В статистике Q -функция — это хвостовая функция распределения стандартного нормального распределения . [1] [2] Другими словами, это вероятность того, что нормальная (гауссова) случайная величина получит значение, превышающее стандартное отклонение. Аналогично, это вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина примет значение, большее .
Если — гауссова случайная величина со средним значением и дисперсией , то это стандартная нормальная и
где .
Другие определения Q -функции, все из которых являются простыми преобразованиями нормальной кумулятивной функции распределения , также используются иногда. [3]
Из-за своей связи с кумулятивной функцией распределения нормального распределения Q -функция также может быть выражена через функцию ошибок , которая является важной функцией в прикладной математике и физике.
Q -функция может быть выражена через функцию ошибок или дополнительную функцию ошибок, как [2]
Альтернативная форма Q -функции, известная как формула Крейга, по имени ее первооткрывателя, выражается как: [4]
Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать в сочетании с Q ( x ) = 1 − Q (- x ) для получения Q ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что область интегрирования фиксирована и конечна.
Позже формула Крейга была расширена Бенадом (2020) [5] для Q -функции суммы двух неотрицательных переменных следующим образом:
Q-функция, построенная на комплексной плоскости
Границы и приближения
Q - функция не является элементарной функцией . Однако оно может быть ограничено сверху и снизу, как [6] [7]
где – функция плотности стандартного нормального распределения, а при больших x границы становятся все более жесткими .
Используя замену v = u 2 /2, верхняя оценка получается следующим образом:
Среднее геометрическое верхней и нижней границы дает подходящее приближение для :
Более точные оценки и аппроксимации можно также получить путем оптимизации следующего выражения [7]
Для наилучшая верхняя граница определяется как и с максимальной абсолютной относительной ошибкой 0,44%. Аналогичным образом, наилучшее приближение дается с максимальной абсолютной относительной ошибкой 0,27%. Наконец, лучшая нижняя граница дается с максимальной абсолютной относительной ошибкой 1,17%.
Улучшенные экспоненциальные оценки и чисто экспоненциальное приближение: [8]
Вышеизложенное было обобщено Танашем и Риихоненом (2020) [9] , которые показали, что можно точно аппроксимировать или ограничить
В частности, они представили систематическую методологию решения числовых коэффициентов , которые дают минимаксное приближение или границу: , , или для . С примерными коэффициентами, приведенными в статье для , относительная и абсолютная ошибки аппроксимации меньше и соответственно. Коэффициенты для многих вариантов экспоненциальных приближений и границ были опубликованы в открытом доступе в виде комплексного набора данных. [10]
Другое приближение for дано Карагианнидисом и Лиумпасом (2007) [11] , которые показали при правильном выборе параметров , что
Абсолютная ошибка между диапазоном и за его пределами минимизируется путем оценки
Используя и численное интегрирование, они обнаружили, что минимальная ошибка возникает, когда это дает хорошее приближение для
Замена этих значений и использование связи между и сверху дает
Альтернативные коэффициенты также доступны для вышеупомянутого «приближения Карагианнидиса – Лиумпаса» для адаптации точности для конкретного приложения или преобразования ее в жесткую границу. [12]
Более точное и удобное приближение для положительных аргументов дано Лопесом-Бенитесом и Касадеваллом (2011) [13] на основе экспоненциальной функции второго порядка:
Коэффициенты аппроксимации могут быть оптимизированы по любому желаемому диапазону аргументов, чтобы минимизировать сумму квадратных ошибок ( , , for ) или минимизировать максимальную абсолютную ошибку ( , , for ). Это приближение дает некоторые преимущества, такие как хороший компромисс между точностью и аналитической доступностью (например, расширение до любой произвольной степени тривиально и не меняет алгебраическую форму приближения).
Функция находит применение в цифровой связи. Обычно он выражается в дБ и обычно называется добротностью :
где y — коэффициент битовых ошибок (BER) анализируемого сигнала с цифровой модуляцией. Например, для QPSK в аддитивном белом гауссовском шуме Q-фактор, определенный выше, совпадает со значением в дБ отношения сигнал/шум , что дает коэффициент ошибок по битам, равный y .
Q-фактор в зависимости от частоты ошибок по битам (BER).
Ценности
Q - функция хорошо табулирована и может быть вычислена непосредственно в большинстве пакетов математического программного обеспечения, таких как R и доступных в Python , MATLAB и Mathematica . Некоторые значения Q -функции приведены ниже для справки.
Обобщение на большие размерности
Q -функция может быть обобщена на более высокие размерности: [14]
где следует многомерное нормальное распределение с ковариацией, а порог имеет вид для некоторого положительного вектора и положительной константы . Как и в одномерном случае, простой аналитической формулы для Q -функции не существует. Тем не менее, Q -функция может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована по мере того, как становится все больше и больше. [15] [16]
^ ab Основные свойства Q-функции. Архивировано 25 марта 2009 г. в Wayback Machine.
^ Функция нормального распределения - из Wolfram MathWorld
^ Крейг, JW (1991). «Новый, простой и точный результат для расчета вероятности ошибки для двумерных сигнальных созвездий» (PDF) . MILCOM 91 — Протокол конференции . стр. 571–575. дои : 10.1109/MILCOM.1991.258319. ISBN 0-87942-691-8. S2CID 16034807.
^ Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности двухветвевого EGC». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 68 (7): 4117–4125. дои : 10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
^ Гордон, РД (1941). «Значения отношения Миллса площади к ограничивающей ординате и нормального интеграла вероятности для больших значений аргумента». Анна. Математика. Стат . 12 : 364–366.
^ аб Борджессон, П.; Сундберг, К.-Э. (1979). «Простые аппроксимации функции ошибок Q (x) для коммуникационных приложений». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 27 (3): 639–643. дои : 10.1109/TCOM.1979.1094433.
^ Кьяни, М.; Дардари, Д.; Саймон, МК (2003). «Новые экспоненциальные границы и приближения для расчета вероятности ошибки в каналах с замиранием» (PDF) . Транзакции IEEE по беспроводной связи . 24 (5): 840–845. дои : 10.1109/TWC.2003.814350.
^ Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Глобальные минимаксные приближения и оценки гауссовой Q-функции суммами экспонент». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 68 (10): 6514–6524. arXiv : 2007.06939 . дои : 10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
^ Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Коэффициенты глобальных минимаксных аппроксимаций и границы гауссовой Q-функции по суммам экспонент [набор данных]». Зенодо . дои : 10.5281/zenodo.4112978.
^ Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2021). «Улучшенные коэффициенты для приближений Карагианнидиса – Лиумпаса и границы гауссовой Q-функции». Коммуникационные письма IEEE . 25 (5): 1468–1471. arXiv : 2101.07631 . дои : 10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
^ Лопес-Бенитес, Мигель; Касадевалл, Фернандо (2011). «Универсальное, точное и аналитически выполнимое приближение гауссовой Q-функции» (PDF) . Транзакции IEEE в области коммуникаций . 59 (4): 917–922. дои : 10.1109/TCOMM.2011.012711.100105. S2CID 1145101.
^ Сэвидж, ИК (1962). «Коэффициент Миллса для многомерного нормального распределения». Журнал исследований Национального бюро стандартов. Раздел B. 66 (3): 93–96. дои : 10.6028/jres.066B.011 . Збл 0105.12601.
^ Ботев, З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка с помощью минимаксного наклона». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Бибкод : 2016arXiv160304166B. дои : 10.1111/rssb.12162. S2CID 88515228.