Православная полугруппа

В математике ортодоксальная полугруппа — это регулярная полугруппа , множество идемпотентов которой образует подполугруппу . В более поздней терминологии ортодоксальная полугруппа — это регулярная E -полугруппа . ^[1] Термин ортодоксальная полугруппа был придуман TE Hall и представлен в статье, опубликованной в 1969 году. ^{[2] [3]} Некоторые специальные классы ортодоксальных полугрупп изучались ранее. Например, полугруппы, которые также являются объединениями групп, в которых множества идемпотентов образуют подполугруппы, изучались PHH Fantham в 1960 году. ^[4]

Примеры

• Рассмотрим бинарную операцию на множестве S = { a , b , c , x }, определенную следующей таблицей Кэли  :

Тогда S является ортодоксальной полугруппой относительно этой операции, подполугруппа идемпотентов которой равна { a , b , c }. ^[5]

• Примерами ортодоксальных полугрупп являются инверсные полугруппы и полосы . ^[6]

Некоторые элементарные свойства

Множество идемпотентов в ортодоксальной полугруппе имеет несколько интересных свойств. Пусть S — регулярная полугруппа, и для любого a из S пусть V ( a ) обозначает множество обратных элементов a . Тогда следующие условия эквивалентны: ^[5]

• S — ортодоксальный.
• Если a и b находятся в S и если x находится в V ( a ), а y находится в V ( b ), то yx находится в V ( ab ).
• Если e — идемпотент в S , то каждый обратный к e элемент также является идемпотентом.
• Для любых a , b из S , если V ( a ) ∩  V ( b ) ≠ ∅, то V ( a ) = V ( b ).

Структура

Структура ортодоксальных полугрупп была определена в терминах полос и обратных полугрупп. Теорема Холла–Ямады о пулбэке описывает эту конструкцию. Конструкция требует концепции пулбэков (в категории полугрупп) и представления Намбурипада фундаментальной регулярной полугруппы. ^[6]

Смотрите также

• Католическая полугруппа
• Специальные классы полугрупп

Ссылки

1. J. Almeida, J.-É. Pin и P. Weil Полугруппы, идемпотенты которых образуют подполугруппу обновленная версия Almeida, J.; Pin, J.-É.; Weil, P. (2008). "Полугруппы, идемпотенты которых образуют подполугруппу". Математические труды Кембриджского философского общества . 111 (2): 241. doi :10.1017/S0305004100075332. S2CID  6344747.
2. Холл, TE (1969). «О регулярных полугруппах, идемпотенты которых образуют подполугруппу». Бюллетень Австралийского математического общества . 1 (2): 195–208. doi : 10.1017/s0004972700041447 .
3. Клиффорд, AH; Хофманн, KH; Мислав, MW, ред. (1996). Теория полугрупп и ее приложения: Труды конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда . Cambridge University Press. стр. 70. ISBN 9780521576697.
4. PHH Fantham (1960). «О классификации определенного типа полугрупп». Труды Лондонского математического общества . 1 : 409–427. doi :10.1112/plms/s3-10.1.409.
5. JM Howie (1976). Введение в теорию полугрупп . Лондон: Academic Press. С. 186–211.
6. PA Grillet. Полугруппы: Введение в теорию структур . Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc. стр. 341.