Потенциал Пёшля-Теллера

В математической физике потенциал Пёшля–Теллера , названный в честь физиков Герты Пёшль ^[1] (упоминается как Г. Пёшль) и Эдварда Теллера , представляет собой особый класс потенциалов, для которых одномерное уравнение Шредингера может быть решено в терминах специальных функций .

Определение

В своей симметричной форме явно задается выражением ^[2]

Симметричный потенциал Пёшля–Теллера: . Он показывает собственные значения для μ = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ${\displaystyle -{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\operatorname {sech} ^{2}(x)}$

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

и решения не зависящего от времени уравнения Шредингера

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

с этим потенциалом можно найти с помощью подстановки , что дает ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

Таким образом, решениями являются просто функции Лежандра с , и , . Более того, собственные значения и данные рассеяния могут быть явно вычислены. ^[3] В частном случае целого числа потенциал является безотражательным, и такие потенциалы также возникают как N-солитонные решения уравнения Кортевега–де Фриза . ^[4] ${\displaystyle \psi (u)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}$ ${\displaystyle E=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots }$ ${\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Более общая форма потенциала имеет вид ^[2]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}$

Потенциал Розена-Морзе

Соответствующий потенциал задается путем введения дополнительного члена: ^[5]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x.}$

Смотрите также

• потенциал Морзе
• Тригонометрический потенциал Розена-Морзе

Список литературы

1. ""Биографические мемуары Эдварда Теллера." Стивена Б. Либби и Эндрю М. Сесслера, 2009 (опубликовано в Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific heritage of Edward Teller, World Scientific, 2010" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-01-18 . Получено 2011-11-29 .
2. Пёшль, Г.; Теллер, Э. (1933). «Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators». Zeitschrift für Physik . 83 (3–4): 143–151. Бибкод : 1933ZPhy...83..143P. дои : 10.1007/BF01331132. S2CID  124830271.
3. Зигфрид Флюгге Практическая квантовая механика (Springer, 1998)
4. Лекнер, Джон (2007). «Безотражательные собственные состояния потенциала sech2». Американский журнал физики . 875 (12): 1151–1157. Bibcode : 2007AmJPh..75.1151L. doi : 10.1119/1.2787015.
5. Barut, AO; Inomata, A.; Wilson, R. (1987). "Алгебраическая обработка вторых уравнений Пошля-Теллера, Морса-Розена и Эккарта". Journal of Physics A: Mathematical and General . 20 (13): 4083. Bibcode : 1987JPhA...20.4083B. doi : 10.1088/0305-4470/20/13/017. ISSN  0305-4470.

Внешние ссылки

• Собственные состояния для потенциалов Пёшля-Теллера.