Матрица Петерсена

Матрица Петерсена представляет собой всеобъемлющее описание систем биохимических реакций, используемых для моделирования реакторов для контроля загрязнения (инженерное разложение ), а также в экологических системах . Она имеет столько столбцов, сколько соответствующих задействованных компонентов ( химикаты , загрязнители , биомассы , газы ), и столько строк, сколько задействованных процессов (биохимические реакции и физическая деградация). Еще один столбец добавлен для размещения описания кинетики каждого преобразования ( уравнение скорости ). ^{[1] [2]}

Матричная структура

Принцип сохранения массы для каждого процесса выражен в строках матрицы. Если все компоненты включены (ни один не пропущен), то принцип сохранения массы гласит, что для каждого процесса:

${\displaystyle {\text{for all process }}i:\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\dot {\rho _{j}}}=0\;,}$

где - скорость плотности каждого компонента. Это также можно рассматривать как стехиометрическое отношение процесса . ${\displaystyle {\dot {\rho _{j}}}}$

Более того, скорость изменения каждого компонента при одновременном воздействии всех процессов можно легко оценить, суммируя столбцы:

${\displaystyle {\text{for all component }}j:{\frac {\partial C_{j}}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}r_{i}\;,}$

где — скорости реакции каждого процесса. ${\displaystyle r_{i}}$

Пример

Система реакции третьего порядка с последующей ферментативной реакцией Михаэлиса-Ментен .

${\displaystyle {\ce {{A}+ 2B -> S}}}$

${\displaystyle {\ce {{E}+S<=>[k_{f}][k_{r}]ES->[k_{\mathrm {cat} }]{E}+P}}}$

где реагенты A и B объединяются, образуя субстрат S (S = AB ₂ ), который с помощью фермента E превращается в продукт P. Скорость образования каждого вещества составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&=-k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}&=-2k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {S}}]}{dt}}&=k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}]}{dt}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}S]}{dt}}&=k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {P}}]}{dt}}&=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\end{aligned}}}$

Таким образом, матрица Петерсена имеет вид

Матрицу Петерсена можно использовать для записи уравнения скорости системы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}[{\ce {A}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {B}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {S}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {E}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {ES}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {P}}]\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\-2&0&0&0\\+1&-1&+1&0\\0&-1&+1&+1\\0&+1&-1&-1\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]\\k_{r}[{\ce {ES}}]\\k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\end{pmatrix}}}$

Ссылки

1. Рассел, Дэвид Л. (2006). Практическая очистка сточных вод. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 288. ISBN 978-0-471-78044-1.
2. Фанг, редактор, Герберт Х. П. (2010). Экологическая анаэробная технология: применение и новые разработки . Лондон: Imperial College Press. ISBN 9781848165427. {{cite book}}: |first=имеет общее название ( помощь )CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )