Q-функция

Функция статистики

График Q-функции.

В статистике Q-функция — это функция распределения хвоста стандартного нормального распределения . ^{[1] [2]} Другими словами, — это вероятность того, что нормальная (гауссовская) случайная величина получит значение, большее, чем стандартное отклонение. Эквивалентно, — это вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина примет значение, большее, чем . ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$

Если — гауссовская случайная величина со средним значением и дисперсией , то — стандартное нормальное распределение и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$

${\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}$

где . ${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}$

Иногда используются и другие определения Q -функции, все из которых являются простыми преобразованиями нормальной кумулятивной функции распределения . ^[3]

Из-за своей связи с кумулятивной функцией распределения нормального распределения Q -функция также может быть выражена через функцию ошибок , которая является важной функцией в прикладной математике и физике.

Определение и основные свойства

Формально Q -функция определяется как

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}$

Таким образом,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

где — кумулятивная функция распределения стандартного нормального гауссовского распределения . ${\displaystyle \Phi (x)}$

Q - функция может быть выражена через функцию ошибок или дополнительную функцию ошибок, как ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$

Альтернативная форма Q -функции, известная как формула Крейга, названная в честь ее первооткрывателя, выражается следующим образом: ^[4]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}$

Это выражение справедливо только для положительных значений x , но его можно использовать в сочетании с Q ( x ) = 1 − Q (− x ), чтобы получить Q ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования фиксирован и конечен.

Формула Крейга была позднее расширена Бехнадом (2020) ^[5] для Q -функции суммы двух неотрицательных переменных следующим образом:

Q-функция, построенная на комплексной плоскости

${\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.}$

Границы и приближения

• Q - функция не является элементарной функцией . Однако она может быть ограничена сверху и снизу, как, ^{[6] [7]}

${\displaystyle \left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)\phi (x)<Q(x)<{\frac {\phi (x)}{x}},\qquad x>0,}$

где — функция плотности стандартного нормального распределения, и границы становятся все более узкими для больших x . ${\displaystyle \phi (x)}$

Используя подстановку v = u ² /2, верхняя граница выводится следующим образом:

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Аналогично, используя и правило частного , ${\displaystyle \phi '(u)=-u\phi (u)}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)\phi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\phi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Решение для Q ( x ) дает нижнюю границу.

Геометрическое среднее верхней и нижней границы дает подходящее приближение для : ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\phi (x)}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geq 0.}$

• Более точные границы и приближения можно получить, оптимизировав следующее выражение ^[7] ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)={\frac {\phi (x)}{(1-a)x+a{\sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

Для наилучшая верхняя граница дается и с максимальной абсолютной относительной погрешностью 0,44%. Аналогично, наилучшее приближение дается и с максимальной абсолютной относительной погрешностью 0,27%. Наконец, наилучшая нижняя граница дается и с максимальной абсолютной относительной погрешностью 1,17%. ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a=0.344}$ ${\displaystyle b=5.334}$ ${\displaystyle a=0.339}$ ${\displaystyle b=5.510}$ ${\displaystyle a=1/\pi }$ ${\displaystyle b=2\pi }$

• Граница Чернова для Q -функции равна

${\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

• Улучшенные экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение ^[8]

${\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {1}{12}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}x^{2}},\qquad x>0}$

• Вышеизложенное было обобщено Танашем и Риихоненом (2020) ^[9] , которые показали, что можно точно аппроксимировать или ограничить ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

В частности, они представили систематическую методологию для решения числовых коэффициентов , которые дают минимаксное приближение или границу: , , или для . С примерами коэффициентов, приведенными в таблице в статье для , относительные и абсолютные ошибки приближения меньше и , соответственно. Коэффициенты для многих вариаций экспоненциальных приближений и границ до были опубликованы в открытом доступе в качестве всеобъемлющего набора данных. ^[10] ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle N=20}$ ${\displaystyle 2.831\cdot 10^{-6}}$ ${\displaystyle 1.416\cdot 10^{-6}}$ ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle N=25}$

• Другое приближение для дано Карагианнидисом и Лиумпасом (2007) ^[11], которые показали для соответствующего выбора параметров , что ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

${\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}\approx \operatorname {erfc} \left(x\right).}$

Абсолютная ошибка между диапазоном и за его пределами сводится к минимуму путем оценки ${\displaystyle f(x;A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ ${\displaystyle [0,R]}$

${\displaystyle \{A,B\}={\underset {\{A,B\}}{\arg \min }}{\frac {1}{R}}\int _{0}^{R}|f(x;A,B)-\operatorname {erfc} (x)|dx.}$

Используя численное интегрирование, они обнаружили, что минимальная ошибка возникает, когда , что дает хорошее приближение для ${\displaystyle R=20}$ ${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$ ${\displaystyle \forall x\geq 0.}$

Подставляя эти значения и используя соотношение между и из вышеизложенного, получаем ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\left(1-e^{\frac {-1.98x}{\sqrt {2}}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{1.135{\sqrt {2\pi }}x}},x\geq 0.}$

Для приведенного выше «приближения Карагианнидиса–Лиумпаса» также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности под конкретное приложение или преобразования ее в жесткую границу. ^[12]

• Более точное и более удобное приближение для положительных аргументов дано Лопесом-Бенитесом и Касадевалем (2011) ^[13] на основе экспоненциальной функции второго порядка: ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

${\displaystyle Q(x)\approx e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}$

Коэффициенты подгонки могут быть оптимизированы в любом желаемом диапазоне аргументов, чтобы минимизировать сумму квадратичных ошибок ( , , для ) или минимизировать максимальную абсолютную ошибку ( , , для ). Это приближение дает некоторые преимущества, такие как хороший компромисс между точностью и аналитической трактуемостью (например, расширение до любой произвольной степени является тривиальным и не изменяет алгебраическую форму приближения). ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a=0.3842}$ ${\displaystyle b=0.7640}$ ${\displaystyle c=0.6964}$ ${\displaystyle x\in [0,20]}$ ${\displaystyle a=0.4920}$ ${\displaystyle b=0.2887}$ ${\displaystyle c=1.1893}$ ${\displaystyle x\in [0,20]}$ ${\displaystyle Q(x)}$

ОбратныйВ

Обратная Q -функция может быть связана с обратными функциями ошибок :

${\displaystyle Q^{-1}(y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erf} ^{-1}(1-2y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erfc} ^{-1}(2y)}$

Функция находит применение в цифровой связи. Обычно выражается в дБ и обычно называется Q-фактором : ${\displaystyle Q^{-1}(y)}$

${\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}}factor} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }$

где y — коэффициент битовых ошибок (BER) анализируемого цифрового модулированного сигнала. Например, для квадратурной фазовой манипуляции (QPSK) в аддитивном белом гауссовском шуме Q-фактор, определенный выше, совпадает со значением в дБ отношения сигнал/шум , что дает коэффициент битовых ошибок, равный y .

Q-фактор и частота ошибок по битам (BER).

Ценности

Q - функция хорошо табулирована и может быть вычислена напрямую в большинстве математических программных пакетов, таких как R и те, которые доступны в Python , MATLAB и Mathematica . Некоторые значения Q -функции приведены ниже для справки.

Обобщение на большие размерности

Q - функцию можно обобщить на более высокие измерения: ^[14]

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \geq \mathbf {x} ),}$

где следует многомерное нормальное распределение с ковариацией , а порог имеет вид для некоторого положительного вектора и положительной константы . Как и в одномерном случае, не существует простой аналитической формулы для Q -функции. Тем не менее, Q -функция может быть аппроксимирована произвольно хорошо по мере того, как становится все больше и больше. ^{[15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} ^{*}>\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Ссылки

1. "Q-функция". cnx.org . Архивировано из оригинала 2012-02-29.
2. "Основные свойства Q-функции" (PDF) . 2009-03-05. Архивировано из оригинала (PDF) 2009-03-25.
3. Функция нормального распределения – из Wolfram MathWorld
4. Крейг, Дж. В. (1991). «Новый, простой и точный результат для расчета вероятности ошибки для двумерных сигнальных созвездий» (PDF) . MILCOM 91 — Протокол конференции . стр. 571–575. doi :10.1109/MILCOM.1991.258319. ISBN 0-87942-691-8. S2CID  16034807.
5. Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности двухветвевого EGC». IEEE Transactions on Communications . 68 (7): 4117–4125. doi :10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID  216500014.
6. Гордон, РД (1941). «Значения отношения Миллса площади к ограничивающей ординате и нормального интеграла вероятности для больших значений аргумента». Ann. Math. Stat . 12 (3): 364–366. doi :10.1214/aoms/1177731721.
7. Borjesson, P.; Sundberg, C.-E. (1979). «Простые аппроксимации функции ошибки Q(x) для приложений связи». IEEE Transactions on Communications . 27 (3): 639–643. doi :10.1109/TCOM.1979.1094433.
8. Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, MK (2003). «Новые экспоненциальные границы и приближения для вычисления вероятности ошибки в каналах с замиранием» (PDF) . IEEE Transactions on Wireless Communications . 24 (5): 840–845. doi :10.1109/TWC.2003.814350.
9. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Глобальные минимаксные приближения и границы для гауссовой Q-функции суммами экспонент». IEEE Transactions on Communications . 68 (10): 6514–6524. arXiv : 2007.06939 . doi :10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID  220514754.
10. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Коэффициенты для глобальных минимаксных аппроксимаций и границы для гауссовой Q-функции по суммам экспонент [набор данных]». Zenodo . doi :10.5281/zenodo.4112978.
11. Карагианнидис, Джордж; Лиумпас, Атанасиос (2007). «Улучшенное приближение для гауссовой Q-функции» (PDF) . IEEE Communications Letters . 11 (8): 644–646. doi :10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID  4043576.
12. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2021). «Улучшенные коэффициенты для приближений Карагианнидиса–Лиумпаса и границы гауссовой Q-функции». IEEE Communications Letters . 25 (5): 1468–1471. arXiv : 2101.07631 . doi : 10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID  231639206.
13. Лопес-Бенитес, Мигель; Касадеваль, Фернандо (2011). «Универсальная, точная и аналитически послушная аппроксимация для гауссовой Q-функции» (PDF) . IEEE Transactions on Communications . 59 (4): 917–922. doi :10.1109/TCOMM.2011.012711.100105. S2CID  1145101.
14. Savage, IR (1962). «Отношение Миллса для многомерных нормальных распределений». Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел B. 66 ( 3): 93–96. doi : 10.6028/jres.066B.011 . Zbl  0105.12601.
15. Ботев, З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка с помощью минимаксного наклона». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Bibcode : 2016arXiv160304166B. doi : 10.1111/rssb.12162. S2CID  88515228.
16. Ботев, З.И.; Маккинлей, Д.; Чен, Й.-Л. (2017). «Логарифмически эффективная оценка хвоста многомерного нормального распределения». Зимняя конференция по моделированию 2017 г. (WSC) . IEEE. стр. 1903–191. doi :10.1109/WSC.2017.8247926. ISBN 978-1-5386-3428-8. S2CID  4626481.