Закон Ома

Закон электрического тока и напряжения

V , I и R — параметры закона Ома

Закон Ома гласит, что электрический ток через проводник между двумя точками прямо пропорционален напряжению между этими двумя точками. Вводя константу пропорциональности, сопротивление , ^[1] приходим к трем математическим уравнениям, используемым для описания этой связи: ^[2]

$${\displaystyle V=IR\quad {\text{or}}\quad I={\frac {V}{R}}\quad {\text{or}}\quad R={\frac {V}{I}}}$$

где I — ток через проводник, V — напряжение, измеренное на проводнике, а R — сопротивление проводника. Более конкретно, закон Ома гласит, что R в этом отношении является постоянным, независимо от тока. ^[3] Если сопротивление не является постоянным, предыдущее уравнение нельзя назвать законом Ома , но его все равно можно использовать в качестве определения статического/постоянного сопротивления . ^[4] Закон Ома — это эмпирическое соотношение , которое точно описывает проводимость подавляющего большинства электропроводящих материалов на многих порядках величины тока. Однако некоторые материалы не подчиняются закону Ома; они называются неомическими .

Закон был назван в честь немецкого физика Георга Ома , который в трактате, опубликованном в 1827 году, описал измерения приложенного напряжения и тока через простые электрические цепи, содержащие провода различной длины. Ом объяснил свои экспериментальные результаты немного более сложным уравнением, чем современная форма выше (см. § История ниже).

В физике термин «закон Ома» также используется для обозначения различных обобщений закона; например, векторной формы закона, используемой в электромагнетизме и материаловедении:

$${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} ,}$$

где J — плотность тока в заданном месте в резистивном материале, E — электрическое поле в этом месте, а σ ( сигма ) — зависящий от материала параметр, называемый проводимостью , определяемый как обратная величина удельного сопротивления ρ ( ро ). Эта переформулировка закона Ома принадлежит Густаву Кирхгофу . ^[5]

История

Георг Ом

В январе 1781 года, до работы Георга Ома , Генри Кавендиш экспериментировал с лейденскими банками и стеклянными трубками разного диаметра и длины, заполненными солевым раствором. Он измерял ток, отмечая, насколько сильный удар он чувствовал, когда замыкал цепь своим телом. Кавендиш писал, что «скорость» (ток) изменялась прямо пропорционально «степени электрификации» (напряжению). В то время он не сообщал о своих результатах другим ученым, ^[6] и его результаты были неизвестны, пока Джеймс Клерк Максвелл не опубликовал их в 1879 году. ^[7]

Фрэнсис Рональдс описал «интенсивность» (напряжение) и «количество» (ток) для сухой кучи — источника высокого напряжения — в 1814 году, используя электрометр с золотым листом . Он обнаружил, что для сухой кучи соотношение между двумя параметрами не было пропорциональным при определенных метеорологических условиях. ^{[8] [9]}

Ом работал над сопротивлением в 1825 и 1826 годах и опубликовал свои результаты в 1827 году в книге Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet («Гальваническая цепь, исследованная математически»). ^[10] Он черпал вдохновение в работах Жозефа Фурье по теплопроводности в теоретическом объяснении своей работы. Для экспериментов он изначально использовал гальванические столбы , но позже стал использовать термопару , поскольку она обеспечивала более стабильный источник напряжения с точки зрения внутреннего сопротивления и постоянного напряжения. Он использовал гальванометр для измерения тока и знал, что напряжение между клеммами термопары пропорционально температуре спая. Затем он добавил тестовые провода различной длины, диаметра и материала, чтобы замкнуть цепь. Он обнаружил, что его данные можно смоделировать с помощью уравнения , где x — это показания гальванометра , ℓ — длина тестового проводника, a зависит от температуры спая термопары, а b — константа всей установки. Из этого Ом вывел свой закон пропорциональности и опубликовал свои результаты. $${\displaystyle x={\frac {a}{b+\ell }},}$$

Модель внутреннего сопротивления

В современных обозначениях мы бы записали, где - ЭДС разомкнутой цепи термопары, - внутреннее сопротивление термопары, - сопротивление испытательного провода. В терминах длины провода это становится, где - сопротивление испытательного провода на единицу длины. Таким образом, коэффициенты Ома равны, $${\displaystyle I={\frac {\mathcal {E}}{r+R}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle I={\frac {\mathcal {E}}{r+{\mathcal {R}}\ell }},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ $${\displaystyle a={\frac {\mathcal {E}}{\mathcal {R}}},\quad b={\frac {\mathcal {r}}{\mathcal {R}}}.}$$

Закон Ома в лабораторной книге Георга Ома.

Закон Ома был, вероятно, самым важным из ранних количественных описаний физики электричества. Сегодня мы считаем это почти очевидным. Когда Ом впервые опубликовал свою работу, это было не так; критики отреагировали на его трактовку предмета враждебно. Они назвали его работу «паутиной голых фантазий» ^[11] , а министр образования заявил, что «профессор, проповедующий такие ереси, недостоин преподавать науку». ^[12] Господствующая в то время в Германии научная философия утверждала, что эксперименты не обязательно проводить для развития понимания природы, поскольку природа настолько хорошо упорядочена, и что научные истины могут быть выведены только посредством рассуждений. ^[13] Кроме того, брат Ома Мартин, математик, боролся с немецкой образовательной системой. Эти факторы препятствовали принятию работы Ома, и его работа не получила широкого признания до 1840-х годов. Однако Ом получил признание за свой вклад в науку задолго до своей смерти.

В 1850-х годах закон Ома был широко известен и считался доказанным. Альтернативы, такие как « закон Барлоу », были дискредитированы с точки зрения реальных приложений к проектированию телеграфных систем, как обсуждалось Сэмюэлем Ф. Б. Морзе в 1855 году ^{. [14]}

Электрон был открыт в 1897 году Дж. Дж. Томсоном , и быстро стало понятно, что это частица ( носитель заряда ) , которая переносит электрические токи в электрических цепях. В 1900 году первая ( классическая ) модель электропроводности, модель Друде , была предложена Полом Друде , которая наконец дала научное объяснение закону Ома. В этой модели твердый проводник состоит из неподвижной решетки атомов ( ионов ), в которой хаотично движутся электроны проводимости . Напряжение на проводнике вызывает электрическое поле , которое ускоряет электроны в направлении электрического поля, вызывая дрейф электронов, который является электрическим током. Однако электроны сталкиваются с атомами, что заставляет их рассеиваться и хаотизирует их движение, тем самым преобразуя кинетическую энергию в тепло ( тепловую энергию ). Используя статистические распределения, можно показать, что средняя скорость дрейфа электронов, а значит, и ток, пропорциональны электрическому полю, а значит, и напряжению, в широком диапазоне напряжений.

Развитие квантовой механики в 1920-х годах несколько изменило эту картину, но в современных теориях среднюю скорость дрейфа электронов все еще можно показать пропорциональной электрическому полю, таким образом выводя закон Ома. В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил квантовое распределение Ферми-Дирака для энергий электронов к модели Друде, что привело к модели свободных электронов . Год спустя Феликс Блох показал, что электроны движутся волнами ( электроны Блоха ) через решетку твердого кристалла, поэтому рассеяние на атомах решетки, как постулируется в модели Друде, не является основным процессом; электроны рассеиваются на атомах примесей и дефектах в материале. Последний преемник, современная квантовая зонная теория твердых тел, показала, что электроны в твердом теле не могут принимать какую-либо энергию, как предполагается в модели Друде, а ограничены энергетическими зонами с зазорами между ними, энергия которых запрещена для электронов. Размер запрещенной зоны является характеристикой конкретного вещества, которая во многом определяет его электрическое сопротивление, что объясняет, почему некоторые вещества являются проводниками электричества , некоторые — полупроводниками , а некоторые — изоляторами .

Хотя старый термин для электропроводности, мо (обратная единица сопротивления ом), все еще используется, новое название, сименс , было принято в 1971 году в честь Эрнста Вернера фон Сименса . Сименс предпочтительнее в официальных документах.

В 1920-х годах было обнаружено, что ток через практический резистор на самом деле имеет статистические флуктуации, которые зависят от температуры, даже когда напряжение и сопротивление точно постоянны; эта флуктуация, теперь известная как шум Джонсона-Найквиста , обусловлена ​​дискретной природой заряда. Этот тепловой эффект подразумевает, что измерения тока и напряжения, которые проводятся в течение достаточно коротких промежутков времени, дадут отношения V/I, которые флуктуируют от значения R, подразумеваемого средним по времени или средним по ансамблю измеренного тока; закон Ома остается верным для среднего тока в случае обычных резистивных материалов.

Работа Ома намного предшествовала уравнениям Максвелла и любому пониманию частотно-зависимых эффектов в цепях переменного тока. Современные разработки в электромагнитной теории и теории цепей не противоречат закону Ома, если они оцениваются в соответствующих пределах.

Объем

Закон Ома — эмпирический закон , обобщение многих экспериментов, показавших, что ток приблизительно пропорционален электрическому полю для большинства материалов. Он менее фундаментален, чем уравнения Максвелла , и не всегда соблюдается. Любой данный материал разрушится под действием достаточно сильного электрического поля, а некоторые материалы, представляющие интерес в электротехнике, являются «неомическими» под действием слабых полей. ^{[15] [16]}

Закон Ома наблюдался в широком диапазоне масштабов длины. В начале 20-го века считалось, что закон Ома не будет работать в атомном масштабе , но эксперименты не подтвердили это ожидание. По состоянию на 2012 год исследователи продемонстрировали, что закон Ома работает для кремниевых проводов шириной в четыре атома и высотой в один атом. ^[17]

Микроскопическое происхождение

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно скапливаются среди более тяжелых, неподвижных кристаллических ионов (показаны красным цветом).

Зависимость плотности тока от приложенного электрического поля по своей сути является квантово-механической ; (см. Классическая и квантовая проводимость.) Качественное описание, приводящее к закону Ома, может быть основано на классической механике с использованием модели Друде, разработанной Полом Друде в 1900 году. ^{[18] [19]}

Модель Друде рассматривает электроны (или другие носители заряда) как шарики для пинбола, скачущие среди ионов , составляющих структуру материала. Электроны будут ускоряться в противоположном направлении электрическому полю средним электрическим полем в их местоположении. Однако при каждом столкновении электрон отклоняется в случайном направлении со скоростью, которая намного больше скорости, приобретаемой электрическим полем. Конечный результат заключается в том, что электроны выбирают зигзагообразный путь из-за столкновений, но в целом дрейфуют в направлении, противоположном электрическому полю.

Скорость дрейфа затем определяет плотность электрического тока и ее отношение к E и не зависит от столкновений. Друде вычислил среднюю скорость дрейфа из p  = − e E τ, где p — средний импульс , − e — заряд электрона, а τ — среднее время между столкновениями. Поскольку и импульс, и плотность тока пропорциональны скорости дрейфа, плотность тока становится пропорциональной приложенному электрическому полю; это приводит к закону Ома.

Гидравлическая аналогия

Иногда для описания закона Ома используется гидравлическая аналогия. Давление воды, измеряемое в паскалях ( или фунтах на квадратный дюйм ), является аналогом напряжения, поскольку установление разницы давления воды между двумя точками вдоль (горизонтальной) трубы заставляет воду течь. Объемный расход воды, например, в литрах в секунду, является аналогом тока, например, в кулонах в секунду. Наконец, ограничители потока, такие как отверстия, размещенные в трубах между точками, где измеряется давление воды, являются аналогом резисторов. Мы говорим, что скорость потока воды через диафрагменный ограничитель пропорциональна разнице давления воды на ограничителе. Аналогично, скорость потока электрического заряда, то есть электрического тока, через электрический резистор пропорциональна разнице напряжения, измеренного на резисторе. В более общем смысле, гидравлический напор можно рассматривать как аналог напряжения, и тогда закон Ома аналогичен закону Дарси , который связывает гидравлический напор с объемным расходом через гидравлическую проводимость .

Переменные потока и давления могут быть рассчитаны в сети потока жидкости с использованием аналогии гидравлического ома. ^{[20] [21]} Метод может быть применен как к стационарным, так и к переходным ситуациям потока. В области линейного ламинарного потока закон Пуазейля описывает гидравлическое сопротивление трубы, но в области турбулентного потока соотношения давления и потока становятся нелинейными.

Гидравлическая аналогия закона Ома использовалась, например, для приблизительного описания кровотока через кровеносную систему. ^[22]

Анализ схемы

Покрытие неизвестного в образе закона Ома мнемоническим образом дает формулу через оставшиеся параметры

Колесо закона Ома с международными символами единиц

В анализе цепей взаимозаменяемо используются три эквивалентных выражения закона Ома:

$${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\quad {\text{or}}\quad V=IR\quad {\text{or}}\quad R={\frac {V}{I}}.}$$

Каждое уравнение цитируется некоторыми источниками как определяющее соотношение закона Ома ^{[2] [23] [24]} или цитируются все три ^[25] или выводятся из пропорциональной формы ^[26] или даже иногда могут быть приведены только два, которые не соответствуют исходному утверждению Ома. ^{[27] [28]}

Взаимозаменяемость уравнения может быть представлена ​​треугольником, где V ( напряжение ) находится в верхней части, I ( ток ) — в левой части, а R ( сопротивление ) — в правой. Разделитель между верхней и нижней частями указывает на деление (отсюда и черта деления).

Резистивные цепи

Резисторы — это элементы цепи, которые препятствуют прохождению электрического заряда в соответствии с законом Ома и разработаны так, чтобы иметь определенное значение сопротивления R. На принципиальных схемах резистор изображается в виде длинного прямоугольника или зигзагообразного символа. Элемент (резистор или проводник), который ведет себя в соответствии с законом Ома в некотором рабочем диапазоне, называется омическим устройством (или омическим резистором ), поскольку для описания поведения устройства в этом диапазоне достаточно закона Ома и одного значения сопротивления.

Закон Ома справедлив для цепей, содержащих только резистивные элементы (без емкостей или индуктивностей) для всех форм управляющего напряжения или тока, независимо от того, является ли управляющее напряжение или ток постоянным ( DC ) или изменяющимся во времени, например, AC . В любой момент времени закон Ома справедлив для таких цепей.

Последовательно или параллельно соединенные резисторы можно объединить в одно «эквивалентное сопротивление», чтобы применить закон Ома при анализе цепи.

Реактивные цепи с изменяющимися во времени сигналами

Когда реактивные элементы, такие как конденсаторы, катушки индуктивности или линии передачи, включены в цепь, к которой приложено переменное или изменяющееся во времени напряжение или ток, соотношение между напряжением и током становится решением дифференциального уравнения , поэтому закон Ома (определенный выше) напрямую не применяется, поскольку эта форма содержит только сопротивления, имеющие значение R , а не комплексные импедансы, которые могут содержать емкость ( C ) или индуктивность ( L ).

Уравнения для схем переменного тока, не зависящих от времени, имеют ту же форму, что и закон Ома. Однако переменные обобщаются до комплексных чисел , а формы волн тока и напряжения являются комплексными экспоненциальными . ^[29]

В этом подходе форма волны напряжения или тока принимает вид Ae ^st , где t — время, s — комплексный параметр, а A — комплексный скаляр. В любой линейной системе, инвариантной ко времени , все токи и напряжения могут быть выражены тем же параметром s , что и вход в систему, что позволяет сократить изменяющийся во времени комплексный экспоненциальный член и описать систему алгебраически в терминах комплексных скаляров в формах волн тока и напряжения.

Комплексное обобщение сопротивления — импеданс , обычно обозначаемый Z ; можно показать, что для катушки индуктивности и конденсатора $${\displaystyle Z=sL}$$ $${\displaystyle Z={\frac {1}{sC}}.}$$

Теперь мы можем записать, где V и I — комплексные скаляры напряжения и тока соответственно, а Z — комплексное сопротивление. $${\displaystyle V=Z\,I}$$

Эта форма закона Ома, где Z занимает место R , обобщает более простую форму. Когда Z является комплексным, только действительная часть отвечает за рассеивание тепла.

В общей цепи переменного тока Z сильно зависит от параметра частоты s , то же самое касается и соотношения между напряжением и током.

Для общего случая устойчивой синусоиды параметр s принимается равным , что соответствует комплексной синусоиде . Действительные части таких сложных форм тока и напряжения описывают фактические синусоидальные токи и напряжения в цепи, которые могут находиться в разных фазах из-за разных комплексных скаляров. ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle Ae^{{\mbox{ }}j\omega t}}$

Линейные аппроксимации

Закон Ома является одним из основных уравнений, используемых при анализе электрических цепей . Он применим как к металлическим проводникам, так и к компонентам цепи ( резисторам ), специально созданным для этого поведения. Оба они повсеместно распространены в электротехнике. Материалы и компоненты, которые подчиняются закону Ома, описываются как «омические» ^[30] , что означает, что они создают одинаковое значение сопротивления ( R = V / I ) независимо от значения V или I , которое применяется, и является ли применяемое напряжение или ток постоянным током (DC ) положительной или отрицательной полярности или переменным током (AC ).

В истинном омическом устройстве одно и то же значение сопротивления будет вычисляться из R = V / I независимо от значения приложенного напряжения V . То есть отношение V / I является постоянным, и когда ток отображается как функция напряжения, кривая является линейной (прямой линией). Если напряжение принудительно установлено на некотором значении V , то это напряжение V, деленное на измеренный ток I, будет равно R . Или если ток принудительно установлен на некотором значении I , то измеренное напряжение V, деленное на этот ток I, также будет равно R . Поскольку график зависимости I от V представляет собой прямую линию, то также верно, что для любого набора двух различных напряжений V ₁ и V _{2 ,} приложенных к данному устройству с сопротивлением R , производящих токи I ₁ = V ₁ / R и I ₂ = V ₂ / R , отношение ( V ₁ − V ₂ )/( I ₁ − I ₂ ) также является константой, равной R . Оператор «дельта» (Δ) используется для представления разницы в величине, поэтому мы можем записать Δ V = V ₁ − V ₂ и Δ I = I ₁ − I _2. Подводя итог, для любого истинно омического устройства, имеющего сопротивление R , V / I = Δ V /Δ I = R для любого приложенного напряжения или тока или для разницы между любым набором приложенных напряжений или токов.

Кривые I – V четырех устройств: два резистора , диод и батарея . Два резистора следуют закону Ома: График представляет собой прямую линию , проходящую через начало координат. Два других устройства не следуют закону Ома.

Однако существуют компоненты электрических цепей, которые не подчиняются закону Ома; то есть их связь между током и напряжением (их кривая I – V ) является нелинейной (или неомической). Примером является диод с p–n-переходом (кривая справа). Как видно на рисунке, ток не увеличивается линейно с приложенным напряжением для диода. Можно определить значение тока ( I ) для заданного значения приложенного напряжения ( V ) из кривой, но не из закона Ома, поскольку значение «сопротивления» не является постоянной функцией приложенного напряжения. Кроме того, ток значительно увеличивается только в том случае, если приложенное напряжение положительное, а не отрицательное. Отношение V / I для некоторой точки вдоль нелинейной кривой иногда называют статическим , или хордовым , или постоянным сопротивлением, ^{[31] [32],} но, как видно на рисунке, значение общего V по сравнению с общим I изменяется в зависимости от конкретной выбранной точки вдоль нелинейной кривой. Это означает, что «сопротивление постоянному току» V/I в некоторой точке кривой не то же самое, что было бы определено путем подачи сигнала переменного тока с пиковой амплитудой Δ V вольт или Δ I ампер, центрированной в той же точке вдоль кривой, и измерения Δ V /Δ I . Однако в некоторых диодных приложениях сигнал переменного тока, подаваемый на устройство, мал, и можно проанализировать схему с точки зрения динамического , слабосигнального или инкрементного сопротивления, определяемого как сопротивление, превышающее наклон кривой V – I при среднем значении (рабочая точка постоянного тока) напряжения (то есть, сопротивление, превышающее производную тока по напряжению). Для достаточно малых сигналов динамическое сопротивление позволяет рассчитать сопротивление малому сигналу по закону Ома примерно как сопротивление, превышающее наклон линии, проведенной по касательной к кривой V – I в рабочей точке постоянного тока. ^[33]

Температурные эффекты

Закон Ома иногда формулируется как «для проводника в данном состоянии электродвижущая сила пропорциональна производимому току». То есть, что сопротивление, отношение приложенной электродвижущей силы (или напряжения) к току, «не меняется с силой тока». Квалификатор «в данном состоянии» обычно интерпретируется как означающий «при постоянной температуре», поскольку удельное сопротивление материалов обычно зависит от температуры. Поскольку проводимость тока связана с джоулевым нагревом проводящего тела, согласно первому закону Джоуля , температура проводящего тела может изменяться, когда оно проводит ток. Зависимость сопротивления от температуры, следовательно, делает сопротивление зависящим от тока в типичной экспериментальной установке, что делает закон в этой форме сложным для прямой проверки. Максвелл и другие разработали несколько методов экспериментальной проверки закона в 1876 году, контролируя эффекты нагрева. ^[34] Обычно измерения сопротивления образца проводятся при низких токах, чтобы предотвратить джоулев нагрев. Однако даже небольшой ток вызывает нагрев (охлаждение) на первом (втором) контакте образца из-за эффекта Пельтье. Температуры на контактах образца становятся разными, их разность линейна по току. Падение напряжения на цепи включает дополнительно термоэлектродвижущую силу Зеебека, которая снова линейна по току. В результате существует тепловая поправка к сопротивлению образца даже при пренебрежимо малом токе. ^[35] Величина поправки может быть сравнима с сопротивлением образца. ^[36]

Отношение к теплопроводности

Принцип Ома предсказывает поток электрического заряда (т. е. тока) в электрических проводниках, когда они подвергаются влиянию разности напряжений; принцип Жана-Батиста-Жозефа Фурье предсказывает поток тепла в теплопроводниках, когда они подвергаются влиянию разности температур.

Одно и то же уравнение описывает оба явления, причем переменные уравнения принимают разные значения в двух случаях. В частности, решение задачи теплопроводности (Фурье) с переменными температуры (движущей «силы») и потока тепла (скорости потока движущейся «величины», т. е. тепловой энергии) также решает аналогичную задачу электропроводности (Ом), имеющую переменные электрического потенциала (движущей «силы») и электрического тока (скорости потока движущейся «величины», т. е. заряда).

Основой работы Фурье была его ясная концепция и определение теплопроводности . Он предположил, что при прочих равных условиях поток тепла строго пропорционален градиенту температуры. Хотя это, несомненно, верно для малых градиентов температуры, строго пропорциональное поведение будет утрачено, когда реальные материалы (например, имеющие теплопроводность, которая является функцией температуры) подвергаются большим градиентам температуры.

Аналогичное предположение сделано в формулировке закона Ома: при прочих равных условиях сила тока в каждой точке пропорциональна градиенту электрического потенциала. Точность предположения о том, что поток пропорционален градиенту, легче проверить с помощью современных методов измерения для электрического случая, чем для теплового.

Другие версии

Закон Ома в приведенной выше форме является чрезвычайно полезным уравнением в области электротехники/электроники, поскольку он описывает, как напряжение, ток и сопротивление взаимосвязаны на «макроскопическом» уровне, то есть, как правило, как элементы цепи в электрической цепи . Физики, изучающие электрические свойства материи на микроскопическом уровне, используют тесно связанное и более общее векторное уравнение, иногда также называемое законом Ома, имеющее переменные, которые тесно связаны со скалярными переменными V, I и R закона Ома, но каждая из которых является функцией положения внутри проводника. Физики часто используют эту континуальную форму закона Ома: ^[37]

$${\displaystyle \mathbf {E} =\rho \mathbf {J} }$$

где E — вектор электрического поля с единицами измерения вольт на метр (аналогично V закона Ома, который имеет единицы измерения вольт), J — вектор плотности тока с единицами измерения ампер на единицу площади (аналогично I закона Ома, который имеет единицы измерения амперы), а ρ " rho " — удельное сопротивление с единицами измерения ом·метр (аналогично R закона Ома, который имеет единицы измерения ом). Вышеприведенное уравнение также записывается ^[38] как J = σ E , где σ " sigma " — проводимость , которая является обратной величиной ρ .

Ток, протекающий через однородный цилиндрический проводник (например, круглый провод) с приложенным однородным полем.

Напряжение между двумя точками определяется как: ^[39] с элементом пути вдоль интегрирования вектора электрического поля E. Если приложенное поле E однородно и ориентировано вдоль длины проводника, как показано на рисунке, то, определяя напряжение V в обычном соглашении, что оно противоположно по направлению полю (см. рисунок), и понимая, что напряжение V измеряется дифференциально по длине проводника, что позволяет нам опустить символ Δ, приведенное выше векторное уравнение сводится к скалярному уравнению: $${\displaystyle {\Delta V}=-\int {\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}}$$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$

$${\displaystyle V={E}{\ell }\ \ {\text{or}}\ \ E={\frac {V}{\ell }}.}$$

Поскольку поле E однородно в направлении длины провода, для проводника с равномерно постоянным удельным сопротивлением ρ плотность тока J также будет однородной в любой площади поперечного сечения и ориентированной в направлении длины провода, поэтому мы можем записать: ^[40] $${\displaystyle J={\frac {I}{a}}.}$$

Подставим два приведенных выше результата (для E и J соответственно) в континуальную форму, показанную в начале этого раздела: $${\displaystyle {\frac {V}{\ell }}={\frac {I}{a}}\rho \qquad {\text{or}}\qquad V=I\rho {\frac {\ell }{a}}.}$$

Электрическое сопротивление однородного проводника выражается через удельное сопротивление по формуле: ^[40] где ℓ — длина проводника в метрах системы СИ , a — площадь поперечного сечения (для круглого провода a = πr ² , если r — радиус) в квадратных метрах, а ρ — удельное сопротивление в омах·метрах. $${\displaystyle {R}=\rho {\frac {\ell }{a}}}$$

После подстановки R из приведенного выше уравнения в предшествующее ему уравнение континуальная форма закона Ома для однородного поля (и однородной плотности тока), ориентированного вдоль длины проводника, сводится к более привычному виду: $${\displaystyle V=IR.}$$

Идеальная кристаллическая решетка с достаточно низким тепловым движением и без отклонений от периодической структуры не имела бы никакого сопротивления , ^[41] но реальный металл имеет кристаллографические дефекты , примеси, множественные изотопы и тепловое движение атомов. Электроны рассеиваются от всего этого, что приводит к сопротивлению их потоку.

Более сложные обобщенные формы закона Ома важны для физики конденсированного состояния , которая изучает свойства материи и, в частности, ее электронную структуру . В широком смысле они попадают в область материальных уравнений и теории коэффициентов переноса .

Магнитные эффекты

Если присутствует внешнее поле B и проводник не находится в состоянии покоя, а движется со скоростью v , то необходимо добавить дополнительный член для учета тока, вызванного силой Лоренца на носителях заряда. $${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

В системе покоя движущегося проводника этот член выпадает, поскольку v = 0. Противоречия нет, поскольку электрическое поле в системе покоя отличается от E -поля в лабораторной системе: E′ = E + v × B. Электрические и магнитные поля относительны, см. преобразование Лоренца .

Если ток J является переменным, поскольку приложенное напряжение или E -поле изменяется во времени, то реактивное сопротивление должно быть добавлено к сопротивлению для учета самоиндукции, см. электрический импеданс . Реактивное сопротивление может быть большим, если частота высока или проводник скручен.

Проводящие жидкости

В проводящей жидкости, такой как плазма , наблюдается аналогичный эффект. Рассмотрим жидкость, движущуюся со скоростью в магнитном поле . Относительное движение индуцирует электрическое поле , которое оказывает электрическую силу на заряженные частицы, вызывая электрический ток . Уравнение движения для электронного газа с плотностью чисел записывается как ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle n_{e}}$ $${\displaystyle m_{e}n_{e}{d\mathbf {v} _{e} \over dt}=-n_{e}e\mathbf {E} +n_{e}m_{e}\nu (\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{e})-en_{e}\mathbf {v} _{e}\times \mathbf {B} ,}$$

где , и - заряд, масса и скорость электронов соответственно. Также - частота столкновений электронов с ионами, имеющими поле скорости . Поскольку масса электрона очень мала по сравнению с массой ионов, мы можем проигнорировать левую часть приведенного выше уравнения, чтобы записать ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{e}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle \sigma (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} ,}$$

где мы использовали определение плотности тока , а также поставили , которая является электропроводностью . Это уравнение также можно эквивалентно записать как , где является электрическим сопротивлением . Также часто вместо , что может привести к путанице, поскольку это то же самое обозначение, которое используется для магнитной диффузии, определяемой как . ${\displaystyle \sigma ={n_{e}e^{2} \over \nu m_{e}}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J} ,}$$ ${\displaystyle \rho =\sigma ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta =1/\mu _{0}\sigma }$

Смотрите также

• Портал электроники

• Закон диффузии Фика
• Закон Гопкинсона («закон Ома для магнетизма»)
• Теорема о передаче максимальной мощности
• Теорема Нортона
• Электроэнергия
• Сопротивление слоя
• Теорема о суперпозиции
• Тепловой шум
• Теорема Тевенена

Использует

• Схема светодиод-резистор

Ссылки

1. Консоливер, Эрл Л. и Митчелл, Гровер И. (1920). Автомобильные системы зажигания. McGraw-Hill. стр. 4.
2. Милликен, Роберт А.; Бишоп, Э. С. (1917). Элементы электричества. Американское техническое общество. стр. 54.
3. Хевисайд, Оливер (1894). Electrical Papers. Том 1. Macmillan and Co. стр. 283. ISBN 978-0-8218-2840-3.
4. Янг, Хью; Фридман, Роджер (2008). Университетская физика Сирса и Земански: с современной физикой . Т. 2 (12-е изд.). Пирсон. стр. 853. ISBN 978-0-321-50121-9.
5. Дарриголь, Оливье (8 июня 2000 г.). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Clarendon Press. стр. 70. ISBN 9780198505945..
6. Флеминг, Джон Эмброуз (1911). «Электричество»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Т. 9 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 182.
7. Бордо, Сэнфорд П. (1982). Вольты в герцы — расцвет электричества: от компаса до радио через труды шестнадцати великих ученых, чьи имена используются при измерении электричества и магнетизма . Издательская компания Burgess. С. 86–107. ISBN 9780808749080.
8. Рональдс, Б. Ф. (2016). Сэр Фрэнсис Рональдс: Отец электрического телеграфа . Лондон: Imperial College Press. ISBN 978-1-78326-917-4.
9. Рональдс, Б. Ф. (июль 2016 г.). «Фрэнсис Рональдс (1788–1873): Первый инженер-электрик?». Труды IEEE . 104 (7): 1489–1498. doi :10.1109/JPROC.2016.2571358. S2CID  20662894.
10. Ом, GS (1827). Die galvanische Kette, mathematisch Bearbeitet (PDF) . Берлин: Т.Х. Риман. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2009 г.
11. Дэвис, Брайан (1980). «Паутина голых фантазий?». Physics Education . 15 (1): 57–61. Bibcode : 1980PhyEd..15...57D. doi : 10.1088/0031-9120/15/1/314. S2CID  250832899.
12. Харт, Айвор Блашка (1923). Творцы науки. Лондон: Oxford University Press. стр. 243. OL  6662681M..
13. Шнэдельбах, Герберт (14 июня 1984 г.). Философия в Германии 1831-1933 гг . Издательство Кембриджского университета. стр. 78–79. ISBN 9780521296465.
14. Талиаферро Престон (1855). «Телеграфный компаньон Шаффнера: посвящён науке и искусству телеграфа Морзе». Т. 2. Падни и Рассел.
15. Перселл, Эдвард М. (1985), Электричество и магнетизм , Курс физики Беркли, т. 2 (2-е изд.), McGraw-Hill, стр. 129, ISBN 978-0-07-004908-6
16. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999), Введение в электродинамику (3-е изд.), Prentice Hall, стр. 289, ISBN 978-0-13-805326-0
17. Вебер, Б.; Махапатра, С.; Рю, Х.; Ли, С.; Фюрер, А.; Ройш, TCG; Томпсон, DL; Ли, WCT; Климек, Г.; Холленберг, LCL; Симмонс, MY (2012). «Закон Ома сохраняется до атомного масштаба». Science . 335 (6064): 64–67. Bibcode :2012Sci...335...64W. doi :10.1126/science.1214319. PMID  22223802. S2CID  10873901.
18. Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle». Аннален дер Физик . 306 (3): 566–613. Бибкод : 1900АнП...306..566Д. дои : 10.1002/andp.19003060312 .^{[ мертвая ссылка ]}
19. Друде, Пол (1900). «Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Гальваномагнитные и термомагнитные эффекты». Аннален дер Физик . 308 (11): 369–402. Бибкод : 1900АнП...308..369Д. дои : 10.1002/andp.19003081102.^{[ мертвая ссылка ]}
20. A. Akers; M. Gassman & R. Smith (2006). Анализ гидравлической системы питания. Нью-Йорк: Taylor & Francis. Глава 13. ISBN 978-0-8247-9956-4.
21. А. Эспозито, «Упрощенный метод анализа цепей по аналогии», Machine Design , октябрь 1969 г., стр. 173–177.
22. Гайтон, Артур; Холл, Джон (2006). "Глава 14: Обзор кровообращения; Медицинская физика давления, потока и сопротивления". В Gruliow, Rebecca (ред.). Учебник медицинской физиологии (11-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: Elsevier Inc. стр. 164. ISBN 978-0-7216-0240-0.
23. Нильссон, Джеймс Уильям и Ридель, Сьюзен А. (2008). Электрические цепи. Prentice Hall. стр. 29. ISBN 978-0-13-198925-2.
24. Halpern, Alvin M. & Erlbach, Erich (1998). Очерк Шаума о теории и проблемах начальной физики II. McGraw-Hill Professional. стр. 140. ISBN 978-0-07-025707-8.
25. Патрик, Дейл Р. и Фардо, Стивен В. (1999). Понимание цепей постоянного тока. Newnes. стр. 96. ISBN 978-0-7506-7110-1.
26. О'Конор Слоан, Томас (1909). Элементарные электрические расчеты. D. Van Nostrand Co. стр. 41. R = пропорциональный закон Ома.
27. Камминг, Линней (1902). Электричество, экспериментально изученное для использования в школах и студентами. Longman's Green and Co., стр. 220. V=IR Закон Ома.
28. Stein, Benjamin (1997). Строительная технология (2-е изд.). John Wiley and Sons. стр. 169. ISBN 978-0-471-59319-5.
29. Прасад, Раджендра (2006). Основы электротехники. Prentice-Hall of India. ISBN 978-81-203-2729-0.
30. Хьюз, Э., Электротехника , стр. 10, Longmans, 1969.
31. Браун, Форбс Т. (2006). Динамика инженерных систем. CRC Press. стр. 43. ISBN 978-0-8493-9648-9.
32. Кайзер, Кеннет Л. (2004). Справочник по электромагнитной совместимости. CRC Press. С. 13–52. ISBN 978-0-8493-2087-3.
33. Горовиц, Пол ; Хилл, Уинфилд (1989). Искусство электроники (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 13. ISBN 978-0-521-37095-0.
34. Нормал Локьер, ред. (21 сентября 1876 г.). «Отчеты». Nature . 14 (360). Macmillan Journals Ltd: 451–459 [452]. Bibcode :1876Natur..14..451.. doi : 10.1038/014451a0 .
35. Кирби, CGM; Лаубиц, MJ (июль 1973 г.). «Ошибка из-за эффекта Пельтье при измерениях сопротивления постоянным током». Metrologia . 9 (3): 103–106. doi :10.1088/0026-1394/9/3/001. ISSN  0026-1394.
36. Черемисин, М. В. (февраль 2001 г.). «Коррекция омического сопротивления, вызванная эффектом Пельтье». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 92 (2): 357–360. arXiv : physics/9908060 . doi :10.1134/1.1354694. ISSN  1063-7761.
37. Лернер, Лоуренс С. (1977). Физика для ученых и инженеров. Джонс и Бартлетт. стр. 736. ISBN 978-0-7637-0460-5.
38. Сеймур Дж., Физическая электроника , Питман, 1972, стр. 53–54.
39. Лернер Л., Физика для ученых и инженеров , Джонс и Бартлетт, 1997, стр. 685–686.
40. Лернер Л., Физика для ученых и инженеров , Джонс и Бартлетт, 1997, стр. 732–733
41. Сеймур Дж., Физическая электроника , стр. 48–49, Питман, 1972

Дальнейшее чтение

• Глава «Закон Ома» из книги и серии «Уроки электрических цепей. Том 1».
• Джон К. Шедд и Майо Д. Херши, «История закона Ома», Popular Science , декабрь 1913 г., стр. 599–614, Bonnier Corporation ISSN  0161-7370, описывает историю исследований Ома, предыдущие работы, ложное уравнение Ома в первой статье, иллюстрацию экспериментального аппарата Ома.
• Шагрин, Мортон Л. (1963). «Сопротивление закону Ома». Американский журнал физики . 31 (7): 536–547. Bibcode : 1963AmJPh..31..536S. doi : 10.1119/1.1969620. S2CID  120421759.Исследует концептуальные изменения, лежащие в основе экспериментальной работы Ома.
• Кеннет Л. Канева, «Ом, Георг Симон». Полный словарь научной биографии . 2008
• s:Научные мемуары/2/Гальваническая цепь, исследованная математически, перевод оригинальной статьи Ома.

Внешние ссылки

• Калькулятор закона Ома