Персимметричная матрица

Квадратная матрица, симметричная относительно своей антидиагонали

В математике персимметричная матрица может означать:

1. квадратная матрица , симметричная относительно диагонали северо-восток-юго-запад (антидиагональ); или
2. квадратная матрица, такая, что значения на каждой строке, перпендикулярной главной диагонали, одинаковы для данной строки.

Первое определение является наиболее распространенным в современной литературе. Обозначение « матрица Ганкеля » часто используется для матриц, удовлетворяющих свойству во втором определении.

Определение 1

Симметричная картина персимметричной матрицы 5 × 5

Пусть A = ( a _ij ) будет матрицей n  ×  n . Первое определение персимметричности требует, чтобы для всех i , j . ^[1] Например, персимметричные матрицы 5 × 5 имеют вид $${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

Это можно эквивалентно выразить как AJ = JA ^T , где J — матрица обмена .

Третий способ выразить это — умножить AJ = JA ^T на J с обеих сторон, показав, что A ^T, повернутый на 180 градусов, идентичен A : $${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

Симметричная матрица — это матрица, значения которой симметричны по диагонали северо-запад-юго-восток. Если симметричную матрицу повернуть на 90°, она станет персимметричной матрицей. Симметричные персимметричные матрицы иногда называют бисимметричными матрицами .

Определение 2

Второе определение принадлежит Томасу Мьюиру . ^[2] Оно гласит, что квадратная матрица A = ( a _ij ) является персимметричной, если a _ij зависит только от i + j . Персимметричные матрицы в этом смысле, или матрицы Ганкеля, как их часто называют, имеют вид Персимметричный определитель — это определитель персимметричной матрицы. ^[2] $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Матрица, у которой значения на каждой строке, параллельной главной диагонали, постоянны, называется матрицей Тёплица .

Смотрите также

• Центросимметричная матрица

Ссылки

1. Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Джонс Хопкинс, ISBN 978-0-8018-5414-9. См. стр. 193.
2. Muir, Thomas ; Metzler, William H. (2003) [1933], Трактат о теории детерминант , Dover Press, стр. 419, ISBN 978-0-486-49553-8, OCLC  52203124