О размерах и расстояниях (Аристарх)

Работа Аристарха Самосского, греческого астронома

Расчеты Аристарха, сделанные в III веке до н. э., по относительным размерам (слева направо) Солнца, Земли и Луны, по греческой копии X века н. э.

О размерах и расстояниях ( Солнца и Луны  ). apostēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs] ) широко признан как единственный сохранившийся труд, написанный Аристархом Самосским , древнегреческим астрономом, жившим около 310–230 гг. до н.э. В этой работе рассчитываются размеры Солнца и Луны , а также их расстояния от Земли относительно радиуса Земли.

Книга, предположительно, была сохранена студентами курса математики Паппа Александрийского , хотя никаких доказательств этому нет. Edio princeps было опубликовано Джоном Уоллисом в 1688 году с использованием нескольких средневековых рукописей, составленных сэром Генри Сэвилом . ^[1] Самый ранний латинский перевод был сделан Джорджио Валла в 1488 году. Существует также латинский перевод 1572 года и комментарий Фредерико Коммандино . ^{[2] [3]}

Символы

Метод работы основывался на нескольких наблюдениях:

• Видимый размер Солнца и Луны на небе.
• Размер тени Земли по отношению к Луне во время лунного затмения
• Угол между Солнцем и Луной во время полумесяца составляет 90°.

Остальная часть статьи посвящена реконструкции метода и результатов Аристарха. ^[4] Реконструкция использует следующие переменные:

Полумесяц

Аристарх начал с предпосылки, что во время полумесяца Луна образует прямоугольный треугольник с Солнцем и Землей. Наблюдая угол между Солнцем и Луной, φ , можно было вывести отношение расстояний до Солнца и Луны, используя форму тригонометрии .

Из диаграммы и тригонометрии мы можем вычислить, что

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

Диаграмма сильно преувеличена, потому что в действительности S = ​​390 L , а φ чрезвычайно близок к 90°. Аристарх определил φ как одну тридцатую квадранта (в современных терминах, 3°) меньше прямого угла: в современной терминологии, 87°. Тригонометрические функции еще не были изобретены, но, используя геометрический анализ в стиле Евклида , Аристарх определил, что

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

Другими словами, расстояние до Солнца было где-то в 18-20 раз больше расстояния до Луны. Это значение (или значения, близкие к нему) принималось астрономами в течение следующих двух тысяч лет, пока изобретение телескопа не позволило точнее оценить солнечный параллакс .

Аристарх также рассуждал, что поскольку угловые размеры Солнца и Луны одинаковы, но расстояние до Солнца в 18–20 раз больше, чем до Луны, то Солнце должно быть в 18–20 раз больше.

Лунное затмение

Затем Аристарх использовал другую конструкцию, основанную на лунном затмении:

По подобию треугольников и ${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$ ${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

Разделив эти два уравнения и используя наблюдение, что Солнце и Луна кажутся людям на Земле одинакового размера, получаем ${\displaystyle s/S=\ell /L}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

Самое правое уравнение можно решить либо относительно , либо ${\displaystyle \ell /t}$ ${\displaystyle s/t}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.}$

Эти уравнения можно упростить, выразив длины и через радиус Луны как единицу, определив и Тогда ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$ ${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

Приведенные выше уравнения дают радиусы Луны и Солнца исключительно в терминах наблюдаемых величин.

Следующие формулы дают расстояния до Солнца и Луны в земных единицах:

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

где θ — видимый радиус Луны и Солнца, измеренный в градусах.

Аристарх не использовал эти точные формулы, однако они, вероятно, являются хорошим приближением к формулам Аристарха.

Результаты

Вышеприведенные формулы можно использовать для реконструкции результатов Аристарха. В следующей таблице показаны результаты давней (но сомнительной) реконструкции с использованием n = 2, x = 19,1 ( φ = 87°) и θ = 1°, наряду с современными принятыми значениями.

^{[ необходима ссылка ]}

Ошибка в этом расчете в первую очередь происходит из-за плохих значений для x и θ . Плохое значение для θ особенно удивительно, поскольку Архимед пишет, что Аристарх был первым, кто определил, что Солнце и Луна имеют видимый диаметр в половину градуса. Это дало бы значение θ = 0,25 и соответствующее расстояние до Луны в 80 радиусов Земли, что является гораздо лучшей оценкой. Разногласие работы с Архимедом, по-видимому, связано с тем, что она приняла утверждение Аристарха о том, что лунно-солнечный диаметр составляет 1/15 «мероса» зодиака, как 1/15 зодиакального знака (30°), не зная, что греческое слово «мерос» означало либо «часть», либо 7°1/2; а 1/15 последнего количества составляет 1°/2, в соответствии со свидетельством Архимеда.

Похожую процедуру позднее использовали Гиппарх , который оценил среднее расстояние до Луны в 67 радиусов Земли, и Птолемей , который принял за это значение 59 радиусов Земли.

Иллюстрации

Некоторые интерактивные иллюстрации положений книги « О размерах» можно найти здесь:

• Гипотеза 4 утверждает, что когда Луна видится нам разделенной пополам, ее расстояние от Солнца тогда меньше квадранта на одну тридцатую квадранта [то есть оно меньше 90° на 1/30 от 90° или 3° и, следовательно, равно 87°] (Хит 1913:353).
• Предложение 1 гласит, что две равные сферы охватываются одним и тем же цилиндром, а две неравные сферы — одним и тем же конусом, вершина которого направлена ​​к меньшей сфере; и прямая линия, проведенная через центры сфер, находится под прямым углом к ​​каждой из окружностей, в которых поверхность цилиндра или конуса касается сфер (Heath 1913:354).
• Предложение 2 гласит, что если сфера освещается сферой большей, чем она сама, то освещенная часть первой сферы будет больше полусферы (Хит 1913:358).
• Предложение 3 гласит, что круг на Луне, разделяющий темную и светлую части, наименьший, когда вершина конуса, охватывающего как Солнце, так и Луну, находится в нашем глазу (Хит 1913:362).
• Предложение 4 гласит, что круг, разделяющий темные и светлые части Луны, не отличается заметно от большого круга Луны (Хит 1913:365).
• Предложение 6 гласит, что Луна движется [по орбите] ниже, чем [орбита] Солнца, и, когда она делится пополам, находится на расстоянии менее квадранта от Солнца (Хит 1913:372).
• Предложение 7 гласит, что расстояние от Солнца до Земли больше, чем в 18 раз, но меньше, чем в 20 раз, расстояния от Луны до Земли (Heath 1913:377). Другими словами, Солнце находится в 18–20 раз дальше и шире Луны.
• Предложение 13 гласит, что прямая линия, стягивающая часть, отсекаемую внутри земной тени окружности круга, по которой движутся концы диаметра круга, разделяющего темную и светлую части Луны, меньше двойного диаметра Луны, но имеет к нему отношение большее, чем отношение 88 к 45; и она меньше 1/9 части диаметра Солнца, но имеет к нему отношение большее, чем отношение 21 к 225. Но она имеет к прямой линии, проведенной из центра Солнца под прямым углом к ​​оси и пересекающей стороны конуса, отношение большее, чем отношение 979 к 10 125 (Heath 1913:394).
• Предложение 14 гласит, что прямая линия, соединяющая центр Земли с центром Луны, имеет к прямой линии, отсекаемой от оси в направлении центра Луны прямой линией, стягивающей [окружность] внутри тени Земли, отношение, большее, чем отношение 675 к 1 (Heath 1913:400).
• Предложение 15 гласит, что диаметр Солнца имеет к диаметру Земли отношение большее, чем 19/3, но меньшее, чем 43/6 (Heath 1913:403). Это означает, что Солнце (в среднем) 6+3 ⁄ 4 раза шире Земли, или что Солнце 13+1 ⁄ 2 радиуса Земли. Луна и Солнце должны быть тогда 20+1 ⁄ 4 и 387 радиусов Земли от нас, чтобы составить угловой размер 2º.
• Предложение 17а в средневековой арабской версии книги ат-Туси « О размерах» гласит, что отношение расстояния вершины конуса тени от центра Луны (когда Луна находится на оси [то есть в середине затмения] конуса, содержащего Землю и Солнце) к расстоянию центра Луны от центра Земли больше, чем отношение 71 к 37, и меньше, чем отношение 3 к одному (Берггрен и Сидоли 2007:218). ^[5] Другими словами, что вершина конуса тени Земли находится между 108/37 и в четыре раза дальше, чем Луна.

Известные копии

• Экспозиция Библиотеки Конгресса Ватикана.

Смотрите также

• Аристарх Самосский
• Эратосфен (ок.  276  – ок.  194/195 до н. э. ), греческий математик, который вычислил длину окружности Земли, а также расстояние от Земли до Солнца.
• Гиппарх (ок.  190  – ок.  120 до н. э. ), греческий математик, измеривший радиусы Солнца и Луны, а также их расстояния от Земли.
• О размерах и расстояниях (Гиппарх)
• Посидоний (ок.  135  – ок.  51 до н. э. ), греческий астроном и математик, вычисливший длину окружности Земли.

Примечания

1. Хит, Томас (1913). Аристарх Самосский, древний Коперник. Оксфорд: Clarendon. стр. 323.
2. Берггрен и Сидоли. 2007. «О размерах и расстояниях Солнца и Луны: греческие и арабские тексты Аристарха». Arch. Hist. Exact Sci. 61(3), стр. 213–54. doi :10.1007/s00407-006-0118-4
3. Ноак Б. (1992) Аристарх фон Самос: Untersuchungen zur Überlieferungsgeschichte der Schrif Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ἡλίου καὶ σελήνης , Висбаден.
4. Видео о реконструкции метода Аристарха (на турецком языке, без субтитров)
5. Берггрен, Дж. Л. и Н. Сидоли (2007) «'Aristarchus's On the Sizes and Distances of the Sun and the Moon: Greek and Arabic Texts', Архив для History of Exact Sciences, Vol. 61, no. 3, 213–254» (PDF) . Архивировано из оригинала 28 апреля 2011 г. . Получено 07.11.2011 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link).

Библиография

• Гомес, Альберто (2023). Расшифровка Аристарха. Берлин : Питер Ланг Верлаг . ISBN 9783631892619.
• Хит, Томас (1913). Аристарх Самосский, древний Коперник. Оксфорд: Clarendon. Позднее это было переиздано, см. ( ISBN 0-486-43886-4 ). 
• Ван Хелден, А. Измерение Вселенной: космические измерения от Аристарха до Галлея . Чикаго: Университет. Чикагский пр., 1985. ISBN 0-226-84882-5 .