебраически замкнуто) имеет вид для некоторого . ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$

Другой пример: алгебраическое подмножество W в K ⁿ неприводимо (в топологии Зарисского) тогда и только тогда, когда является простым идеалом. ${\displaystyle I(W)}$

Доказательства

Известно много доказательств теоремы. Некоторые из них неконструктивны , как, например, первое. Другие конструктивны, поскольку основаны на алгоритмах выражения 1 или p ^r в виде линейной комбинации генераторов идеала.

Используя лемму Зарисского

Лемма Зарисского утверждает, что если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра над полем k , то оно является конечным расширением поля k ( то есть оно также конечно порождено как векторное пространство ).

Вот набросок доказательства с использованием этой леммы. ^[2]

Пусть ( k алгебраически замкнутое поле), I идеал в A, а V общие нули I в . Очевидно, . Пусть . Тогда для некоторого простого идеала в A . Пусть и максимальный идеал в . По лемме Зариского, является конечным расширением k ; таким образом, является k , поскольку k алгебраически замкнуто. Пусть будут образами при естественном отображении, проходящем через . Отсюда следует, что и . ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$ ${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$ ${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle A\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Использование результатов

Следующее конструктивное доказательство слабой формы является одним из старейших доказательств (сильная форма является результатом трюка Рабиновича , который также является конструктивным).

Результирующий многочлен двух многочленов, зависящих от переменной x и других переменных, является многочленом от других переменных, который находится в идеале, порожденном двумя многочленами, и обладает следующими свойствами: если один из многочленов является моническим по x , то каждый ноль (от других переменных) результирующего многочлена может быть расширен до общего нуля двух многочленов.

Доказательство следующее.

Если идеал является главным , порожденным непостоянным многочленом p , который зависит от x , выбираются произвольные значения для других переменных. Основная теорема алгебры утверждает, что этот выбор может быть распространен до нуля p .

В случае нескольких полиномов линейная замена переменных позволяет предположить, что является моническим по первой переменной x . Затем вводятся новые переменные и рассматривается полученный результат ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n},}$

${\displaystyle R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).}$

Так как R находится в идеале, порожденном , то же самое верно и для коэффициентов в R мономов в Так, если 1 находится в идеале, порожденном этими коэффициентами, то она также находится в идеале, порожденном С другой стороны, если эти коэффициенты имеют общий ноль, этот ноль можно расширить до общего нуля с помощью указанного выше свойства результанта. ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$

Это доказывает слабое предложение Nullstellensatz индукцией по числу переменных.

Использование оснований Грёбнера

Базис Грёбнера — это алгоритмическое понятие, введенное в 1973 году Бруно Бухбергером . В настоящее время оно является фундаментальным в вычислительной геометрии . Базис Грёбнера — это специальный порождающий набор идеала, из которого можно легко извлечь большинство свойств идеала. С Nullstellensatz связаны следующие:

• Идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда его приведенный базис Грёбнера (для любого мономиального порядка ) равен 1 .
• Число общих нулей многочленов в базисе Грёбнера тесно связано с числом мономов , которые являются неприводимыми по базису. А именно, число общих нулей бесконечно тогда и только тогда, когда то же самое верно для неприводимых мономов; если оба числа конечны, число неприводимых мономов равно числу нулей (в алгебраически замкнутом поле), подсчитанному с кратностями.
• При лексикографическом порядке монома общие нули можно вычислить, решая итеративно одномерные многочлены (на практике это не используется, поскольку известны лучшие алгоритмы).
• Strong Nullstellensatz: степень p принадлежит идеалу I тогда и только тогда, когда насыщение I посредством p дает базис Грёбнера 1. Таким образом, strong Nullstellensatz вытекает почти сразу из определения насыщения.

Обобщения

Nullstellensatz включается в систематическое развитие теории колец Джекобсона , которые являются такими кольцами, в которых каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Учитывая лемму Зарисского, доказательство Nullstellensatz равносильно показу того, что если k является полем, то каждая конечно порождённая k -алгебра R (обязательно вида ) является Джекобсоновой. В более общем смысле, имеет место следующая теорема: ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$

Пусть будет кольцом Джекобсона. Если — конечно порожденная R -алгебра , то — кольцо Джекобсона. Более того, если — максимальный идеал, то — максимальный идеал , а — конечное расширение . ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Другие обобщения исходят из рассмотрения Nullstellensatz в терминах теории схем , как утверждения, что для любого поля k и ненулевой конечно порожденной k -алгебры R морфизм допускает сечение étale-locally (эквивалентно, после замены базы вдоль некоторого конечного расширения поля ). В этом ключе, имеет место следующая теорема: ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle L/k}$

Любой строго плоский морфизм схем локально конечного представления допускает квазисечение в том смысле, что существует строго плоский и локально квазиконечный морфизм локально конечного представления, такой что базовая замена вдоль допускает сечение . [ 4 ^] Более того, если является квазикомпактным (соответственно квазикомпактным и квазиотделенным ), то можно считать , что он аффинный (соответственно аффинный и квазиконечный), а если является гладко сюръективным, то можно считать , что он этальный . ^[5] ${\textstyle f:Y\to X}$ ${\textstyle g:X'\to X}$ ${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$

Серж Ланг расширил Nullstellensatz на случай бесконечного числа генераторов:

Пусть будет бесконечным кардиналом и пусть будет алгебраически замкнутым полем, степень трансцендентности которого над его простым подполем строго больше, чем . Тогда для любого множества мощности кольцо многочленов удовлетворяет Nullstellensatz, т.е. для любого идеала мы имеем, что . ^[6] ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle K}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ ${\textstyle J\subset A}$ ${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$

Эффективный Nullstellensatz

Во всех своих вариантах Nullstellensatz Гильберта утверждает, что некоторый многочлен g принадлежит или не принадлежит идеалу, порожденному, скажем, f ₁ , ..., f _k ; в сильной версии мы имеем g = f ^r , в слабой форме g = 1. Это означает существование или несуществование многочленов g ₁ , ..., g _k таких, что g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Обычные доказательства Nullstellensatz не являются конструктивными, неэффективными в том смысле, что они не дают никакого способа вычислить g _i .

Таким образом, вполне естественно задать вопрос, существует ли эффективный способ вычисления g _i (и показателя степени r в сильной форме) или доказать, что их не существует. Чтобы решить эту проблему, достаточно указать верхнюю границу общей степени g _i : такая граница сводит задачу к конечной системе линейных уравнений , которую можно решить обычными методами линейной алгебры . Любая такая верхняя граница называется эффективным Nullstellensatz .

Связанная проблема — это проблема идеального членства , которая заключается в проверке принадлежности полинома идеалу. Для этой проблемы также решение предоставляется верхней границей степени g _i . Общее решение проблемы идеального членства дает эффективный Nullstellensatz, по крайней мере для слабой формы.

В 1925 году Грета Герман дала верхнюю границу для идеальной проблемы членства, которая дважды экспоненциальна по числу переменных. В 1982 году Майр и Мейер привели пример, где g _i имеет степень, которая является по крайней мере дважды экспоненциальной, показав, что каждая общая верхняя граница для идеальной проблемы членства является дважды экспоненциальной по числу переменных.

Поскольку большинство математиков в то время предполагали, что эффективное Nullstellensatz было по крайней мере таким же сложным, как идеальное членство, немногие математики искали границу, лучшую, чем двойная экспоненциальная. Однако в 1987 году В. Дейл Браунауэлл дал верхнюю границу для эффективного Nullstellensatz, которая является просто экспоненциальной по числу переменных. ^[7] Доказательство Браунауэлла основывалось на аналитических методах, действительных только в характеристике 0, но год спустя Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство, действительное в любой характеристике, немного лучшей границы.

В случае слабого Nullstellensatz граница Коллара следующая: ^[8]

Пусть f ₁ , ..., f _s будут многочленами от n ≥ 2 переменных, общей степени d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Если существуют многочлены g _i такие, что f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , то их можно выбрать так, что

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Эта граница оптимальна, если все степени больше 2.

Если d — максимальная из степеней f _i , то эту границу можно упростить до

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

Улучшение, сделанное М. Сомбра, ^[9]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Его оценка улучшает оценку Коллара, как только хотя бы две из участвующих степеней окажутся ниже 3.

Проективный Nullstellensatz

Мы можем сформулировать определенное соответствие между однородными идеалами многочленов и алгебраическими подмножествами проективного пространства, называемое проективным Nullstellensatz , которое аналогично аффинному. Для этого введем некоторые обозначения. Пусть однородный идеал, ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

называется максимальным однородным идеалом (см. также нерелевантный идеал ). Как и в аффинном случае, мы допускаем: для подмножества и однородного идеала I из R , ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

Под мы подразумеваем: для любых однородных координат точки S мы имеем . Это подразумевает, что однородные компоненты f также равны нулю на S и, таким образом, это однородный идеал. Эквивалентно, является однородным идеалом, порожденным однородными многочленами f , которые равны нулю на S . Теперь, для любого однородного идеала , по обычному Nullstellensatz, мы имеем: ${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$ ${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

и поэтому, как и в аффинном случае, имеем: ^[10]

Существует взаимно однозначное соответствие, меняющее порядок, между собственными однородными радикальными идеалами R и подмножествами вида Соответствие задается соотношениями и ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

Аналитический Nullstellensatz (Nullstellensatz Рюккерта)

Утверждение о нулевых числах справедливо также для ростков голоморфных функций в точке комплексного n -пространства. А именно, для каждого открытого подмножества обозначим кольцо голоморфных функций на U ; тогда — пучок на Можно показать, что стебель , скажем, в начале координат является нётеровым локальным кольцом , которое является уникальной областью факторизации . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

Если — росток, представленный голоморфной функцией , то пусть — класс эквивалентности множества ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

где два подмножества считаются эквивалентными, если для некоторой окрестности U из 0. Примечание не зависит от выбора представителя Для каждого идеала обозначим для некоторых образующих I . Он хорошо определен ; т. е. не зависит от выбора образующих. ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$ ${\displaystyle V_{0}(I)}$ ${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$

Для каждого подмножества пусть ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Легко видеть, что является идеалом и что если в обсуждаемом выше смысле. ${\displaystyle I_{0}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ ${\displaystyle X\sim Y}$

Аналитическое предложение Nullstellensatz затем утверждает: ^[11] для каждого идеала , ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

где левая часть — радикал I.

Смотрите также

• Positivstellensatz Стенгла
• Дифференциальный Nullstellensatz
• Комбинаторный Nullstellensatz
• Лемма Артина–Тейта
• Настоящий радикал
• Ограниченный степенной ряд#Алгебра Тейта , аналог нулевого стелленсатца Гильберта, справедлив для алгебр Тейта.

Примечания

1. Зарисский–Самуэль, Гл. VII, Теорема 14.
2. Атья–Макдональд, Гл. 7.
3. Эмертон, Мэтью. "Кольца Якобсона" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-07-25.
4. EGA §IV.17.16.2.
5. EGA §IV.17.16.3(ii).
6. Ланг, Серж (1952). «Нульстеллензац Гильберта в бесконечномерном пространстве». Учеб. Являюсь. Математика. Соц. 3 (3): 407–410. дои : 10.2307/2031893. JSTOR  2031893.
7. Браунауэлл, В. Дейл (1987), «Границы для степеней в Nullstellensatz», Ann. of Math. , 126 (3): 577–591, doi :10.2307/1971361, JSTOR  1971361, MR  0916719
8. Kollár, János (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF) , Журнал Американского математического общества , 1 (4): 963–975, doi :10.2307/1990996, JSTOR  1990996, MR  0944576, заархивировано из оригинала (PDF) 2014-03-03 , извлечено 2012-10-14
9. Сомбра, Мартин (1999), «Редкий эффективный Nullstellensatz», « Достижения в области прикладной математики» , 22 (2): 271–295, arXiv : alg-geom/9710003 , doi : 10.1006/aama.1998.0633, MR  1659402, S2CID  119726673
10. Эта формулировка взята из Milne, Algebraic geometry [1] и отличается от Hartshorne 1977, Ch. I, Exercise 2.4.
11. Хайбрехтс, Предложение 1.1.29.

Ссылки

• Альмира, Хосе Мария (2007). «Возвращение к Nullstellensatz» (PDF) . Ренд. Семин. Мат. унив. Политех. Турин . 65 (3): 365–369.
• Атья, М. Ф.; Макдональд , И. Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-40751-5.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Гильберт, Дэвид (1893). «Ueber die vollen Invariantensysteme». Математические Аннален . 42 (3): 313–373. дои : 10.1007/BF01444162.
• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN 3-540-21290-6.
• Мукаи, Сигеру (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. Т. 81. Уильям Оксбери (перевод). С. 82. ISBN 0-521-80906-1.
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1960). Коммутативная алгебра. Том II . Берлин. ISBN 978-3-662-27753-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)