Бифуркация удвоения периода

В теории динамических систем бифуркация удвоения периода происходит , когда небольшое изменение параметров системы приводит к появлению новой периодической траектории из существующей периодической траектории — новой, имеющей удвоенный период исходной. При удвоенном периоде требуется вдвое больше времени (или, в дискретной динамической системе, вдвое больше итераций) для того, чтобы числовые значения, которые посетила система, повторились.

Бифуркация сокращения периода вдвое происходит, когда система переключается на новое поведение с периодом, равным половине периода исходной системы.

Каскад удвоения периода — это бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода. Такие каскады — это обычный путь, по которому динамические системы развивают хаос. ^[1] В гидродинамике они являются одним из возможных путей к турбулентности . ^[2]

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), приводящие к хаосу.

Примеры

Диаграмма бифуркации для логистической карты. Она показывает значения аттрактора , например и , как функцию параметра . ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$

Логистическая карта

Логистическая карта​

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

где — функция (дискретного) времени . ^[3] Предполагается, что параметр лежит в интервале , в этом случае ограничен на . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,4]}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Для значений от 1 до 3 сходится к устойчивой неподвижной точке . Затем, для значений от 3 до 3,44949, сходится к постоянному колебанию между двумя значениями и , которые зависят от . По мере увеличения появляются колебания между 4 значениями, затем 8, 16, 32 и т. д. Эти удвоения периода достигают кульминации при , за пределами которого появляются более сложные режимы. По мере увеличения существуют некоторые интервалы, где большинство начальных значений будут сходиться к одному или небольшому числу устойчивых колебаний, например, вблизи . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.56995}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.83}$

В интервале, где период равен некоторому положительному целому числу , не все точки на самом деле имеют период . Это отдельные точки, а не интервалы. Говорят, что эти точки находятся на нестабильных орбитах, поскольку соседние точки не приближаются к той же орбите, что и они. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Квадратичная карта

Действительная версия комплексного квадратичного отображения связана с действительным срезом множества Мандельброта .

• 
  Каскад удвоения периода в экспоненциальном отображении множества Мандельброта
• 
  1D версия с экспоненциальным отображением
• 
  бифуркация удвоения периода

Уравнение Курамото–Сивашинского

Удвоение периода в уравнении Курамото–Сивашинского с периодическими граничными условиями. Кривые изображают решения уравнения Курамото–Сивашинского, спроецированные на энергетическую фазовую плоскость (E, dE/dt) , где E — L ² -норма решения. Для ν = 0,056 существует периодическая орбита с периодом T ≈ 1,1759. Вблизи ν ≈ 0,0558 это решение распадается на 2 орбиты, которые далее разделяются по мере уменьшения ν . Точно при переходном значении ν новая орбита (красный пунктир) имеет удвоенный период исходной. (Однако при дальнейшем увеличении ν отношение периодов отклоняется от точно 2.)

Уравнение Курамото –Сивашинского является примером пространственно-временной непрерывной динамической системы, которая демонстрирует удвоение периода. Это одно из наиболее хорошо изученных нелинейных уравнений в частных производных , первоначально введенное как модель распространения фронта пламени. ^[4]

Одномерное уравнение Курамото–Сивашинского имеет вид

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

Обычным выбором для граничных условий является пространственная периодичность: . ${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$

При больших значениях , эволюционирует в сторону устойчивых (не зависящих от времени) решений или простых периодических орбит. По мере уменьшения динамика в конечном итоге переходит в хаос. Переход от порядка к хаосу происходит через каскад бифуркаций удвоения периода, ^{[5] [6]} одна из которых проиллюстрирована на рисунке. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle \nu }$

Логистическая карта для модифицированной кривой Филлипса

Рассмотрим следующую логистическую карту для модифицированной кривой Филлипса :

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

где :

• ${\displaystyle \pi }$это фактическая инфляция
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$ожидаемая инфляция,
• u — уровень безработицы,
• ${\displaystyle m-\pi }$темп роста денежной массы .

Сохраняясь и изменяясь , система претерпевает бифуркации удвоения периода и в конечном итоге становится хаотичной. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ ${\displaystyle b}$

Экспериментальное наблюдение

Удвоение периода наблюдалось в ряде экспериментальных систем. ^[7] Также имеются экспериментальные доказательства каскадов удвоения периода. Например, последовательности из 4 удвоений периода наблюдались в динамике конвективных валиков в воде и ртути . ^{[8] [9]} Аналогично, 4-5 удвоений наблюдались в некоторых нелинейных электронных схемах . ^{[10] [11] [12]} Однако экспериментальная точность, необходимая для обнаружения i-го ^{события} удвоения в каскаде, экспоненциально возрастает с i , что затрудняет наблюдение более 5 событий удвоения в каскаде. ^[13]

Смотрите также

• Список хаотичных карт
• Комплексное квадратичное отображение
• Константы Фейгенбаума
• Универсальность (динамические системы)
• Теорема Шарковского

Примечания

1. Аллигуд (1996) и др., стр. 532
2. Торн, Кип С.; Блэндфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Princeton University Press. стр. 825–834. ISBN 9780691159027.
3. Строгац (2015), стр. 360–373.
4. Калогиру, А.; Кивени, Э.Э.; Папагеоргиу, Д.Т. (2015). «Углубленное численное исследование двумерного уравнения Курамото–Сивашинского». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 471 (2179): 20140932. Bibcode : 2015RSPSA.47140932K. doi : 10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647. PMID 26345218  . 
5. Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). «Предсказание хаоса для бесконечномерных динамических систем: уравнение Курамото-Сивашинского, пример». Труды Национальной академии наук . 88 (24): 11129–11132. Bibcode : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087. PMID 11607246  . 
6. Папагеоргиу, Д.Т.; Смирлис, Я.С. (1991), «Путь к хаосу для уравнения Курамото-Сивашинского», Теоретическая и вычислительная гидродинамика , 3 (1): 15–42, Bibcode : 1991ThCFD...3...15P, doi : 10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
7. см. обзор Strogatz (2015)
8. Джильо, Марцио; Мусацци, Серджио; Перини, Умберто (1981). «Переход к хаотическому поведению через воспроизводимую последовательность бифуркаций удвоения периода». Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Bibcode : 1981PhRvL..47..243G. doi : 10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
9. Либхабер, А.; Ларош, К.; Фов, С. (1982). «Каскад удвоения периода в ртути, количественное измерение» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
10. Линсей, Пол С. (1981). «Удвоение периода и хаотическое поведение в управляемом ангармоническом осцилляторе». Physical Review Letters . 47 (19): 1349–1352. Bibcode : 1981PhRvL..47.1349L. doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1349. ISSN  0031-9007.
11. Теста, Джеймс; Перес, Хосе; Джеффрис, Карсон (1982). «Доказательства универсального хаотического поведения управляемого нелинейного осциллятора». Physical Review Letters . 48 (11): 714–717. Bibcode : 1982PhRvL..48..714T. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.714. ISSN  0031-9007.
12. Arecchi, FT; Lisi, F. (1982). «Прыжковый механизм, генерирующий шум в нелинейных системах». Physical Review Letters . 49 (2): 94–98. Bibcode : 1982PhRvL..49...94A. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.94. ISSN  0031-9007.
13. Строгац (2015), стр. 360–373.

Ссылки

• Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim; Yorke, James (1996). Хаос: Введение в динамические системы . Учебники по математическим наукам. Springer-Verlag New York. doi :10.1007/0-387-22492-0_3. ISBN 978-0-387-94677-1. ISSN  1431-9381.
• Джильо, Марцио; Мусацци, Серджио; Перини, Умберто (1981). «Переход к хаотическому поведению через воспроизводимую последовательность бифуркаций удвоения периода». Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Bibcode :1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
• Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Углубленное численное исследование двумерного уравнения Курамото–Сивашинского". Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 471 (2179): 20140932. Bibcode : 2015RSPSA.47140932K. doi : 10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647.  PMID 26345218  .
• Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркации . Прикладные математические науки. Т. 112 (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-21906-4. Збл  1082.37002.
• Либхабер, А.; Ларош, К.; Фов, С. (1982). «Каскад удвоения периода в ртути, количественное измерение» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
• Папагеоргиу, Д.Т.; Смирлис, Я.С. (1991), «Путь к хаосу для уравнения Курамото-Сивашинского», Теор. вычисл. гидродинамика , 3 (1): 15–42, Bibcode : 1991ThCFD...3...15P, doi : 10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
• Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). «Предсказание хаоса для бесконечномерных динамических систем: уравнение Курамото-Сивашинского, пример». Труды Национальной академии наук . 88 (24): 11129–11132. Bibcode : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087.  PMID 11607246  .
• Строгац, Стивен (2015). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0813349107.
• Cheung, PY; Wong, AY (1987). «Хаотическое поведение и удвоение периода в плазме». Physical Review Letters . 59 (5): 551–554. Bibcode :1987PhRvL..59..551C. doi :10.1103/PhysRevLett.59.551. ISSN  0031-9007. PMID  10035803.

Внешние ссылки

• Связь каскадов удвоения периода с хаосом