Статистика фотонов

Статистика фотонов — это теоретическое и экспериментальное исследование статистических распределений, полученных в экспериментах по подсчету фотонов , в которых фотодетекторы используются для анализа внутренней статистической природы фотонов в источнике света. В этих экспериментах свет, падающий на фотодетектор, генерирует фотоэлектроны , а счетчик регистрирует электрические импульсы, генерирующие статистическое распределение количества фотонов. Низкоинтенсивные разрозненные источники света могут быть дифференцированы с помощью соответствующих статистических распределений, полученных в процессе детектирования.

В зависимости от свойств источника света можно получить три режима статистических распределений: пуассоновский , суперпуассоновский и субпуассоновский. ^[1] Режимы определяются соотношением между дисперсией и средним числом фотонных отсчетов для соответствующего распределения. Как пуассоновский, так и суперпуассоновский свет можно описать полуклассической теорией, в которой источник света моделируется как электромагнитная волна, а атом моделируется согласно квантовой механике. Напротив, субпуассоновский свет требует квантования электромагнитного поля для надлежащего описания и, таким образом, является прямой мерой корпускулярной природы света.

Пуассоновский свет

В классической электромагнитной теории идеальный источник света с постоянной интенсивностью может быть смоделирован пространственно и временно когерентной электромагнитной волной одной частоты. Такой источник света может быть смоделирован, ^[1]

${\displaystyle E(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t+\phi )}$

где — частота поля, — независимый от времени фазовый сдвиг. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi }$

Аналогом в квантовой механике является когерентное состояние ^[1]

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\alpha }^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {{-\left\vert {\alpha }\right\vert }^{2}}{2}}|n\rangle }$

Проецируя когерентное состояние на состояние Фока , мы можем найти вероятность обнаружения фотонов, используя правило Борна , которое дает ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}={\frac {{\left\vert \alpha \right\vert }^{2n}}{n!}}e^{{-\left\vert \alpha \right\vert }^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }}$

Приведенный выше результат представляет собой распределение Пуассона , отличительной чертой которого является когерентное состояние. ${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle }$

Суперпуассоновский свет

Свет, который подчиняется суперпуассоновской статистике, демонстрирует статистическое распределение с дисперсией . Примером света, демонстрирующего суперпуассоновскую статистику, является тепловой свет . Интенсивность теплового света флуктуирует случайным образом, и флуктуации приводят к суперпуассоновской статистике, как показано ниже путем расчета распределения флуктуаций интенсивности. ^[2] Используя распределение интенсивности вместе с формулой Манделя ^[3] , которая описывает вероятность числа фотонных отсчетов, зарегистрированных фотодетектором, можно получить статистическое распределение фотонов в тепловом свете. ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$

Тепловой свет можно смоделировать как совокупность гармонических осцилляторов. Предположим, что -й осциллятор излучает электромагнитное поле с фазой . Используя теорию суперпозиции полей, общее поле, создаваемое осцилляторами, равно ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle E_{j}(t)=E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$ ${\displaystyle \phi _{j}(t)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle E(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{j}(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}}$

После исключения всех переменных, не зависящих от индекса суммирования , случайную комплексную амплитуду можно определить как ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \beta (t)=\sum _{j=1}^{N}e^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\Phi (t)}}$

где было переписано в терминах его величины и его фазы . Поскольку осцилляторы некоррелированы, фаза наложенного поля будет случайной. Следовательно, комплексная амплитуда является стохастической переменной. Она представляет собой сумму некоррелированных фаз осцилляторов, которая моделирует флуктуации интенсивности в тепловом свете. На комплексной плоскости она представляет собой двумерного случайного блуждающего с представлением сделанных шагов. Для больших случайный блуждающий имеет гауссовское распределение вероятностей. Таким образом, совместное распределение вероятностей для действительной и мнимой частей комплексной случайной величины можно представить как, ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle b(t)=\left\vert \beta \right\vert }$ ${\displaystyle e^{i\Phi (t)}}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta (t)}$

${\displaystyle p(\beta (t))=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Re(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-\left({Re(\beta (t))}^{2}+{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

После шагов математическое ожидание квадрата радиуса равно . Математическое ожидание , которое можно рассматривать как все направления, имеющие одинаковую вероятность. Переписывая распределение вероятностей в терминах результаты в ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \langle {\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =2\sigma ^{2}=N}$ ${\displaystyle \langle \left\vert \beta (t)\right\vert \rangle =0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p(\beta (t))={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}}$

Используя приведенное выше распределение вероятностей, мы теперь можем найти среднюю интенсивность поля (где для ясности опущены некоторые константы).

${\displaystyle \langle I(t)\rangle =\langle E^{*}(t)E(t)\rangle }$

${\displaystyle ={E_{0}}^{2}{\langle \left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =N{E_{0}}^{2}}$

Мгновенная напряженность поля определяется выражением ${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle I(t)=E^{*}(t)E(t)=E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}$

Поскольку электрическое поле и, следовательно, интенсивность зависят от стохастической комплексной переменной . Вероятность получения интенсивности между и равна ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I+dI}$

${\displaystyle p(I(t))dI=p(I(\beta (t)))d^{2}\beta }$

где — бесконечно малый элемент на комплексной плоскости. Этот бесконечно малый элемент можно переписать как ${\displaystyle d^{2}\beta }$

${\displaystyle d^{2}\beta =2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert d\left\vert \beta (t)\right\vert }$

Вышеуказанное распределение интенсивности теперь можно записать как

${\displaystyle p(I(t))=p(\left\vert \beta (t)\right\vert )2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\vert \right)}^{-1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{NE_{0}^{2}}}e^{\frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}}$

Это последнее выражение представляет распределение интенсивности для теплового света. Последний шаг в демонстрации того, что тепловой свет удовлетворяет условию дисперсии для суперпуассоновской статистики, заключается в использовании формулы Манделя. ^[3] Формула описывает вероятность наблюдения n фотонных отсчетов и задается как

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI}$

Фактор , где - квантовая эффективность, описывает эффективность счетчика фотонов. Идеальный детектор имел бы . - интенсивность, падающая на область A фотодетектора, и определяется как ^[4] ${\displaystyle \epsilon ={\frac {\eta }{h\nu }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =1}$ ${\displaystyle I}$

Сравнение распределений Пуассона и Бозе-Эйнштейна. Распределение Пуассона характерно для когерентного света, тогда как распределение Бозе-Эйнштейна характерно для теплового света. Оба распределения имеют одинаковое математическое ожидание . ${\displaystyle \langle n\rangle =6}$

${\displaystyle I=\iint \limits _{A}\int _{t}^{t+\tau }\,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy}$

При замене распределения вероятности интенсивности теплового света на P(I) формула Манделя становится

${\displaystyle P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n!\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty }{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }}\right)I}dI}$

Используя следующую формулу для оценки интеграла

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\quad \left(n=0,1,2,..a>0\right)}$

Распределение вероятностей для числа фотонов n от теплового источника света равно

${\displaystyle P(n)={\frac {1}{\left(\langle n\rangle +1\right)}}{\left({\frac {\langle n\rangle }{\langle n\rangle +1}}\right)}^{n}}$

где — среднее число отсчетов. Это последнее распределение известно как распределение Бозе-Эйнштейна. Можно показать, что дисперсия распределения равна ${\displaystyle \langle n\rangle =\epsilon I}$

${\displaystyle {\Delta n}^{2}=\langle n\rangle +{\langle n\rangle }^{2}}$

В отличие от распределения Пуассона для когерентного источника света, распределение Бозе-Эйнштейна имеет характерные особенности теплового света. ${\displaystyle {\Delta n}^{2}>\langle n\rangle }$

Субпуассоновский свет

Схема гомодинной схемы корреляции интенсивности, описанной в [6]. SI, сигнальное поле, LO, локальный генератор, BS, светоделитель, SL, наложенный свет, C, коррелятор. Фотодетекторы (черные элементы) посылают электрические сигналы в коррелятор, где измеряется корреляция интенсивности.

Свет, который управляется субпуассоновской статистикой, не может быть описан классической электромагнитной теорией и определяется как . ^[1] Появление сверхбыстрых фотодетекторов сделало возможным измерение субпуассоновской природы света. Примером света, демонстрирующего субпуассоновскую статистику, является сжатый свет. Недавно исследователи показали, что субпуассоновский свет может быть индуцирован в квантовой точке, демонстрирующей резонансную флуоресценцию. ^[5] Метод, используемый для измерения субпуассоновской структуры света, представляет собой схему гомодинной корреляции интенсивности. ^[6] В этой схеме локальный осциллятор и сигнальное поле накладываются через светоделитель. Затем наложенный свет разделяется другим светоделителем, и каждый сигнал регистрируется отдельными фотодетекторами, подключенными к коррелятору, с которого можно измерить корреляцию интенсивности. Доказательство субпуассоновской природы света демонстрируется путем получения отрицательной корреляции интенсивности, как было показано в. ^[5] ${\displaystyle {\Delta n}^{2}<\langle n\rangle }$

Ссылки

1. М. Фокс, Квантовая оптика: Введение , Oxford University Press, Нью-Йорк, 2006
2. I. Deutsch, Курс квантовой оптики осень 2015 г., http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys566F15/Lectures/Phys566_Lect02.pdf. Получено 9 декабря 2015 г.
3. Mandel, L (1959-09-01). «Флуктуации фотонных пучков: распределение фотоэлектронов». Труды Физического общества . 74 (3). Издательство IOP: 233–243. doi : 10.1088/0370-1328/74/3/301. ISSN  0370-1328.
4. Дж. В. Гудман, Статистическая оптика , Wiley, Нью-Йорк, (1985) 238-256, 466-468
5. Schulte, Carsten HH; Hansom, Jack; Jones, Alex E.; Matthiesen, Clemens; Le Gall, Claire; Atatüre, Mete (2015-08-31). "Квадратурно сжатые фотоны из двухуровневой системы". Nature . 525 (7568). Springer Science and Business Media LLC: 222–225. arXiv : 1506.06827 . doi :10.1038/nature14868. ISSN  0028-0836.
6. Фогель, Вернер (1995-05-01). «Гомодинные корреляционные измерения со слабыми локальными осцилляторами». Physical Review A. 51 ( 5). Американское физическое общество (APS): 4160–4171. doi :10.1103/physreva.51.4160. ISSN  1050-2947.