В математике псевдоредуктивная группа над полем k (иногда называемая k -редуктивной группой ) — это гладкая связная аффинная алгебраическая группа, определенная над k , k -унипотентный радикал (т. е. наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа) которой тривиален. Над совершенными полями это то же самое, что и (связные) редуктивные группы , но над несовершенными полями Жак Титс нашел несколько примеров псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными. Псевдоредуктивная k -группа не обязательно должна быть редуктивной (поскольку формирование k -унипотентного радикала, как правило, не коммутирует с несепарабельным скалярным расширением на k , таким как скалярное расширение до алгебраического замыкания k ). Псевдоредуктивные группы естественным образом возникают при изучении алгебраических групп над функциональными полями положительно-мерных многообразий в положительной характеристике (даже над совершенным полем констант).
Springer (1998) дает изложение результатов Титса по псевдоредуктивным группам, в то время как Conrad, Gabber & Prasad (2010) основывается на работе Титса, чтобы разработать общую теорию структуры, включая более продвинутые темы, такие как методы построения, корневые системы и корневые группы и открытые ячейки, теоремы классификации и приложения к рациональным теоремам о сопряженности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) по состоянию на 2010 год суммирована в Rémy (2011), а более поздняя работа во втором издании Conrad, Gabber & Prasad (2015) и в Conrad & Prasad (2016) предоставляет дальнейшие уточнения.
Предположим, что k — несовершенное поле характеристики 2, а a — элемент k , не являющийся квадратом. Пусть G — группа ненулевых элементов x + y √ a в k [ √ a ]. Существует морфизм из G в мультипликативную группу G m , переводящий x + y √ a в ее норму x 2 – ay 2 , а ядро — подгруппа элементов нормы 1. Базовая приведенная схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе G a и является унипотентным радикалом геометрического слоя G , но эта приведенная подгрупповая схема геометрического слоя не определена над k (т. е. она не возникает из замкнутой подсхемы G над основным полем k ), а k -унипотентный радикал G тривиален. Таким образом, G является псевдоредуктивной k -группой, но не является редуктивной k -группой. Аналогичная конструкция работает с использованием примитивного нетривиального чисто неотделимого конечного расширения любого несовершенного поля в любой положительной характеристике, с той лишь разницей, что формула для отображения нормы немного сложнее, чем в предыдущих квадратичных примерах.
В более общем случае, если K — нетривиальное чисто неотделимое конечное расширение k , а G — любая нетривиальная связная редуктивная K -группа, определенная, то ограничение Вейля H =R K / k ( G ) — гладкая связная аффинная k -группа, для которой существует (сюръективный) гомоморфизм из H K на G . Ядро этого K -гомоморфизма спускается по унипотентному радикалу геометрического слоя H и не определено над k (т. е. не возникает из замкнутой подгрупповой схемы H ), поэтому R K / k ( G ) псевдоредуктивно, но не редуктивно. Предыдущий пример — это частный случай, использующий мультипликативную группу и расширение K = k [ √ a ].
Над полями характеристики больше 3 все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп с помощью "стандартной конструкции", обобщения конструкции выше. Стандартная конструкция включает вспомогательный выбор коммутативной псевдоредуктивной группы, которая оказывается подгруппой Картана вывода конструкции, и основное осложнение для общей псевдоредуктивной группы состоит в том, что структура подгрупп Картана (которые всегда коммутативны и псевдоредуктивны) является загадочной. Коммутативные псевдоредуктивные группы не допускают полезной классификации (в отличие от связного редуктивного случая, для которого они являются торами и, следовательно, доступны через решетки Галуа), но по модулю эта имеет полезное описание ситуации вдали от характеристик 2 и 3 в терминах редуктивных групп над некоторыми конечными (возможно, неотделимыми) расширениями основного поля.
Над несовершенными полями характеристик 2 и 3 существуют некоторые дополнительные псевдоредуктивные группы (называемые экзотическими), возникающие из существования исключительных изогений между группами типов B и C в характеристике 2, между группами типа F 4 в характеристике 2 и между группами типа G 2 в характеристике 3, использующими конструкцию, аналогичную конструкции групп Ри . Более того, в характеристике 2 существуют дополнительные возможности, возникающие не из исключительных изогений, а из того факта, что для односвязного типа C (т. е. симплектических групп) существуют корни, делящиеся (на 2) в весовой решетке; это приводит к примерам, корневая система которых (над сепарабельным замыканием основного поля) нередуцирована; такие примеры существуют с расщепленным максимальным тором и неприводимой нередуцированной корневой системой любого положительного ранга над каждым несовершенным полем характеристики 2. Классификация в характеристике 3 столь же полна, как и в более крупных характеристиках, но в характеристике 2 классификация наиболее полна, когда [k:k^2]=2 (из-за осложнений, вызванных примерами с нередуцированной корневой системой, а также явлениями, связанными с некоторыми регулярными вырожденными квадратичными формами, которые могут существовать только при [k:k^2]>2 ). Последующая работа Конрада и Прасада (2016), основанная на дополнительном материале, включенном во второе издание Конрада, Габбера и Прасада (2015), завершает классификацию в характеристике 2 до контролируемого центрального расширения, предоставляя исчерпывающий набор дополнительных конструкций, которые существуют только при [k:k^2]>2 , в конечном итоге опираясь на понятие специальной ортогональной группы, прикрепленной к регулярным, но вырожденным и не полностью дефектным квадратичным пространствам в характеристике 2.