В геометрии аксиома Паша — это утверждение в планарной геометрии , неявно использованное Евклидом , которое не может быть выведено из постулатов , как их дал Евклид. [1] Его существенная роль была открыта Морицем Пашем в 1882 году. [2]
Аксиома гласит, что [3]
Аксиома Паша — Пусть A , B , C — три точки, не лежащие на одной прямой , и пусть a — прямая в плоскости ABC , которая не пересекает ни одну из точек A , B , C. Если прямая a проходит через точку отрезка AB , то она также проходит через точку отрезка AC или через точку отрезка BC .
Тот факт, что отрезки AC и BC не пересекаются прямой a, доказан в Приложении I,1, написанном П. Бернайсом . [4]
Более современная версия этой аксиомы выглядит следующим образом: [5]
Более современная версия аксиомы Паша — На плоскости, если прямая пересекает одну сторону треугольника изнутри , то она пересекает точно одну другую сторону изнутри и третью сторону снаружи , если она не проходит через вершину треугольника.
(В случае, если третья сторона параллельна нашей линии, мы считаем «пересечение в бесконечности» внешним.) Часто встречается более неформальная версия аксиомы:
Более неформальная версия аксиомы Паша — если прямая, не проходящая ни через одну вершину треугольника, пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает другую сторону.
Паш опубликовал эту аксиому в 1882 году [2] и показал, что аксиомы Евклида были неполными. Аксиома была частью подхода Паша к введению концепции порядка в геометрию плоскости.
В других трактовках элементарной геометрии, использующих различные наборы аксиом, аксиому Паша можно доказать как теорему; [6] она является следствием аксиомы разделения плоскостей, когда она берётся как одна из аксиом. Гильберт использует аксиому Паша в своей аксиоматической трактовке евклидовой геометрии . [7] Учитывая оставшиеся аксиомы в системе Гильберта, можно показать, что аксиома Паша логически эквивалентна аксиоме разделения плоскостей. [8]
Дэвид Гильберт использует аксиому Паша в своей книге «Основания геометрии» , которая дает аксиоматическую основу для евклидовой геометрии. В зависимости от издания, она имеет номер II.4 или II.5. [7] Его утверждение приведено выше.
В трактовке Гильберта эта аксиома появляется в разделе, посвященном аксиомам порядка, и называется плоской аксиомой порядка . Поскольку он не формулирует аксиому в терминах сторон треугольника (рассматриваемых как линии, а не как отрезки), нет необходимости говорить о внутренних и внешних пересечениях линии a со сторонами треугольника ABC .
Аксиома Паша отличается от теоремы Паша , которая является утверждением о порядке четырех точек на прямой. Однако в литературе есть много случаев, когда аксиому Паша называют теоремой Паша. Ярким примером этого является Гринберг (1974, стр. 67).
Аксиому Паша не следует путать с аксиомой Веблена-Юнга для проективной геометрии [9] , которую можно сформулировать следующим образом:
Аксиома Веблена-Юнга для проективной геометрии — если прямая пересекает две стороны треугольника, то она пересекает и третью сторону.
В аксиоме Веблена-Юнга, которая касается только свойства инцидентности пересекающихся прямых, нет упоминания о внутренних и внешних пересечениях. В проективной геометрии понятие промежуточности (требуемое для определения внутренних и внешних) недействительно, и все прямые пересекаются (поэтому вопрос о параллельных прямых не возникает).