Оператор предварительного замыкания

Оператор закрытия

В топологии оператор презамыкания или оператор замыкания Чеха — это отображение между подмножествами множества, аналогичное оператору топологического замыкания , за исключением того, что он не обязан быть идемпотентным . То есть оператор презамыкания подчиняется только трем из четырех аксиом замыкания Куратовского .

Определение

Оператор презамыкания на множестве представляет собой карту ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [\ \ ]_{p}}$

${\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$

где находится набор мощности ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Оператор предварительного замыкания должен удовлетворять следующим свойствам:

1. ${\displaystyle [\varnothing ]_{p}=\varnothing \!}$(Сохранение нулевых союзов );
2. ${\displaystyle A\subseteq [A]_{p}}$(Расширенность);
3. ${\displaystyle [A\cup B]_{p}=[A]_{p}\cup [B]_{p}}$(Сохранение бинарных союзов).

Последняя аксиома подразумевает следующее:

4. подразумевает . ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}$

Топология

Множество замкнуто (относительно презамыкания), если . Множество является открытым (относительно презамыкания), если его дополнение закрыто. Совокупность всех открытых множеств, сгенерированных оператором предварительного замыкания, является топологией ; ^[1] однако приведенная выше топология не отражает понятие сходимости, связанное с оператором, вместо этого следует рассмотреть предтопологию . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A]_{p}=A}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle A=X\setminus U}$

Примеры

Преметрика

Учитывая предметрику на , тогда ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [A]_{p}=\{x\in X:d(x,A)=0\}}$

является препятствием для ${\displaystyle X.}$

Последовательные пространства

Оператор последовательного замыкания является оператором предварительного замыкания . Учитывая топологию , относительно которой определен оператор последовательного замыкания, топологическое пространство является секвенциальным пространством тогда и только тогда, когда топология, порожденная оператором, равна тому, что, если ${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}.}$

Смотрите также

• Эдуард Чех

Рекомендации

1. Эдуард Чех, Зденек Фролик, Мирослав Катетов, Топологические пространства Прага: Академия, Издательство Чехословацкой академии наук, 1966, Теорема 14 A.9 [1].
2. С. Долеки, Посвящение в теорию конвергенции , в Ф. Минарде, Э. Перле (редакторы), За пределами топологии , AMS, Современная математика, 2009.

• А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин, Общая топология I , (1990) Springer-Verlag, Берлин. ISBN  3-540-18178-4 .
• Б. Баначески, Новый взгляд на лемму о фиксированной точке Бурбаки, Комментарий. Математика. унив. Каролина 33 (1992), 303–309.