Вычет Пуанкаре

В математике вычет Пуанкаре является обобщением, на несколько комплексных переменных и теорию комплексных многообразий , вычета в полюсе теории комплексных функций . Это всего лишь одно из ряда таких возможных расширений.

Если задана гиперповерхность , заданная полиномом степени и рациональной -формой на с полюсом порядка на , то мы можем построить класс когомологий . Если мы восстановим классическую конструкцию вычета. ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n=1}$

Историческое строительство

Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты ^[1], он изучал интегралы периодов вида

${\displaystyle {\underset {\Gamma }{\iint }}\omega }$для ${\displaystyle \Gamma \in H_{2}(\mathbb {P} ^{2}-D)}$

где была рациональная дифференциальная форма с полюсами вдоль дивизора . Он смог сделать сведение этого интеграла к интегралу вида ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \int _{\gamma }{\text{Res}}(\omega )}$для ${\displaystyle \gamma \in H_{1}(D)}$

где , отправляя к границе сплошной -трубки вокруг на гладком геометрическом месте делителя. Если ${\displaystyle \Gamma =T(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D^{*}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {q(x,y)dx\wedge dy}{p(x,y)}}}$

на аффинной карте, где неприводима степени и (поэтому на бесконечной прямой нет полюсов ^{[2] стр. 150} ). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \deg q(x,y)\leq N-3}$

${\displaystyle {\text{Res}}(\omega )=-{\frac {qdx}{\partial p/\partial y}}={\frac {qdy}{\partial p/\partial x}}}$

которые обе являются когомологичными формами.

Строительство

Предварительное определение

Учитывая настройку во введении, пусть будет пространством мероморфных -форм, на которых есть полюсы порядка до . Обратите внимание, что стандартный дифференциал посылает ${\displaystyle A_{k}^{p}(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d:A_{k-1}^{p-1}(X)\to A_{k}^{p}(X)}$

Определять

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(X)={\frac {A_{k}^{p}(X)}{dA_{k-1}^{p-1}(X)}}}$

как рациональные группы когомологий де-Рама . Они образуют фильтрацию

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(X)\subset {\mathcal {K}}_{2}(X)\subset \cdots \subset {\mathcal {K}}_{n}(X)=H^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}$

соответствующий фильтрации Ходжа.

Определение остатка

Рассмотрим -цикл . Берем трубку вокруг (локально изоморфную ), которая лежит внутри дополнения к . Поскольку это -цикл, мы можем интегрировать рациональную -форму и получить число. Если мы запишем это как ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \gamma \in H_{n-1}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle T(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma \times S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \int _{T(-)}\omega :H_{n-1}(X;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }$

то мы получаем линейное преобразование на классах гомологии. Двойственность гомологии/когомологии подразумевает, что это класс когомологии

${\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )}$

который мы называем остатком. Обратите внимание, если мы ограничимся случаем , это будет просто стандартный остаток из комплексного анализа (хотя мы расширяем нашу мероморфную -форму на все . Это определение можно обобщить как отображение ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Res}}:H^{n}(\mathbb {P} ^{n}\setminus X)\to H^{n-1}(X)}$

Алгоритм вычисления этого класса

Существует простой рекурсивный метод вычисления остатков, который сводится к классическому случаю . Напомним, что остаток -формы ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {dz}{z}}+a\right)=1}$

Если мы рассмотрим карту, содержащую , где находится исчезающее геометрическое место , мы можем записать мероморфную -форму с полюсом в виде ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho }$

Тогда мы можем записать это как

${\displaystyle {\frac {1}{(k-1)}}\left({\frac {d\rho }{w^{k-1}}}+d\left({\frac {\rho }{w^{k-1}}}\right)\right)}$

Это показывает, что два класса когомологий

${\displaystyle \left[{\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho \right]=\left[{\frac {d\rho }{(k-1)w^{k-1}}}\right]}$

равны. Таким образом, мы уменьшили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка и определить остаток как ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \operatorname {Res} \left(\alpha \wedge {\frac {dw}{w}}+\beta \right)=\alpha |_{X}}$

Пример

Например, рассмотрим кривую, определяемую полиномом ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,z)=t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}$

Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка

${\displaystyle \omega ={\frac {\Omega }{F_{t}}}={\frac {x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy}{t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}}}$

С

${\displaystyle {\begin{aligned}-z\,dy\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dy-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dy\wedge dz\\y\,dz\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dz-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy\wedge dz\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle 3F_{t}-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}=x{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}}$

у нас есть это

${\displaystyle \omega ={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}\wedge {\frac {dF_{t}}{F_{t}}}+{\frac {3\,dy\wedge dz}{\partial F_{t}/\partial x}}}$

Это подразумевает, что

${\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}}$

Смотрите также

• остаток Гротендика
• остаток Лерея
• Остаток от ботта
• Пучок логарифмических дифференциальных форм
• нормальное пересечение сингулярность
• Формула присоединения#вычет Пуанкаре
• Структура Ходжа
• Якобианский идеал

Ссылки

1. Пуанкаре, Х. (1887). «Sur les Résidus des Integrales Double». Acta Mathematica (на французском языке). 9 : 321–380. дои : 10.1007/BF02406742 . ISSN  0001-5962.
2. Гриффитс, Филлип А. (1982). «Пуанкаре и алгебраическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества . 6 (2): 147–159. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14967-9 . ISSN  0273-0979.

Вводный

• Пуанкаре и алгебраическая геометрия
• Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и глобальная проблема Торелли - Страница 7 содержит общую формулу вычисления с использованием когомологий Чеха

• Введение в остатки и продукты реакции (PDF)
• Вычеты более высоких размерностей - Mathoverflow

Передовой

• Николаеску, Ливиу, Остатки и теория Ходжа (PDF)
• Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)

Ссылки

• Борис А. Хесин , Роберт Вендт, Геометрия бесконечномерных групп (2008) стр. 171
• Вебер, Анджей, Вычет Лере для единичных многообразий (PDF)