Поляризационная идентичность

Формула, связывающая норму и скалярное произведение в пространстве скалярных произведений

Векторы, участвующие в тождестве поляризации ${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$

В линейной алгебре , разделе математики , поляризационное тождество — это любая из семейства формул, которые выражают скалярное произведение двух векторов в терминах нормы нормированного векторного пространства . Если норма возникает из скалярного произведения, то поляризационное тождество может быть использовано для выражения этого скалярного произведения полностью в терминах нормы. Поляризационное тождество показывает, что норма может возникнуть максимум из одного скалярного произведения; однако существуют нормы, которые не возникают ни из какого скалярного произведения.

Норма, связанная с любым внутренним произведением пространства, удовлетворяет закону параллелограмма : Фактически, как заметил Джон фон Нейман , ^[1] закон параллелограмма характеризует те нормы, которые возникают из внутренних произведений. При наличии нормированного пространства закон параллелограмма выполняется тогда и только тогда, когда существует внутреннее произведение на такое, что для всех в этом случае это внутреннее произведение однозначно определяется нормой через тождество поляризации. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$ ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H,}$

Поляризационные идентичности

Любое скалярное произведение на векторном пространстве индуцирует норму уравнением Тождества поляризации обращают это отношение, восстанавливая скалярное произведение из нормы. Каждое скалярное произведение удовлетворяет: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

Решение дает формулу Если скалярное произведение действительно, то и эта формула становится тождеством поляризации для действительных скалярных произведений. ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle }$

Действительные векторные пространства

Если векторное пространство расположено над действительными числами , то тождества поляризации следующие: ^[4] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Все эти различные формы эквивалентны по закону параллелограмма : ^{[доказательство 1]} $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Это далее подразумевает, что класс не является гильбертовым пространством всякий раз , когда ⁠ ⁠ , поскольку закон параллелограмма не выполняется. Ради контрпримера рассмотрим и для любых двух непересекающихся подмножеств общей области и вычислим меру обоих множеств по закону параллелограмма. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle x=1_{A}}$ ${\displaystyle y=1_{B}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Комплексные векторные пространства

Для векторных пространств над комплексными числами приведенные выше формулы не совсем корректны, поскольку они не описывают мнимую часть (комплексного) скалярного произведения. Однако аналогичное выражение гарантирует сохранение как действительной, так и мнимой частей. Комплексная часть скалярного произведения зависит от того, является ли она антилинейной по первому или второму аргументу. Обозначение , которое обычно используется в физике, будет считаться антилинейным по первому аргументу, в то время как обозначение, которое обычно используется в математике, будет считаться антилинейным по второму аргументу. Они связаны формулой: ${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$ $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

Действительная часть любого скалярного произведения (независимо от того, какой аргумент является антилинейным и является ли он действительным или комплексным) является симметричным билинейным отображением, которое для любого всегда равно: ^{[4] [доказательство 1]} ${\displaystyle x,y\in H}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Это всегда симметричное отображение , что означает, что ^{[доказательство 1]} , и оно также удовлетворяет: ^{[доказательство 1]} Таким образом , ⁠ ⁠ , что на простом английском означает, что для перемещения множителя к другому аргументу необходимо ввести знак «минус». $${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ $${\displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ ${\displaystyle i}$

В отличие от действительной части, мнимая часть комплексного скалярного произведения зависит от того, какой аргумент является антилинейным.

Антилинейный по первому аргументу

Поляризационные тождества для внутреннего произведения , которое является антилинейным по первому аргументу, следующие: ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

где Второе с конца равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть: ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Антилинейный во втором аргументе

Поляризационные тождества для внутреннего произведения , которое является антилинейным по второму аргументу, следуют из тождества посредством соотношения: Таким образом, для любого ^[4] ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$ ${\displaystyle x,y\in H,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Это выражение можно симметрично выразить так: ^[5] $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Краткое изложение обоих случаев

Таким образом, если обозначает действительную и мнимую части значения некоторого скалярного произведения в точке его области определения, то его мнимая часть будет: где скаляр всегда находится в том же аргументе, в котором скалярное произведение является антилинейным. ${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$ $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle i}$

Используя ⁠ ⁠ ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$ , приведенная выше формула для мнимой части становится: $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

Реконструкция внутреннего продукта

В нормированном пространстве , если выполняется закон параллелограмма , то существует единственное скалярное произведение на такое, что для всех ^{[4] [1]} ${\displaystyle (H,\|\cdot \|),}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$

Доказательство

Мы приведем здесь только реальный случай; доказательство для комплексных векторных пространств аналогично.

По приведенным выше формулам, если норма описывается скалярным произведением (как мы надеемся), то она должна удовлетворять что может служить определением единственного кандидата на роль подходящего скалярного произведения. Таким образом, единственность гарантирована. $${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Остается доказать, что эта формула действительно определяет скалярное произведение и что это скалярное произведение индуцирует норму. Явно будет показано следующее: ${\displaystyle \|\cdot \|.}$

1. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H}$
2. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H}$
3. ${\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,}$
4. ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R} }$

(Эта аксиоматизация опускает положительность , которая подразумевается в (1), и тот факт, что является нормой.) ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Для свойств (1) и (2) замените: и ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.}$

Для свойства (3) удобно действовать в обратном порядке. Осталось показать, что или, что то же самое, $${\displaystyle \|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.}$$

Теперь применим тождество параллелограмма: Таким образом, осталось проверить: $${\displaystyle 2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}}$$ $${\displaystyle 2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}}$$ $${\displaystyle {\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$

Однако последнее утверждение можно проверить, вычитая следующие два дополнительных применения тождества параллелограмма: $${\displaystyle \|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ $${\displaystyle \|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

Таким образом, (3) выполняется.

По индукции можно проверить, что (3) влечет (4), при условии, что Но "(4) когда " влечет "(4) когда ". И любая положительно определенная, вещественнозначная , -билинейная форма удовлетворяет неравенству Коши–Шварца , так что она непрерывна. Таким образом, она также должна быть -линейной. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другим необходимым и достаточным условием для существования скалярного произведения, индуцирующего заданную норму, является то, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея , которое выглядит следующим образом: ^[6] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Применение и последствия

Если — комплексное гильбертово пространство, то является действительным тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна ⁠ ⁠ , что происходит тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ . Аналогично, является (чисто) мнимым тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ . Например, из этого можно сделать вывод, что является действительным, а то — чисто мнимым. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle 0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\Vert x+iy\Vert ^{2}-\Vert x-iy\Vert ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \Vert x+iy\Vert =\Vert x-iy\Vert }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert }$ ${\displaystyle \|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|}$ ${\displaystyle \langle x|x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x|ix\rangle }$

Изометрии

Если — линейная изометрия между двумя гильбертовыми пространствами (и для всех ), то линейные изометрии сохраняют скалярные произведения. ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$ ${\displaystyle h\in H}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$

Если вместо этого — антилинейная изометрия, то ${\displaystyle A:H\to Z}$ $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

Связь с законом косинусов

Вторая форма тождества поляризации может быть записана как $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

По сути, это векторная форма закона косинусов для треугольника, образованного векторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$ . В частности, где — угол между векторами и ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$

Уравнение численно неустойчиво, если u и v подобны из-за катастрофического сокращения , и его следует избегать при численных вычислениях.

Вывод

Основное соотношение между нормой и скалярным произведением задается уравнением $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

Тогда и аналогично $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Формы (1) и (2) тождества поляризации теперь получаются путем решения этих уравнений для ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$ , тогда как форма (3) получается путем вычитания этих двух уравнений. (Сложение этих двух уравнений дает закон параллелограмма.)

Обобщения

Симметричные билинейные формы

Поляризационные тождества не ограничиваются внутренними произведениями. Если — любая симметричная билинейная форма на векторном пространстве, а — квадратичная форма , определяемая тогда ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

Так называемое отображение симметризации обобщает последнюю формулу, заменяя ее однородным полиномом степени, определяемой соотношением , где представляет собой симметричное -линейное отображение. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Формулы выше применимы даже в случае, когда поле скаляров имеет характеристику два, хотя в этом случае все левые части равны нулю. Следовательно, в характеристике два нет формулы для симметричной билинейной формы в терминах квадратичной формы, и они фактически являются различными понятиями, факт, который имеет важные последствия в L -теории ; для краткости в этом контексте «симметричные билинейные формы» часто называются «симметричными формами».

Эти формулы также применимы к билинейным формам на модулях над коммутативным кольцом , хотя снова можно решить только для , если 2 обратимо в кольце, а в противном случае это разные понятия. Например, над целыми числами различают целочисленные квадратичные формы от целочисленных симметричных форм, которые являются более узким понятием. ${\displaystyle B(u,v)}$

В более общем смысле, при наличии инволюции кольца или когда 2 необратимо, различают -квадратичные формы и -симметричные формы ; симметричная форма определяет квадратичную форму, а поляризационное тождество (без множителя 2) от квадратичной формы к симметричной называется « симметризационным отображением» и в общем случае не является изоморфизмом. Это исторически было тонким различием: для целых чисел только в 1950-х годах была понята связь между «двоечками» (целочисленная квадратичная форма) и «двоечками» (целочисленная симметричная форма) — см. обсуждение в интегральной квадратичной форме ; и в алгебраизации теории хирургии Мищенко изначально использовал симметричные L -группы, а не правильные квадратичные L -группы (как у Уолла и Раницки) — см. обсуждение в L-теории . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Однородные многочлены высшей степени

Наконец, в любом из этих контекстов эти тождества могут быть расширены до однородных многочленов (то есть алгебраических форм ) произвольной степени , где это известно как формула поляризации и более подробно рассматривается в статье о поляризации алгебраической формы .

Смотрите также

• Пространство внутреннего произведения  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.
• Закон косинусов  – Свойство всех треугольников на евклидовой плоскости
• Теорема Мазура–Улама
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• Закон параллелограмма  — сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме двух его диагоналей.
• Неравенство Птолемея  – неравенство, связывающее шесть расстояний между четырьмя точками на плоскости.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания и ссылки

1. Lax 2002, стр. 53.
2. Филипп Бланшар , Эрвин Брюнинг (2003). «Предложение 14.1.2 (Фреше – фон Неймана – Джордана)». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства и вариационные методы . Биркхойзер. п. 192. ИСБН 0817642285.
3. Джеральд Тешль (2009). "Теорема 0.19 (Йордан–фон Нейман)". Математические методы в квантовой механике: с приложениями к операторам Шредингера. Книжный магазин Американского математического общества. стр. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
4. Schechter 1996, стр. 601–603.
5. Батлер, Джон (20 июня 2013 г.). "норма - Вывод тождеств поляризации?". Mathematics Stack Exchange . Архивировано из оригинала 14 октября 2020 г. Получено 2020-10-14 .См. ответ Харальда Ханче-Олсона.
6. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордовая метрика». Mathematics Magazine . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
7. Батлер 2013. См. ответ Кита Конрада (KCd).

1. Доказательство можно найти здесь.

Библиография

• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Получено 22 июля 2020 г. .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.