Стебли Пиковера — это определенные типы деталей, которые можно найти эмпирически в множестве Мандельброта , при изучении фрактальной геометрии . [1] Они так названы в честь исследователя Клиффорда Пиковера , чей метод «эпсилон-креста» сыграл решающую роль в их открытии. «Эпсилон-крест» — это крестообразная орбитальная ловушка .
По словам Вепстаса (1997) «Пиковер натолкнулся на новую концепцию наблюдения за тем, насколько близко орбиты внутренних точек подходят к осям x и y. На этих снимках, чем ближе точка, тем выше цветовая шкала, причем красный цвет обозначает максимальное приближение. Логарифм расстояния берется для подчеркивания деталей» [2] .
Биоморфы — это биологически выглядящие пиковеровские стебли. [3] В конце 1980-х годов Пиковер разработал биологические организмы с обратной связью, похожие на множества Жюлиа и фрактальное множество Мандельброта . [4] Согласно Пиковеру (1999) вкратце, он «описал алгоритм, который можно использовать для создания разнообразных и сложных форм, напоминающих беспозвоночные организмы. Формы сложны и их трудно предсказать до фактического экспериментирования с отображениями». Он надеялся, что «эти методы побудят [других] к дальнейшему исследованию и открытию новых форм, случайно, которые находятся на грани науки и искусства». [5]
Пиковер разработал алгоритм (который не использует ни случайные возмущения, ни естественные законы) для создания очень сложных форм, напоминающих беспозвоночные организмы. Итерация, или рекурсия, математических преобразований используется для создания биологических морфологий. Он назвал их «биоморфами». В то же время, когда он придумал «биоморф» для этих моделей, известный эволюционный биолог Ричард Докинз использовал это слово для обозначения своего собственного набора биологических форм, которые были получены с помощью совершенно другой процедуры. Более строго, «биоморфы» Пиковера охватывают класс организменных морфологий, созданных небольшими изменениями традиционных тестов на сходимость в области теории « множества Джулии ». [5]
Биоморфы Пиковера демонстрируют самоподобие в разных масштабах, что является общей чертой динамических систем с обратной связью. Реальные системы, такие как береговые линии и горные хребты, также демонстрируют самоподобие в некоторых масштабах. Двумерная параметрическая система 0L может «выглядеть» как биоморфы Пиковера. [6]
Приведенный ниже пример, написанный на псевдокоде, визуализирует множество Мандельброта, раскрашенное с использованием стебля Пиковера с вектором преобразования и цветовым дивидендом.
Вектор преобразования используется для смещения положения (x, y) при определении расстояния точки до горизонтальной и вертикальной оси.
Цветовой дивиденд — это плавающее число, используемое для определения толщины стебля при его визуализации.
Для каждого пикселя (x, y) на цели выполните:{zx = масштабированная x-координата пикселя (масштабируется в соответствии со шкалой Мандельброта X (-2,5, 1)) zy = масштабированная координата y пикселя (масштабируется так, чтобы лежать в шкале Y Мандельброта (-1, 1))float2 c = (zx, zy) //Смещение в формулах Мандельбротаfloat x = zx; //Координаты для итерацииплавающий y = zy;float trapDistance = 1000000; //Отслеживает расстояние, сначала устанавливая высокое значение. целая итерация = 0;пока (x*x + y*y < 4 && итерация < maxIterations){float2 z = float2(x, y);z = cmul(z, z); // z^2, cmul — функция умножения комплексных чисел z += с;х = zx;у = zy;float distanceToX = abs(zx + transformationVector.x); //Проверяет расстояние до вертикальной осиfloat distanceToY = abs(zy + transformationVector.y); //Проверяет расстояние до горизонтальной осиsmallestDistance = min(distanceToX, distanceToY); // Использовать только меньшее расстояние по осиtrapDistance = min(trapDistance, smallestDistance);итерация++;}возвратная ловушкаРасстояние * цвет / делимое;//Дивиденд - это внешний поплавок, чем он выше, тем толще стебель}