Q (числовой формат)

Числовой формат для указания резерва

Обозначение Q — это способ указать параметры двоичного формата чисел с фиксированной запятой . Например, в нотации Q формат чисел обозначается как Q8.8означает, что числа с фиксированной запятой в этом формате имеют 8 бит для целой части и 8 бит для дробной части.

С той же целью использовался ряд других обозначений .

Определение

Версия Texas Instruments

Обозначение Q, как определено Texas Instruments , ^[1] состоит из буквы Q , за которой следует пара чисел m . n , где m — количество битов, используемых для целой части значения, а n — количество дробных битов.

По умолчанию эта запись описывает знаковый двоичный формат с фиксированной запятой, при этом немасштабированное целое число хранится в формате дополнения до двух , используемом в большинстве двоичных процессоров. Первый бит всегда указывает знак значения (1 = отрицательный, 0 = неотрицательный) и не учитывается в параметре m . Таким образом, общее количество используемых битов w равно 1 + m + n .

Например, спецификация Q3.12 описывает знаковое двоичное число с фиксированной запятой с общим количеством w = 16 бит, включая знаковый бит, три бита для целой части и 12 бит, которые являются дробной частью. То есть 16-битное целое число со знаком (дополнение до двух), которое неявно умножается на масштабный коэффициент 2–12 ^.

В частности, когда n равно нулю, числа являются просто целыми числами. Если m равно нулю, все биты, кроме знакового бита, являются дробными битами; тогда диапазон сохраненного числа составляет от -1,0 (включительно) до +1,0 (исключительно).

М и точку можно опустить, и в этом случае они определяются на основе размера переменной или регистра, в котором хранится значение . Таким образом, Q12 означает целое число со знаком с любым количеством бит, которое неявно умножается на ^2-12 .

Буква U может быть добавлена ​​к Q для обозначения беззнакового двоичного формата с фиксированной запятой. Например, UQ1.15 описывает значения, представленные как 16-битные целые числа без знака с неявным коэффициентом масштабирования 2 ⁻¹⁵ , который находится в диапазоне от 0,0 до (2 ¹⁶ −1)/2 ¹⁵ = +1,999969482421875.

ARM-версия

Вариант обозначения Q использовался ARM . В этом варианте число m включает знаковый бит. Например, 16-битное целое число со знаком будет обозначаться Q15.0в варианте TI, а Q16.0в варианте ARM. ^{[2] [3]}

Характеристики

Разрешение (разница между последовательными значениями) Q m . n или UQ м . Формат n всегда равен 2 ^{− n} . Диапазон представимых значений зависит от используемых обозначений:

Например, номер формата Q15.1 требует 15+1 = 16 бит, имеет разрешение 2-1 ⁼ 0,5, а представимые значения варьируются от -2 ¹⁴ = -16384,0 до +2 ¹⁴ - 2 ^-1 = +16383,5. В шестнадцатеричном формате отрицательные значения варьируются от 0x8000 до 0xFFFF, за которыми следуют неотрицательные значения от 0x0000 до 0x7FFF.

Математические операции

Числа Q представляют собой отношение двух целых чисел: числитель хранится в памяти, знаменатель равен 2 ⁿ . ${\displaystyle d}$

Рассмотрим следующий пример:

• Знаменатель Q8 равен 2 ⁸ = 256.
• 1,5 равно 384/256
• 384 сохраняется, 256 выводится, поскольку это число Q8.

Если необходимо сохранить базу числа Q ( n остается постоянным), математические операции с числом Q должны сохранять знаменатель постоянным. Следующие формулы показывают математические операции над общими числами Q и . (Если мы рассмотрим пример, упомянутый выше, это 384 и 256.) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {N_{1}}{d}}+{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}+N_{2}}{d}}\\{\frac {N_{1}}{d}}-{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}-N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}\times {\frac {N_{2}}{d}}\right)\times d&={\frac {N_{1}\times N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}/{\frac {N_{2}}{d}}\right)/d&={\frac {N_{1}/N_{2}}{d}}\end{aligned}}}$

Поскольку знаменатель представляет собой степень двойки, умножение можно реализовать как арифметический сдвиг влево, а деление — как арифметический сдвиг вправо; на многих процессорах сдвиги выполняются быстрее, чем умножение и деление.

Для обеспечения точности промежуточные результаты умножения и деления должны иметь двойную точность, и необходимо внимательно округлять промежуточный результат перед преобразованием обратно в желаемое число Q.

При использовании C выполняются следующие операции (обратите внимание, что здесь Q относится к количеству битов дробной части):

Добавление

int16_t q_add ( int16_t a , int16_t b ) { return a + b ; }        

С насыщенностью

int16_t q_add_sat ( int16_t a , int16_t b ) { int16_t результат ; int32_t тмп ;         tmp = ( int32_t ) а + ( int32_t ) б ; если ( tmp > 0x7FFF ) tmp = 0x7FFF ; если ( tmp < -1 * 0x8000 ) tmp = -1 * 0x8000 ; результат = ( int16_t ) tmp ;                          вернуть результат ; } 

В отличие от чисел с плавающей запятой ±Inf, насыщенные результаты не являются липкими и станут ненасыщенными при добавлении отрицательного значения к положительному насыщенному значению (0x7FFF) и наоборот в показанной реализации. В ассемблере флаг Signed Overflow можно использовать, чтобы избежать приведения типов, необходимых для этой реализации C.

Вычитание

int16_t q_sub ( int16_t a , int16_t b ) { return a - b ; }        

Умножение

// предварительно вычисленное значение: #define K (1 << (Q - 1)) // насыщаем до диапазона int16_t int16_t sat16 ( int32_t x ) { if ( x > 0x7FFF ) return 0x7FFF ; иначе , если ( x < -0x8000 ) вернуть -0x8000 ; иначе возврат ( int16_t ) x ; }                int16_t q_mul ( int16_t a , int16_t b ) { int16_t результат ; int32_t температура ;         temp = ( int32_t ) a * ( int32_t ) b ; // тип результата соответствует типу операнда // Округление; средние значения округляются в большую сторону temp += K ; // Корректируем путем деления на основание и насыщения результата result = sat16 ( temp >> Q );                вернуть результат ; } 

Разделение

int16_t q_div ( int16_t a , int16_t b ) { /* предварительное умножение по основанию (увеличение масштаба до Q16, чтобы результат был в формате Q8) */ int32_t temp = ( int32_t ) a << Q ; /* Округление: средние значения округляются вверх (вниз для отрицательных значений). */ /* ИЛИ сравнить старшие биты, т.е. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */ if (( temp >= 0 && b >= 0 ) || ( temp < 0 && b < 0 )) { temp += b / 2 ; /* ИЛИ сдвиг на 1 бит, т.е. temp += (b >> 1); */ } else { temp -= b / 2 ; /* ИЛИ сдвиг на 1 бит, т.е. temp -= (b >> 1); */ } return ( int16_t )( temp / b ); }                                                   

Смотрите также

• Арифметика с фиксированной запятой
• Арифметика с плавающей запятой

Рекомендации

1. «Приложение А.2». Справочник программиста библиотеки DSP TMS320C64x (PDF) . Даллас, Техас, США: Texas Instruments Incorporated . Октябрь 2003 г. СПРУ565. Архивировано (PDF) из оригинала 22 декабря 2022 г. Проверено 22 декабря 2022 г.(150 страниц)
2. «ARM Developer Suite AXD и Руководство по отладчикам Armsd» . 1.2. АРМ Лимитед . 2001 [1999]. Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат. ARM DUI 0066D. Архивировано из оригинала 04.11.2017.
3. «Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат» . Руководство по отладчикам RealView Development Suite AXD и Armsd (PDF) . 3.0. АРМ Лимитед . 2006 [1999]. стр. 4–24. ARM DUI 0066G. Архивировано (PDF) из оригинала 4 ноября 2017 г.

дальнейшее чтение

• Оберстар, Эрик Л. (30 августа 2007 г.) [2004]. «Представление с фиксированной запятой и дробная математика» (PDF) . 1.2. Оберстар Консалтинг. Архивировано (PDF) из оригинала 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.(Примечание: точность статьи оспаривается; см. обсуждение.)

Внешние ссылки

• «Реализация Java в формате Q-числа». Архивировано из оригинала 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.
• «Конвертер Q-формата». Архивировано из оригинала 25 июня 2021 г. Проверено 25 июня 2021 г.