В динамике твёрдого тела парадокс Пенлеве (также называемый Жан-Жаком Моро пароксизмами трения ) — это парадокс, возникающий из-за несоответствий между контактной и кулоновской моделями трения . [1] Он назван в честь бывшего премьер-министра Франции и математика Поля Пенлеве .
Для демонстрации парадокса строится гипотетическая система, анализ которой требует предположения о направлении силы трения. Используя это предположение, система решается. Однако после получения решения определяется, что окончательное направление движения противоречит предполагаемому направлению силы трения, что приводит к парадоксу. [1]
Этот результат обусловлен рядом разрывов в поведении твердых тел и разрывами, присущими закону трения Кулона, особенно при больших коэффициентах трения. [2] Однако существуют простые примеры, которые доказывают, что парадоксы Пенлеве могут возникать даже при небольшом, реалистичном трении.
Упрощенные модели трения, применяемые к полностью твердым телам, чрезвычайно полезны для базового понимания физических принципов или при моделировании систем для таких приложений, как анимация, робототехника и биомеханика. Однако они являются лишь приближением к полной упругой модели, требующей сложных систем частных дифференциальных уравнений .
Было опубликовано несколько решений парадокса. Математическое решение было опубликовано в 1990-х годах Дэвидом Э. Стюартом. [3] В том же десятилетии Франк Жено и Бернар Брольято опубликовали объяснение парадокса с более механической точки зрения, введя GB-точки (или многообразия). [4]
Жено и Брольято очень подробно изучили динамику стержня в окрестности особой точки фазового пространства, когда стержень скользит. Динамические уравнения тогда представляют собой особое сингулярное обыкновенное дифференциальное уравнение с векторным полем f ( x )/ g ( x ), где и f, и g могут исчезать в определенной точке (угол и угловая скорость). Одним из результатов является то, что в этой особой точке контактная сила может неограниченно расти, однако ее импульс всегда остается ограниченным (это может объяснить, почему численные методы с временным шагом, такие как схема Моро, могут хорошо справляться с такими ситуациями, поскольку они оценивают импульс, а не силу [5] ). Следовательно, бесконечная контактная сила вовсе не является препятствием для интегрирования. Другая ситуация (отличная от первой) заключается в том, что траектории могут достигать зоны в фазовом пространстве, где линейная задача дополнительности (LCP), которая дает контактную силу, не имеет решения. Тогда решение (т. е. угловая скорость стержня) должно перескочить в область, где LCP имеет решение. Это действительно создает своего рода «удар» с разрывом скорости. [6] После открытия Жено и Брольято, Хоган, Чизман и их коллеги провели глубокий анализ парадокса Пэнлеве в размерности 3. [7] Они также представили подробный анализ регуляризованной задачи в пределе. [8] [9]
Примечательно, что Ж. Ж. Моро в своей основополагающей статье [10] посредством численного моделирования с использованием своей схемы временного шага (впоследствии названной схемой Моро) показал , что парадоксы Пенлеве можно моделировать с помощью подходящих методов временного шага по причинам, указанным выше Жено и Брольято.
Распространенной демонстрацией парадокса является «подпрыгивание» мела, когда его заставляют скользить по доске. Поскольку парадоксы Пенлеве основаны на механической модели трения Кулона, где вычисленная сила трения может иметь несколько значений, когда точка контакта не имеет тангенциальной скорости, это упрощенная модель контакта. Тем не менее, она инкапсулирует основные динамические эффекты трения, такие как зоны прилипания и скольжения. В дополнение к этому простому примеру были продемонстрированы более сложные реализации парадоксов Пенлеве. [11]