Шахматный эндшпиль без пешек

Шахматные позиции с несколькими фигурами, где ни одна из них не является пешкой

Шахматный эндшпиль без пешек — это шахматный эндшпиль , в котором осталось всего несколько фигур и нет пешек . Основные маты — это типы эндшпилей без пешек. Эндшпили без пешек на практике встречаются нечасто, за исключением основных матов короля и ферзя против короля, короля и ладьи против короля и ферзя против ладьи. ^[1] Другие случаи, которые встречаются время от времени: (1) ладья и легкая фигура против ладьи и (2) ладья против легкой фигуры, особенно если легкая фигура — слон . [ ^2]

Изучение некоторых эндшпилей без пешек уходит корнями в глубину веков такими игроками, как Франсуа-Андре Даникан Филидор (1726–1795) и Доменико Лоренцо Понциани (1719–1796). С другой стороны, многие детали и недавние результаты связаны с построением эндшпильных таблиц . Гроссмейстер Джон Нанн написал книгу ( Secrets of Pawnless Endings ), в которой суммируются исследования эндшпильных таблиц для нескольких типов эндшпильных окончаний.

Оценка позиций эндшпиля предполагает оптимальную игру обеих сторон. В некоторых случаях одна из сторон этих эндшпилей может форсировать победу ; в других случаях игра заканчивается вничью ( т. е. книжной ничьей ).

Терминология

• Крупные фигуры — ферзи и ладьи. Мелкие фигуры —конии слоны.
• Ряд — это ряд клеток на шахматной доске . Вертикаль — это столбец клеток на доске.
• Если у игрока два слона, предполагается, что они находятся на противоположных цветах, если не указано иное.

Когда указано количество ходов для победы, предполагается оптимальная игра обеих сторон. Количество ходов, отведенных для победы, равно пока либо мат , либо позиция не будет преобразована в более простую позицию, которая, как известно, является выигрышной. Например, в игре ферзь против ладьи это будет продолжаться до тех пор, пока либо мат, либо ладья не будет взята , что приведет к позиции, которая приведет к элементарному мату.

Базовые маты

Мат может быть вынужден против одинокого короля с королем плюс (1) ферзь, (2) ладья, (3) два слона или (4) слон и конь . Мат возможен с двумя конями , но его нельзя принудительно поставить.

Ферзь против ладьи

Черные используют защиту третьей горизонтали . Белые могут выиграть эту позицию всего за 19 ходов при правильной игре, начиная с 1. Фf4.

Ферзь выигрывает против одинокой ладьи, если только не происходит немедленная ничья из -за пата или вечного шаха ^[3] (или если ладья или король могут немедленно взять ферзя). В 1895 году Эдвард Фриборо отредактировал целую 130-страничную книгу анализа этого эндшпиля под названием «Шахматное окончание, король и королева против короля и ладьи» . Обычно процесс выигрыша включает в себя сначала выигрыш ладьи ферзем с помощью вилки , а затем мат королем и королевой, но принудительные маты с ладьей, все еще находящейся на доске, возможны в некоторых позициях или против неправильной защиты. При идеальной игре в худшей выигрышной позиции ферзь может выиграть ладью или поставить мат в течение 31 хода. ^[4]

Защита третьей горизонтали — это когда ладья находится на третьей горизонтали или вертикали от края доски, ее король находится ближе к краю, а вражеский король — на другой стороне (см. диаграмму). Эту защиту человеку трудно победить. Например, выигрышный ход в показанной позиции — это нелогичный отход ферзя с седьмой горизонтали в более центральное положение, 1. Qf4 , чтобы ферзь мог совершать проверочные маневры, чтобы выиграть ладью вилкой, если она движется по третьей горизонтали. Если черный король выходит с задней горизонтали, 1... Kd7 , затем 2. Qa4+ Kc7; 3. Qa7+ вынуждает черных перейти к защите второй горизонтали (защищая короля на краю доски и ладью на соседней горизонтали или вертикали) после 3... Rb7 . Эта позиция — стандартный выигрыш, поскольку белые направляются к позиции Филидора с ферзем против ладьи (в следующем разделе). ^[5] Возможное продолжение: 4. Фc5+ Крb8 5. Крd6 Лg7 6. Фe5 Лc7 7. Фf4 Крc8 8. Фf5+ Крb8 9. Фe5 Лb7 10. Крc6+ Крa8 11. Фd5 Крb8 12. Фa5 [Филидор — мат в 7 ходов] .

позиция Филидора

Филидор, 1777 г.

Белые выигрывают при любом ходе сторон.

Позиция Филидора — это позиция ферзя против ладьи.

Если черные пойдут в этой позиции, они быстро потеряют ладью из-за вилки (или получат мат). Например,

1... Лb1

2. Фd8+ Крa7

3. Фd4+ Крa8

4. Фh8+ Крa7

5. Фh7+

таким образом, ладья ставится на вилку на b1.

Если, с другой стороны, Белые должны сделать ход в этой позиции, они хотели бы оказаться в этой позиции, за исключением хода Черных. Это может быть достигнуто путем триангуляции :

1. Фe5+ Крa8

2. Фa1+ Крb8

3. Фa5

и теперь он возвращается к той же расстановке, но черным приходится делать ход, и они находятся в цугцванге . ^{[6] [7]} Нанн описывает, что с фигурами в центре доски ферзь должен заставить ладью перейти в позицию Филидора . Нанн описывает различные позиции отступления для ладьи, защиты «четвертой, третьей, второй» горизонталей, затем «позицию Филидора». Обычно белым легко заставить черных занять позицию Филидора. ^[8] Когда очередь черных играть в позиции Филидора, ладью можно выиграть за несколько ходов. ^[9]

Пример из игры

Гельфанд против Свидлера, 2001

Черные могут выиграть эту позицию всего за 13 ходов при оптимальной игре с обеих сторон.

В этой партии 2001 года ^[10] между Борисом Гельфандом и Петром Свидлером [ ^11] игрок с ферзем должен был победить, но партия закончилась вничью из-за правила пятидесяти ходов после того, как черные не смогли найти выигрышные маневры для вилки и взятия ладьи.

Такая же позиция, но с переменой цветов, имела место в партии 2006 года между Александром Морозевичем и Дмитрием Яковенко — она также закончилась вничью. ^{[12] [13]} В конце той партии ладья стала « десперадо» , и игра закончилась патом после взятия ладьи (в противном случае игра в конечном итоге закончилась бы вничью посредством троекратного повторения ).

Браун против Белль

Эндшпиль ферзь против ладьи был одним из первых эндшпилей, полностью решенных компьютерами, создавшими эндшпильную таблицу . В 1978 году гроссмейстеру Уолтеру Брауну был брошен вызов , в котором Браун поставил бы ферзя в трудное положение, защищенное Белль , используя эндшпильную таблицу. Браун мог бы выиграть ладью или поставить мат за 31 ход при идеальной игре. После 45 ходов Браун понял, что он не сможет выиграть за 50 ходов, согласно правилу пятидесяти ходов. ^[14] Браун изучил эндшпиль и позже в том же месяце сыграл еще одну партию с другой начальной позиции. На этот раз он выиграл, взяв ладью на 50-м ходу. ^{[3] [15]}

Королева против двух легких фигур

Защитные крепости существуют для любой из двух легких фигур против ферзя. Однако, за исключением случая двух коней, крепость обычно не может быть достигнута против оптимальной игры. (См. крепость для более подробной информации об этих окончаниях.)

• Ферзь против слона и коня : Ферзь обычно побеждает слона и коня, но есть одна ничья, крепостная позиция, образующая барьер против подхода вражеского короля. ^[17] В общем, ничья позиции в этом эндшпиле сводится к тому, сможет ли защитник достичь крепости Карстедта. ^[18] Другая позиция, данная Понциани в 1782 году, более искусственна: король ферзя заперт в углу слоном и конем, которые защищены своим королем. ^[19]
• Ферзь против двух слонов : у ферзя есть теоретически вынужденная победа против двух слонов в большинстве позиций, но победа может потребовать до семидесяти одного хода (ничья может быть заявлена ​​после пятидесяти ходов по правилу пятидесяти ходов); есть одна ничья-крепость для двух слонов. ^[17] Ничья Лолли (единственная крепость в Q против BB) требует большей осторожности от защитника, чем ничья Карстедта в Q против BN; защитник должен избежать связывания слона. Это окончание считалось ничьей до появления эндшпильных таблиц. С учетом сказанного, победа довольно сложна. ^[20]
• Королева против двух коней : два коня обычно могут сыграть против королевы, если король находится рядом со своими конями, и они находятся в разумной позиции, построив крепость. ^[17] Лучшая защита — чтобы кони стояли бок о бок, а их король находился между ними и вражеским королем (защита Лолли). Следующее по эффективности расположение коней — чтобы они были расположены по диагонали рядом. Третья и самая рискованная защита — чтобы кони защищали друг друга. Если кони отрезаны от своего короля, защитник обычно обречен, за исключением некоторых необычных позиций, когда кони загоняют вражеского короля в угол. ^[21]

Распространенные безпешечные окончания (ладья и легкие фигуры)

Джон Нанн перечисляет следующие типы безпешечных окончаний как наиболее распространённые: (1) ладья против лёгкой фигуры и (2) ладья и лёгкая фигура против ладьи. ^[2]

• Ладья против слона : Обычно это ничья. Главное исключение — когда защищающийся король оказывается в углу, который имеет тот же цвет поля, что и его слон ^[22] (см. Неправильный слон#Ладья против слона ). Если защищающийся король оказывается в углу, который имеет противоположный цвет, чем его слон, он делает ничью (см. Крепость (шахматы)#Крепость в углу ). См. партию Веселина Топалова против Юдит Полгар , где Топалов защищался и сыграл вничью, чтобы закрепить победу в их матче в Дос-Эрманасе 2008 года . ^[23] В общем, атакующий может форсировать пат, но не мат. ^[24]
• Ладья против коня : Обычно это ничья. Есть два основных исключения: конь отделен от короля и может быть пойман в ловушку и выигран, или король и конь плохо расположены. ^{[25] [26]} Камский против Бакро, 2006 год — пример окончания ладья против коня, которое привело к победе. В этой игре черные недопревратили пешку в коня, чтобы избежать мата, и в конечном итоге проиграли, позволив своему коню отделиться от короля. ^[27]
• Ладья и слон против ладьи : это один из самых распространенных эндшпилей без пешек, и обычно это теоретическая ничья. Однако на практике ладья и слон имеют хорошие шансы на победу, поскольку защита сложна. Существуют некоторые выигрышные позиции, такие как позиция Филидора, которая встречается относительно часто. Существует два основных метода защиты: защита Кокрейна и «защита второй горизонтали». ^[28] Форсированные победы требуют до 59 ходов. В результате ФИДЕ расширила правило пятидесяти ходов до 100 ходов, а затем до 75 ходов для этого эндшпиля, прежде чем вернуться к 50 ходам. ^[29] См. эндшпиль ладья и слон против ладьи для получения дополнительной информации.
• Ладья и конь против ладьи : Обычно это простая ничья с несколькими выигрышными позициями. Выигрышные позиции требуют, чтобы защищающийся король был плохо расположен около угла; это не может быть принудительно сделано в общем случае. ^[30] Можно использовать защиту Кокрейна. ^[31]

Топалов против Дж. Полгара, 2008 г. ^[32]

Ход белых, ничья

Различные концовки без пешек

Были изучены и другие типы окончаний без пешек. ^[42] Конечно, существуют позиции, которые являются исключениями из этих общих правил, изложенных ниже.

Правило пятидесяти ходов не принимается во внимание, хотя оно часто применимо на практике. Когда у одной стороны два слона, предполагается, что они находятся на полях противоположного цвета, если не указано иное. Когда у каждой стороны по одному слону, результат часто зависит от того, находятся ли слоны на полях одного цвета, поэтому их цвета всегда будут указаны.

только королевы

Конт против Ле Руа, Франция, 1997 г.

Кто ходит первым, тот и побеждает (Нанн)

• Ферзь против ферзя: обычно ничья, но сторона, которая ходит первой, выигрывает в 41,75% позиций. ^[4] Бывают победы, когда один ферзь находится в углу, например, в результате продвижения ладейной пешки или слоновой пешки . ^[43]
• Два ферзя против одного ферзя: Почти всегда победа. Может потребоваться перекрестный шах , см. Перекрестный шах (шахматы)#Два ферзя против одного для примера. ^[4] Ничья возможна в нескольких исключительных позициях, если у слабейшей стороны есть немедленный вечный шах , например, с белым королем на a1 и белыми ферзями на a2 и b1, черным королем на e8 и черным ферзем, дающим шах на d4. У черных неограниченный запас шахов на d4, a4 ​​и d1, а белый король не может уйти из угла.
• Два ферзя против двух ферзей: первый ход выигрывает в 83% позиций (см. диаграмму Конте против Ле Руа для примера). Для победы требуется до 44 ходов. ^{[44] [45] [46]}

Только основные части

Центурини 1885 г.
(диаграмма Файна и Бенко 1096 г.)

Ход черных ничья. Черные выиграли бы с королем на h7.

• Ферзь против ладьи : см. выше.
• Ферзь против двух ладей : обычно это ничья, но любая из сторон может выиграть. ^[47]
• Ферзь против трех ладей : это почти всегда победа для ладей. Это редкость в серьезной игре, и происходит, когда превращение в ферзя приводит к патовой ситуации, но три ладьи против ферзя обычно являются прямой победой, особенно когда защищающийся король должен быть достаточно хорошо ограничен, чтобы патовая ситуация стала проблемой для QRR против Q. ^[48]
• Ферзь и ладья против ферзя и ладьи : несмотря на равенство материала , игрок, который ходит первым, выигрывает в 83% позиций. ^{[45] [49]} В ладейно-пешечном окончании, если обе стороны делают ферзь пешки, сторона, которая первой дала шах, часто выигрывает. ^[50]
• Ферзь и ладья против ферзя : это победа. ^[51]
• Две ладьи против одной : это обычно победа, потому что атакующий король обычно может избежать шаха со стороны ладьи противника (что трудно оценить заранее). ^[52]
• Ладья против ладьи : обычно это ничья, но победа возможна в некоторых позициях, где один из королей находится в углу или на краю доски и ему угрожает мат. ^[53] См., например, позицию Сааведры . ^[54]

Ферзи и ладьи с легкими фигурами

• Ферзь против ладьи и легкой фигуры : обычно это ничья. ^[55] У ферзя хорошие шансы на победу, если король и ладья находятся около одного края, а легкая фигура — около противоположного края. В случае с конем ферзь может запереть его на краю; тогда король помогает выиграть его. Против слона ферзь делает ходы, в конечном итоге заставляя слона занять поле, где его можно выиграть. ^[56]
• Две ладьи и легкая фигура против ферзя : обычно это победа для трех фигур, но это может занять более пятидесяти ходов. ^[57]
• Ферзь и легкая фигура против ладьи и легкой фигуры : обычно это победа для ферзя. ^[58]
• Ладья и две легкие фигуры против ферзя : ничья. ^[59]
• Ферзь и легкая фигура против двух ладей : это обычно ничья для коня и победа для слона, хотя победа занимает до восьмидесяти пяти ходов. Лучший метод защиты — удвоить ладьи на третьей горизонтали с королем противника на другой стороне и держать короля позади ладей, хотя это не всегда гарантирует ничью. ^[60] Этот случай со слоном и ферзем против ладей необычен тем, что такое небольшое материальное преимущество заставляет выиграть. Человеческий анализ считал это ничьей, но компьютерный анализ показал долгую форсированную победу. ^{[61] [62]}
• Ферзь и легкая фигура против ладьи и двух легких фигур : в типичной стабильной позиции ферзь и конь выигрывают у ладьи, слона и коня, но мат требует до 545 ходов . ^[63] Другие комбинации фигур являются ничьей, за исключением того, что ферзь и легкая фигура выигрывают у ладьи и пары слонов того же цвета. Победа KQN против KRBN удивительна, поскольку разница в материале составляет всего одно очко (другие комбинации без пешек до семи фигур требуют большей разницы для победы), а ферзь и легкая фигура играют вничью против ферзя. Однако по сравнению с KQ, KRBN уязвим для вилки и взятия ферзем противника, и KRBN медленно переигрывается KQN, пока KQN не выиграет фигуру или размен ладья-конь. Кроме того, в то время как в большинстве открытых эндшпилей конь слабее слона, ферзь и конь составляют сильную атакующую комбинацию. Кроме того, два коня создают сильную защиту, если у превосходящей стороны нет лишней фигуры, которую можно обменять на двух коней, и мы имеем ничью KQ против KNN (и, следовательно, ничью KQN против KRNN), несмотря на победу KRB против KNN.
• Ферзь, ладья и легкая фигура против ферзя и ладьи : по состоянию на 2006 год не анализировалось, но считалось слишком нестабильным, чтобы делать общие выводы. ^[64]

В эндшпилях с ферзями небольшое преимущество фигур не часто является решающим. Темп часто важнее материала в таких ситуациях. Два ферзя могут выиграть у двух ферзей и коня примерно в половине случаев, когда у них есть ход. ^[65]

Королевы и мелкие фигуры

Клинг и Горовиц, 1851 г.

Черные не могут предотвратить мат.

• Ферзь против одной легкой фигуры : победа ферзя. ^[1] (Против одинокого слона это почти так же легко, как поставить мат одинокому королю, потому что слон бессилен на полях противоположного цвета. Одинокий конь оказывает более жесткое сопротивление.) ^[66]
• Ферзь против двух легких фигур : см. выше.
• Ферзь против трех легких фигур : ничья, за исключением ферзя против трех слонов одного цвета, что во многих позициях является победой ферзя. ^[67]
• Четыре легкие фигуры против ферзя : победа фигур, если это обычные четыре легкие фигуры (см. позицию Клинга и Горовица ). ^{[68] [69]} Алексей Троицкий показал, что четыре коня выигрывают против ферзя. ^[70]
• Ферзь и легкая фигура против ферзя : обычно это ничья, если только более сильная сторона не может быстро победить (см. Нязова против Леванта и Спасский против Карпова). ^{[71] [72]} Однако с конем у более сильной стороны на практике есть хорошие шансы на победу, потому что конь может создавать нелинейные угрозы, чтобы разбить фигуры противника, и от защитника требуется очень точная игра, чтобы удержать позицию. Существует 38 позиций взаимного цугцванга , и самая длинная победа занимает 35 ходов, пока конь не разбьет ферзя и короля. ^[73]
• Ферзь и две легкие фигуры против ферзя и одной легкой фигуры : в целом ничья, за исключением случая QBB против QN (выиграно для слонов). ^{[ необходима цитата ]} Многие комбинации включают чрезвычайно длинные выигрышные линии. ^[64]

Примеры из игр

Нязова против Леванта, СССР 1976

Ход белых выигрывает с 1.Qg8+ или 1.Qe6+

Эндшпиль с ферзем и конем против ферзя обычно заканчивается вничью, но есть некоторые исключения, когда одна из сторон может быстро выиграть материал. В партии между Ньязовой и Левантом белые победили:

1. Фe6+ Крh4

Если 1...Крxh5 ? , то 2.Фg6+ Крh4 3.Фh6+ пронзает черного ферзя.

2. Фf6+ Крh3

3. Фc3+ Крg2

4. Фd2+ Крg1

5. Фe3+ Крg2

6. Кf4+ 1–0

Если 6...Крf1, то 7.Фe2+ Крg1 8.Фe1+ Крh2 9.Фf2+ Фg2 10.Фxg2#.

Белые могли выиграть быстрее, если бы 1.Qg8+ Kh4 2.Qg3+ Kxh5 3.Qg6+ Kh4 4.Qh6+ и белые пронзили черного ферзя. ^[71]

Спасский против Карпова, 1982

Позиция после 68.Nxb3, теоретическая ничья

Вторая позиция взята из партии 1982 года между бывшим чемпионом мира Борисом Спасским и тогдашним чемпионом мира Анатолием Карповым . ^[74] Позиция является теоретической ничьей, но Карпов позже допустил грубую ошибку в цейтноте и сдался на 84-м ходу.

Пример из исследования

В. Хальберштадт, 1967 г.

Ход белых и победа

В этом исследовании 1967 года Виталия Хальберштадта победителем оказывается Уайт. Решение:

1. Be5+ Ka8

2. Фb5 !

Не 2.Фxf7 ?? пат.

2... Фa7+! 3. Крe2! Фb6! 4. Фd5+ Фb7 5. Фa5+ Фa7 6. Фb4! Фa6+ 7. Крd2! Фc8 8. Фa5+ Крb7 9. Фb5+ Крa8 10. Сd6! Фb7 11. Фe8+ Крa7 12. Сc5+ Крa6 13. Фa4# . ^[75]

Ладьи и легкие фигуры

Хорвиц и Клинг, 1851 г.

Ход белых выигрывает

• Две ладьи против двух легких фигур : обычно это победа для ладей. ^[59] Анри Ринк обнаружил более 100 позиций, которые являются исключениями. ^[76]
• Два слона и конь против ладьи : обычно это победа для трех фигур, но это занимает до шестидесяти восьми ходов. ^[61] Говард Стаунтон проанализировал позицию такого типа в 1847 году и правильно пришел к выводу, что нормальным результатом этого окончания является победа для трех легких фигур. ^[77]

Карпов против Каспарова, Тилбург, 1991 г. ^[78]

Позиция после 63. Kxh4. Партия закончилась вничью на 115-м ходу.

• Слон и два коня против ладьи : обычно это ничья, но есть некоторые победы для трех фигур, требующие до сорока девяти ходов. ^[79] Стаунтон в 1847 году правильно заключил, что нормальный результат этого эндшпиля — ничья. ^[80] Бернхард Хорвиц и Йозеф Клинг дали такую ​​же оценку в 1851 году. ^[81] Во время отсрочки игры Карпова против Каспарова Каспаров (первоначально не уверенный, ничья ли это) проанализировал, что успешная защита — это когда король находится около угла, который слон не контролирует, ладья находится далеко, чтобы предотвратить вилки , и угрожает ее жертвой (для пата или для слона, что приводит к ничьей, см. эндшпиль с двумя конями ). Табличные базы показывают, что это обычно ничья, независимо от того, в каком углу находится защищающийся король. ^[82] (См. позицию из игры Карпов против Каспарова для ничейной позиции и см. правило пятидесяти ходов#Карпов против Каспарова, 1991 для более подробного обсуждения этой игры.) Любопытно, что у гроссмейстера Джеймса Пласкета также была отложена игра Лондонской лиги в то же время, против Дэвида Окике; последняя неделя октября 1991 года. После возобновления она быстро разрешилась в том же самом окончании без пешек. Эта игра тоже была ничьей.
• Ладья и слон против двух коней : обычно это победа для ладьи и слона, но для этого требуется до 223 ходов. ^[61] Результат этого эндшпиля был неизвестен, пока компьютерный анализ не доказал форсированную победу.
• Ладья и конь против двух коней : обычно это ничья, но бывают победы ладьи и коня, для которых требуется до 243 ходов. ^[83]
• Ладья и конь против слона и коня : обычно это ничья, но бывают победы ладьи и коня, для которых требуется до 190 ходов. ^[84]
• Ладья и слон против слона и коня : это обычно ничья, если слоны одного цвета. Обычно это победа для ладьи и слона, если слоны противоположного цвета, но победа занимает до девяноста восьми ходов. ^[61] Магнус Карлсен успешно реализовал эту конфигурацию с разноцветными слонами в пределах 50 ходов против Франсиско Вальехо Понса в 2019 году. Даже при лучшей игре из стартовой позиции RB против BN, более сильная сторона выиграла бы фигуру в пределах 50 ходов. ^[85]
• Ладья и слон против двух слонов : обычно это ничья, но возможны и длительные выигрыши, если защищающиеся слоны одного цвета. ^[61]
• Ладья и конь против двух слонов : это обычно ничья, если защищающиеся слоны находятся на противоположных цветах. Это победа, если защищающиеся слоны находятся на одном цвете, но это может занять до 140 ходов. ^[86]
• Ладья против двух легких фигур : обычно это ничья. ^[1]
• Две ладьи против трех легких фигур : обычно это ничья. ^[1]
• Ладья и две легкие фигуры против ладьи : победа трех фигур. ^[1] С двумя конями белые не должны размениваться ладьями и избегать потери коня, но три фигуры обладают большой матовой силой. ^[87]
• Ладья и две легкие фигуры против ладьи и одной легкой фигуры : победа трех фигур, ^[65] см. § Примеры с дополнительной легкой фигурой ниже.
• Две ладьи и легкая фигура против двух ладей : победа, если легкая фигура — слон. ^[64] Обычно ничья, если легкая фигура — конь, но существуют и очень долгие победы. ^{[64] [88]} При этом, при таком количестве крупных фигур на доске большинство позиций не являются тактически спокойными, поэтому общие выводы сделать сложно. ^[64]
• Две ладьи против четырех слонов : обычно ничья (если слоны идут двумя парами). ^[65]

Только мелкие детали

• Тривиальные случаи : В целом это все тривиальные ничьи : только слон, только конь, слон против коня, слон против слона, конь против коня.
• Две небольшие пьесы :
  • Два слона — это простой мат (если слоны находятся на противоположных цветах)
  • Слон и конь — это базовый мат, см . мат слоном и конем
  • Два коня не могут поставить мат, см. эндшпиль с двумя конями
• Две второстепенные пьесы против одной второстепенной пьесы :

• • Два слона против коня : это победа (за исключением нескольких тривиальных позиций, где черные могут немедленно форсировать ничью), но это может занять до 66 ходов. ^[91] См. Влияние табличных баз на теорию эндшпиля , Крепость (шахматы)#Полукрепость в двух слонах против коня и см. пример из игры Ботвинника против Таля ниже. Также см. турнирную партию Манотаса против ван Римсдейка, ^[92] где черные (сторона со слонами) сломали полукрепость Клинга и Хорвица и выиграли коня.
  • Другие случаи : во всех остальных случаях это, как правило, ничья. ^{[55] [1]} Эдмар Меднис рассмотрел сложность защиты этих позиций:
    • Два слона против одного : защитнику проще всего вытащить фигуру, если только король защитника не загнан в угол.
    • Два коня против одного слона : любая нормальная позиция — легкая ничья.
    • Два коня против одного коня : легкая ничья, если защищающийся король не зажат на краю. Однако, если король зажат на краю, может быть выигрыш, аналогичный двум коням против пешечного эндшпиля.
    • Слон и конь против слона одного цвета : может быть проигран, если защищающийся король находится на краю; в противном случае легкая ничья.
    • Слон и конь против слона противоположного цвета : обычно ничья, но защита может быть затруднена, если защищающийся король находится вблизи угла, который контролирует атакующий слон.
    • Слон и конь против коня : лучшие шансы на победу (кроме двух слонов против коня). Сложность защиты не ясна, и защищающийся конь может быть потерян, если он отделен от своего короля. ^[93]
• Три второстепенных фигуры против одной второстепенной фигуры : победа, за исключением некоторых необычных ситуаций, связанных с неполным превращением в слона того же цвета, что и существующий слон игрока. Для победы может потребоваться более пятидесяти ходов. ^[94] Три коня побеждают против одного коня (см., например, Бранка Вуйич-Катанич против Марии Петрович 1985). ^[95]
• Три второстепенных фигуры против двух второстепенных фигур : если ни у одного из игроков нет пары слонов одного цвета, это выигранный эндшпиль, когда у более сильной стороны есть пара слонов, а у более слабой ее нет (т. е. BBN против BN или BBN против NN). В противном случае это ничья. ^{[64] [65]} Необычные ситуации, когда недостаточное продвижение привело к тому, что у одного игрока два слона путешествуют на одних и тех же цветах, более сложны: например, BBN (разные цвета) против BB (одного цвета) не является общей победой, но содержит несколько очень длинных выигрышных линий. ^[65]
• Три коня могут поставить мат одинокому королю за 20 ходов (если только защищающийся король не сможет выиграть одного из коней), но такая комбинация фигур может произойти только в том случае, если атакующая сторона недостаточно преобразовала пешку в коня. ^[96]

Пример из игры

Ботвинник против Таля, 1961 ^[97]

Позиция после 77.Kxa6, черные выигрывают

Окончание с двумя слонами против коня произошло в семнадцатой партии матча за звание чемпиона мира по шахматам 1961 года между Михаилом Ботвинником и Михаилом Талем . Позиция возникла после того, как белые взяли пешку на а6 на 77-м ходу, и белые сдались на 84-м ходу. ^[98]

77... Сf1+

78. Крb6 Крd6

79. На5

Ход белых может достичь полукрепости из этой позиции: 1.Кb7+ Крd5 2.Крc7 Сd2 3.Крb6 Сf4 4.Кd8 Сe3+ 5.Крc7. ^[99] Белые переводят своего коня на b7, а короля рядом с ним, чтобы сформировать долговременную крепость . ^[100]

79... Сc5+

80. Крb7 Сe2

81. Кb3 Сe3

82. Кa5 Крc5

83. Крc7 Сf4+ 0–1

Игра может продолжаться 84.Kd7 Kb6 85.Nb3 Be3, а затем ...Bd1 и ...Bd4, ^[101] например 86.Kd6 Bd1 87.Na1 Bd4 88.Kd5 Bxa1. ^[99]

Примеры с дополнительной минорной пьесой

Дополнительная легкая фигура на одной стороне в эндшпиле ферзь против ферзя или ладья против ладьи обычно является теоретической ничьей. Эндшпиль с двумя легкими фигурами против одной также ничейный, за исключением случая двух слонов против коня. Но ладья и две легкие фигуры против ладьи и одной легкой фигуры — это другое. В этих двух примерах из игр дополнительная легкая фигура достаточна для победы.

Р. Блау против Унцикера , 1949 г.

Ход черных, победа

В этой позиции, если бы слоны были одного цвета, у белых был бы шанс разменять слонов и достичь легко ничейной позиции. (Обмен ладьями также привел бы к ничьей.) Черные побеждают:

1... Ре3

2. Сd4 Лe2+

3. Крc1 Кb4

4. Сg7 Лc2+

5. Кd1 Ве2+

6. сдается , потому что 6. Ke1 Nd3 — мат. ^[102]

Владимиров против Палатника , 1977 год.

Ход черных, победа

В этой позиции, если бы белые могли разменять слонов (или ладьи), они бы достигли ничейной позиции. Однако у черных есть выигрышная атака:

1... Лb3+

2. Крх2 Сc6

3. Лb8 Лc3

4. Лb2 Крf5

5. Сg3 Сe4

6. Лe2 Сg5

7. Лb2 Крg4

8. Лf2 Лc1

9. уходит в отставку ^[103]

В 1981 году Спилман пришел к следующим выводам:

• Ладья и два слона против ладьи и слона – считается победой
• Ладья, слон и конь против ладьи и слона — хорошие шансы на победу, возможная победа, если слоны будут разного цвета.
• Ладья, слон и конь против ладьи и коня – считается победой. ^[104]

Более поздний анализ таблицы подтвердил, что ладья и две легкие фигуры против ладьи и одной легкой фигуры — это общая победа. ^[65]

Краткое содержание

Гроссмейстер Ян Роджерс обобщил некоторые из этих эндшпилей. ^[105]

Общий результат

Джон Нанн также охватывает множество шахматных окончаний без пешек в своей книге. Он дает «общий результат», который он описывает как: «выведенный ... не путем рассмотрения статистики выигрышных процентов, которая может быть очень обманчивой, а путем личного изучения соответствующих окончаний». ^[109]

Правило Файна

В своей знаковой книге 1941 года « Базовые шахматные окончания » Рубен Файн неточно заявил: «Без пешек нужно быть как минимум на ладью впереди, чтобы иметь возможность поставить мат. Единственными исключениями из этого, которые действуют во всех случаях, являются выигрыши при двойном размене и невозможность успешной защиты ферзя против четырёх лёгких фигур». ^[110] Кеннет Харкнесс также сформулировал это «правило». ^[111] Файн также заявил: «Существует основное правило, согласно которому в окончаниях без пешек нужно быть как минимум на ладью впереди, чтобы иметь возможность выиграть в целом». ^[112] Это неточное утверждение было повторено в издании 2003 года, пересмотренном гроссмейстером Палом Бенко . ^[113] Однако Файн в другом месте своей книги признал, что ферзь выигрывает у ладьи ^[114] и что ферзь обычно побеждает коня и слона (за исключением одной ничьей крепости). ^[115] Преимущество ладьи соответствует материальному преимуществу в пять очков, используя традиционную относительную ценность фигур (пешка = 1, конь = 3, слон = 3, ладья = 5, ферзь = 9). Оказывается, есть еще несколько исключений, но это эндшпили, которые редко встречаются в реальных играх. Заявление Файна было заменено компьютерным анализом. ^[116]

Материального преимущества в четыре очка часто достаточно для победы в некоторых окончаниях без пешек. Например, ферзь выигрывает против ладьи (как упоминалось выше, но может потребоваться 31 ход); а также когда есть соответствующий дополнительный материал с обеих сторон, то есть: ферзь и любая легкая фигура против ладьи и любой легкой фигуры; ферзь и ладья против двух ладей; и два ферзя против ферзя и ладьи. Другой тип победы с материальным преимуществом в четыре очка — двойной размен — две ладьи против любых двух легких фигур. Существуют некоторые другие эндшпили с материальной разницей в четыре очка, которые, как правило, являются долгими теоретическими победами. На практике правило пятидесяти ходов вступает в игру, потому что часто требуется более пятидесяти ходов, чтобы либо поставить мат, либо свести эндшпиль к более простому случаю: два слона и конь против ладьи (требуется до 68 ходов); и две ладьи и легкая фигура против ферзя (требуется до 82 ходов для слона, 101 ход для коня).

Материальное преимущество в три очка также может привести к вынужденной победе в некоторых случаях. Например, некоторые из случаев ферзя против двух легких фигур являются такими позициями (как упоминалось выше). Кроме того, четыре легких фигуры выигрывают у ферзя. Два слона выигрывают у коня, но это занимает до 66 ходов, если слон изначально заперт в углу. ^[117]

Существуют некоторые общие теоретические победы, рассчитанные на длительный срок, с материальным преимуществом всего в два или три очка, но правило пятидесяти ходов обычно вступает в игру из-за количества требуемых ходов: два слона против коня (66 ходов); ферзь и слон против двух ладей (материальное преимущество в два очка, может потребовать 84 хода); ладья и слон против слона противоположного цвета и коня (материальное преимущество в два очка, требует до 98 ходов); и ладья и слон против двух коней (материальное преимущество в два очка, но требует до 222 ходов). ^{[118] [119]}

Наконец, есть еще несколько необычных исключений из правила Файна, связанных с недопревращениями . Вот некоторые из них: (1) ферзь побеждает трех слонов одного цвета (разница в материальных очках отсутствует), требуется до 51 хода; (2) ладья и конь побеждают двух слонов одного цвета (разница в два очка), требуется до 140 ходов; и (3) три слона (два одного цвета) побеждают ладью (разница в четыре очка), требуется до 69 ходов, и (4) четыре коня побеждают ферзя (85 ходов). Это было доказано компьютером в 2005 году и стало первым окончанием с семью фигурами, которое было полностью решено. (См. endgame tablebase .)

Общие замечания по этим окончаниям

Многие из этих окончаний указаны как выигрыш в определенное количество ходов. Это предполагает идеальную игру обеих сторон, что редко достигается, если количество ходов велико. Кроме того, поиск правильных ходов может быть чрезвычайно сложным для одной или обеих сторон. Когда форсированный выигрыш длится более пятидесяти ходов, некоторые позиции могут быть выиграны в пределах пятидесяти ходов (для заявления о ничьей), а другие — нет. Кроме того, как правило, все комбинации фигур, которые обычно являются теоретической ничьей, имеют некоторые нетривиальные позиции, которые являются выигрышем для одной стороны. Аналогично, комбинации, которые обычно являются выигрышем для одной стороны, часто имеют нетривиальные позиции, которые приводят к ничьей.

Таблицы

Это таблица, в которой перечислены несколько окончаний без пешек, количество ходов в самой длинной победе и процент побед для первого игрока. Процент побед может быть обманчивым — это процент побед из всех возможных позиций, даже если фигуру можно немедленно захватить или выиграть с помощью шампура , связки или вилки . Наибольшее количество ходов до победы — это количество ходов до мата или перехода в более простую позицию из-за выигрыша фигуры. Кроме того, правило пятидесяти ходов не принимается во внимание. ^[120]

• Многие из перечисленных комбинаций подразумевают взятие одной фигуры и перемещение на территорию из шести фигур практически сразу из начальной позиции.

Ссылки

1. (Хупер 1970:4)
2. (Нанн 2007:156–65)
3. (Нанн 2002a:49)
4. (Мюллер и Лампрехт 2001:400)
5. (Мюллер и Лампрехт 2001: 331–33)
6. (Нанн 2002:50–51)Ошибка harvcol: нет цели: CITEREFNunn2002 ( справка )
7. (Мюллер и Паджекен 2008:178)
8. (Нанн 2002:51)Ошибка harvcol: нет цели: CITEREFNunn2002 ( справка )
9. (Нанн 2002:50)Ошибка harvcol: нет цели: CITEREFNunn2002 ( справка )
10. Гельфанд против Свидлера
11. ChessBase и ChessGames.com дают Гельфанда белыми, а Макаров дает Свидлера белыми. Макаров также допускает ошибку белых/черных при обсуждении игры.
12. (Макаров 2007:170)
13. Морозевич против Яковенко
14. Браун против Белль, игра 1
15. Браун против Белль, игра 2
16. Пахман против Гимара
17. (Мюллер и Лампрехт 2001: 339–41)
18. (Нанн 2002a:284)
19. (Хупер и Уайлд 1992:46)
20. (Нанн 2002a:290–293)
21. (Нанн 2002a:300–304)
22. (Нанн 2002а:31)
23. Топалов против Полгар
24. (Файн и Бенко 2003: 459–60)
25. (Нанн 2002a:9)
26. Это окончание было предметом старейшего документированного исследования эндшпиля, проведенного аль-Алди в 9 веке нашей эры. Исследования этого периода, включающие другие фигуры, больше недействительны, поскольку правила изменились. Хокинс, Джонатан, Amateur to IM , 2012, стр. 179, ISBN  978-1-936277-40-7
27. «Гата Камский против Этьена Бакро (2006)» .
28. (Нанн 2007:161–65)
29. (Спилман, Тисдалл и Уэйд 1993:382)
30. (Нанн 2007:159–61)
31. Кстати, самая длинная результативная партия (210 ходов) между мастерами при стандартном контроле времени закончилась этим материалом, см. Неверов против Богдановича. Энди Солтис , «Шахматы для удовольствия», Chess Life , стр. 12, декабрь 2013 г., и статья на chessbase: «210-ходовая драма в Киеве».
32. Топалов против Дж. Полгара, 2008 г.
33. Карпов против Фтачника 1988
34. (Мюллер и Паджекен 2008: 237)
35. (Кароли и Аплин 2007: 320–22)
36. (Нанн 2007:158–59)
37. (Нанн 2002a:178)
38. Тимман против Лутца, 1995 г.
39. (Лутц 1999:129–31)
40. Дж. Полгар против Каспарова, 1996 г.
41. Алехин против Капабланки, 1927 г.
42. (Нанн 2002a)
43. (Хупер 1970:17–19)
44. (Нанн 2002a:329, 379)
45. (Штиллер 1996:175)
46. «В битве, где у обеих сторон есть по два ферзя и больше ничего, игрок, который начинает с шаха, может победить, потому что ферзи имеют подавляющую силу против голого короля». (Бенко 2007:70)
47. (Нанн 2002a:311)
48. Такое недопревращение произошло в партии Динара Дорджиева — Александра Костенюк , командный чемпионат России (женщины), 6-й раунд (7 мая 2018 г.), Сочи .[1] Это был не совсем безпешечный эндшпиль, поскольку на линии «а» были заблокированы две пешки, но они не меняли принципа действия.
49. "Практическое правило, которое управляет эндшпилями, такими как ферзь и ладья против ферзя и ладьи или два ферзя против двух ферзей, заключается в следующем: "Кто первым сделает шах, тот и побеждает". Во многих случаях это обоснованный принцип, и, конечно, если атакующие силы хорошо скоординированы, они обычно могут форсировать мат или выиграть материал серией шахов. Однако есть много случаев, в которых победа не так проста... Последовательность шахов должна быть довольно точной...". (Нанн 2002a:379)
50. (Мюллер и Паджекен 2008: 223)
51. (Нанн 2002a:317)
52. (Нанн 2002a:320)
53. (Левенфиш и Смыслов 1971:13)
54. де ла Вилья, Хесус (2008). 100 окончаний, которые вы должны знать: жизненно важные уроки для каждого шахматиста . Новое в шахматах . стр. 82. ISBN 978-90-5691-244-4.
55. (Мюллер и Лампрехт 2001:402)
56. (Меднис 1996:120–29)
57. (Мюллер и Лампрехт 2001: 406)
58. (Мюллер и Лампрехт 2001: 403–4)
59. (Мюллер и Лампрехт 2001:405)
60. Еще немного о ферзе и коне против двух ладей, Дж. Бисли, 8 сентября 2021 г.
61. (Мюллер и Лампрехт 2001: 404)
62. (Нанн 2002a:328–29, 367, 372)
63. Однако большинство позиций в этом эндшпиле имеют непосредственные угрозы, и в значительной части случайных позиций KRBN может сделать ничью, захватив/взяв/разменяв коня противника или используя эту и другие угрозы, чтобы заставить его повторить ходы; также существует позиция ничьей-крепости (с Na2 Bc3 Rd4).
64. Бисли, Джон (июнь 2006 г.). «Одной незначительной фигуры впереди может быть достаточно» (PDF) . British Endgame Study News . Harpenden : John Beasley . Получено 15 ноября 2021 г. .
65. Сообщение Марка Бурзучки, специалиста по таблицам эндшпиля. RybkaForum, 31 июля 2012 г.
66. Авербах, Юрий (1993), Шахматные окончания: основные знания , Everyman Chess, стр. 18–19, ISBN 1-85744-0226
67. (Нанн 2002a:328)
68. (Файн и Бенко 2003:583)
69. (Хорвиц и Клинг 1986:207)
70. (Ройкрофт 1972:209)
71. (Спилман 1981:108)
72. "Королева и епископ против королевы". 7 марта 2006 г.
73. (Нанн 2002a:70–122)
74. Спасский против Карпова, 1982
75. (Нанн 2002б:48, 232)
76. (Ройкрофт 1972:203)
77. (Стонтон 1848:439–440)
78. Карпов против Каспарова, 1991 г.
79. (Мюллер и Лампрехт 2001:403)
80. (Стонтон 1848:439)
81. (Хорвиц и Клинг 1986:142)
82. (Каспаров 2010:303)
83. (Нанн 2002a:330)
84. (Стиллер 1996)
85. Франсиско Вальехо Понс против Магнуса Карлсена, GRENKE Chess Classic, Карлсруэ, Германия, 2-е место, 21 апреля 2019 г.
86. (Стиллер 1996)
87. (Ройкрофт 1972:195, 203)
88. Открытый шахматный дневник Тима Краббе , запись 298, 17 октября 2005 г.
89. (Матанович 1993:512, 514)
90. (Матанович 1993:512–13)
91. (Нанн 1995:267)
92. Манотас против ван Римсдейка, Американский континентальный чемпионат, 2001 г.
93. (Меднис 1996:36–40)
94. (Мюллер и Лампрехт 2001: 403,406).
95. (Дворецкий 2011:283)
96. (Файн 1941:5–6)
97. Ботвинник против Таля, 1961 г.
98. Ботвинник против Таля, чемпионат мира 1961 года, счет партии 17 на chessgames.com
99. (Хупер 1970:5)
100. В то время было известно, что эта крепость может быть разрушена после многих ходов, но считалось, что защитник затем, вероятно, сможет снова сформировать крепость в другом углу. Компьютерный анализ, проведенный позже, показал, что атакующий может помешать защитнику повторно сформировать крепость, но правило пятидесяти ходов может быть применимо в этом случае.
101. (Спилман 1981:109–110)
102. (Спилман 1981:108–9)
103. (Спилман 1981:109)
104. (Спилман 1981:170)
105. (Роджерс 2010:37–39)
106. Роджерс говорит, что этот эндшпиль имеет незаслуженную репутацию сложного, но что с ферзем трудно ошибиться. Нанн отмечает, что человеку трудно идеально играть за обе стороны. Капабланка говорит, что это очень сложная позиция для победы с ферзем; когда защита искусна, победить может только очень хороший игрок. Пандольфини говорит, что это нелегко. (Pandolfini 2009:67)
107. Нанн говорит, что этот эндшпиль сложно защищать, и существует множество пограничных позиций, для розыгрыша которых требуется очень точная защита.
108. Нанн указывает, что существует только одна ничейная крепость, но победа ферзя — долгий и трудный путь (часто для этого требуется более пятидесяти ходов).
109. (Нанн 2002a:324)
110. (Файн 1941:572)
111. (Харкнесс 1967:49)
112. (Файн 1941:553)
113. (Файн и Бенко 2003:585)
114. (Файн 1941:561)
115. (Файн 1941:570–71)
116. (Хауэлл 1997:136)
117. (Нанн 1995:265ff)
118. (Мюллер и Лампрехт 2001: 400–6)
119. (Нанн 2002a:325–29)
120. (Спилман, Тисдалл и Уэйд 1993: 7–8)
121. (Стиллер 1996)
122. Штиллер и Нанн оба говорят 243, но Мюллер и Лампрехт говорят 242.

Библиография

• Бенко, Пал (2007), Лаборатория эндшпиля Пала Бенко , Ishi Press, ISBN 978-0-923891-88-6
• Дворецкий, Марк (2011), Руководство Дворецкого по эндшпилю , Russell Enterprises, ISBN 978-1-936490-13-4
• Файн, Рубен (1941), Основные шахматные окончания (1-е изд.), Маккей, ISBN 0-679-14002-6
• Файн, Рубен; Бенко, Пал (2003) [1941], Основные шахматные окончания (2-е изд.), Маккей, ISBN 0-8129-3493-8
• Гривас, Эфстратиос (2008), Практическая игра в эндшпиль – освоение основ , Everyman Chess , ISBN 978-1-85744-556-5
• Харкнесс, Кеннет (1967), Официальный шахматный справочник , Маккей
• Хупер, Дэвид (1970), Карманный справочник по шахматным эндшпилям , Белл и Хайман, ISBN 0-7135-1761-1
• Хупер, Дэвид; Уайлд, Кеннет (1992), Оксфордский компаньон по шахматам (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 0-19-280049-3
• Хорвиц, Бернхард ; Клинг, Йозеф (1986), Шахматные этюды и эндшпили (1851, 1884) , Olms, ISBN 3-283-00172-3
• Хауэлл, Джеймс (1997), Основные шахматные окончания: руководство для турнирных игроков , Бэтсфорд , ISBN 0-7134-8189-7
• Каройи, Тибор ; Аплин, Ник (2007), Виртуоз эндшпиля Анатолий Карпов , New In Chess , ISBN 978-90-5691-202-4
• Каспаров, Гарри (2010), Современные шахматы : Часть 4, Каспаров против Карпова 1988–2009 , Everyman Chess , ISBN 978-1-85744-652-4
• Левенфиш, Григорий ; Смыслов, Василий (1971), Ладейное окончание , Бэтсфорд, ISBN 0-7134-0449-3
• Лутц, Кристофер (1999), Секреты эндшпиля: Как планировать эндшпиль в шахматах , Бэтсфорд, ISBN 978-0-7134-8165-5
• Макаров, Марат (2007), Эндшпиль , Звезды шахмат, ISBN 978-954-8782-63-0
• Матанович, Александр (1993), Энциклопедия шахматных окончаний (легкие фигуры) , т. 5, Шахматный информатор
• Меднис, Эдмар (1996), Advanced Endgame Strategies , Chess Enterprises, ISBN 0-945470-59-2
• Мюллер, Карстен ; Лампрехт, Франк (2001), Фундаментальные шахматные концовки , Gambit Publications , ISBN 1-901983-53-6
• Мюллер, Карстен; Паекен, Вольфганг (2008), Как играть в шахматные окончания , Gambit Publications, ISBN 978-1-904600-86-2
• Нанн, Джон (1995), Секреты окончаний второстепенных произведений , Бэтсфорд, ISBN 0-8050-4228-8
• Нанн, Джон (2002a), Секреты окончаний без пешек (2-е изд.), Gambit Publications, ISBN 1-901983-65-X
• Нанн, Джон (2002b), Endgame Challenge , Gambit Publications, ISBN 978-1-901983-83-8
• Нанн, Джон (2007), Секреты практических шахмат (2-е изд.), Gambit Publications, ISBN 978-1-904600-70-1
• Пандольфини, Брюс (2009), Практикум по эндшпилю: принципы для практического игрока , Russell Enterprises, ISBN 978-1-888690-53-8
• Роджерс, Ян (январь 2010 г.), «Руководство по эндшпилям для ленивых», Chess Life , 2010 (1): 37–41
• Ройкрофт, Эй-Джей (1972), Шахматы в пробирке , Stackpole, ISBN 0-8117-1734-8
• Спилман, Джон (1981), Подготовка к финалу , Бэтсфорд , ISBN 0-7134-4000-7
• Спилман, Джон; Тисдалл, Джон ; Уэйд, Боб (1993), Шахматные окончания Бэтсфорда , BT Batsford, ISBN 0-7134-4420-7
• Стаунтон, Говард (1848), «Справочник шахматиста» (2-е изд.) , Генри К. Бон
• Стиллер, Льюис (1996), «О числах и эндшпилях: комбинаторная теория игр в шахматных эндшпилях», в книге Ричарда Новаковски (ред.), Мультилинейная алгебра и шахматные эндшпили , Cambridge University Press, ISBN 0-521-57411-0

Дальнейшее чтение

• Уорд, Крис (1996), Endgame Play , Batsford, ISBN 0-7134-7920-5Окончания без пешек обсуждаются на страницах 87–96.
• Пахман, Людек (1983), Шахматные окончания для практического игрока , Routledge & Kegan Paul, ISBN 0-7100-9266-0Окончания без пешек обсуждаются на страницах 9–22.
• Макдональд, Нил (2002), Краткие шахматные окончания , Everyman Chess, ISBN 978-1-85744-313-4Окончания без пешек обсуждаются на страницах 259–288.

Внешние ссылки

• Рецензия на книгу
• Интерактивные шахматные эндшпили против шахматного компьютера
• Сергиенко против Вескови Москва 2010, R+3N против R+B+N
• Волков против Минасяна Москва 2009, Q+R+N против 2Q