Квантовая модель Гейзенберга

Статистическая модель в квантовой механике магнитных материалов

Квантовая модель Гейзенберга , разработанная Вернером Гейзенбергом , является статистическо-механической моделью, используемой при изучении критических точек и фазовых переходов магнитных систем, в которой спины магнитных систем рассматриваются квантово-механически . Она связана с прототипической моделью Изинга , где в каждом узле решетки спин представляет собой микроскопический магнитный диполь, магнитный момент которого направлен либо вверх, либо вниз. Кроме связи между магнитными дипольными моментами, существует также многополярная версия модели Гейзенберга, называемая многополярным обменным взаимодействием . ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$

Обзор

По квантово-механическим причинам (см. обменное взаимодействие или Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ), доминирующая связь между двумя диполями может привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь самую низкую энергию, когда они выровнены . При этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке гамильтониан можно записать в виде

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$,

где — константа связи , а диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ _j , подчиненными периодическому граничному условию . Модель Гейзенберга является более реалистичной моделью, поскольку она рассматривает спины квантово-механически, заменяя спин квантовым оператором, действующим на тензорное произведение , размерности . Чтобы определить его, вспомним матрицы Паули со спином 1/2 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$,

и для и обозначают , где — единичная матрица. При выборе действительных констант связи и гамильтониан задается как ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$ ${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle J_{x},J_{y},}$ ${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

где справа указывает внешнее магнитное поле с периодическими граничными условиями . Цель состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, из которого можно вычислить статистическую сумму и изучить термодинамику системы. ${\displaystyle h}$

Обычно модель называют в зависимости от значений , и : если , то модель называется моделью Гейзенберга XYZ; в случае , то это модель Гейзенберга XXZ; если , то это модель Гейзенберга XXX. Модель Гейзенберга со спином 1/2 в одном измерении может быть решена точно с использованием анзаца Бете . ^[1] В алгебраической формулировке они связаны с конкретными квантовыми аффинными алгебрами и эллиптическими квантовыми группами в случаях XXZ и XYZ соответственно. ^[2] Другие подходы делают это без анзаца Бете. ^[3] ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$ ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$ ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

XXX модель

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи и размерности пространства. Для положительного основное состояние всегда ферромагнитно . При отрицательном основное состояние антиферромагнитно в двух и трех измерениях. ^[4] В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целый, то присутствует только ближний порядок . Система полуцелых спинов демонстрирует квазидальний порядок. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Упрощенной версией модели Гейзенберга является одномерная модель Изинга, в которой поперечное магнитное поле направлено в направлении x , а взаимодействие происходит только в направлении z :

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$.

При малых g и больших g вырождение основного состояния различно, что подразумевает, что между ними должен быть квантовый фазовый переход . Его можно точно решить для критической точки, используя анализ дуальности. ^[5] Переход дуальности матриц Паули равен и , где и также являются матрицами Паули, которые подчиняются алгебре матриц Паули. При периодических граничных условиях можно показать, что преобразованный гамильтониан имеет очень похожую форму: ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$ ${\displaystyle S^{x}}$ ${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

но для присоединенного к спиновому взаимодействию члена. Предполагая, что есть только одна критическая точка, мы можем заключить, что фазовый переход происходит при . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=1}$

Решение по методу Бете

XXX1/2модель

Следуя подходу Людвига Фаддеева  (1996), спектр гамильтониана для модели XXX может быть определен с помощью анзаца Бете. В этом контексте для соответствующим образом определенного семейства операторов, зависящих от спектрального параметра, действующего на полное гильбертово пространство с каждым , вектор Бете является вектором вида , где . Если удовлетворяют уравнению Бете , то вектор Бете является собственным вектором с собственным значением . $${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)}$$ ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ $${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}}$$ ${\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}$

Семейство , а также три других семейства происходят из матрицы переноса (в свою очередь, определенной с помощью матрицы Лакса ), которая действует на вместе со вспомогательным пространством и может быть записана как блочная матрица с элементами в , которая удовлетворяет фундаментальным коммутационным соотношениям (FCR), аналогичным по форме уравнению Янга–Бакстера, используемому для вывода уравнений Бете. FCR также показывают, что существует большая коммутирующая подалгебра, заданная производящей функцией , как , поэтому, когда записывается как полином в , все коэффициенты коммутируют, охватывая коммутативную подалгебру, которая является элементом. Векторы Бете на самом деле являются одновременными собственными векторами для всей подалгебры. ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle T(\lambda )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$ $${\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}$ ${\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}$ ${\displaystyle F(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$

XXXсмодель

Для более высоких спинов, скажем, спин , замените на исходящее из представления алгебры Ли алгебры Ли размерности . Гамильтониан XXX _s решается с помощью анзаца Бете с уравнениями Бете ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2s+1}$ $${\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}$$

ХХЗсмодель

Для спина и параметра деформации из модели XXX уравнение BAE (уравнение анзаца Бете) имеет вид Примечательно, что это именно BAE для модели с шестью вершинами , после определения , где — параметр анизотропии модели с шестью вершинами. ^{[6] [7]} Первоначально это считалось совпадением, пока Бакстер не показал, что гамильтониан XXZ содержится в алгебре, генерируемой матрицей переноса , ^[8] заданной точно как ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.}$$ ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \gamma =2\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle T(\nu )}$ $${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}$$

Приложения

• Другим важным объектом является энтропия запутанности . Один из способов ее описания — подразделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных спинов) и окружающую среду (остальную часть основного состояния). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) она масштабируется логарифмически с размером блока. С ростом температуры логарифмическая зависимость превращается в линейную функцию. ^[9] При больших температурах линейная зависимость следует из второго закона термодинамики .
• Модель Гейзенберга представляет собой важный и понятный теоретический пример применения перенормировки матрицы плотности .
• Модель с шестью вершинами можно решить с помощью алгебраического анзаца Бете для спиновой цепочки Гейзенберга (Бакстер, 1982).
• Наполовину заполненная модель Хаббарда в пределе сильных отталкивательных взаимодействий может быть отображена на модель Гейзенберга с представлением силы сверхобменного взаимодействия. ${\displaystyle J<0}$
• Пределы модели при стремлении шага решетки к нулю (и взятии различных пределов для переменных, появляющихся в теории) описывают интегрируемые теории поля, как нерелятивистские, такие как нелинейное уравнение Шредингера , так и релятивистские, такие как сигма-модель , сигма-модель (которая также является основной хиральной моделью ) и модель синус-Гордона . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• Вычисление некоторых корреляционных функций в плоском или большом пределе N = 4 суперсимметричной теории Янга–Миллса ^[10] ${\displaystyle N}$

Расширенная симметрия

Интегрируемость подкреплена существованием больших алгебр симметрии для различных моделей. Для случая XXX это янгиан , тогда как в случае XXZ это квантовая группа , q-деформация аффинной алгебры Ли , как объяснено в заметках Фаддеева (1996). ${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$

Они появляются через матрицу переноса, и условие, что векторы Бете генерируются из состояния, удовлетворяющего , соответствует решениям, являющимся частью представления с наибольшим весом расширенных алгебр симметрии. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$

Смотрите также

• Классическая модель Гейзенберга
• DMRG модели Гейзенберга
• Модель квантового ротора
• модель тДж
• Модель J1 J2
• Модель Маджумдара–Гхоша
• Модель АКЛТ
• Многополярное обменное взаимодействие

Ссылки

• Р. Дж. Бакстер, Точно решенные модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982
• Гейзенберг, В. (1 сентября 1928 г.). «Zur Theorie des Ferromagnetismus» [К теории ферромагнетизма]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 49 (9): 619–636. Бибкод : 1928ZPhy...49..619H. дои : 10.1007/BF01328601. S2CID  122524239.
• Бете, Х. (1 марта 1931 г.). «Zur Theorie der Metalle» [К теории металлов]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 71 (3): 205–226. Бибкод : 1931ZPhy...71..205B. дои : 10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.

Примечания

1. Бонечи, Ф; Челегини, Э; Джачетти, Р; Сорасе, Э; Тарлини, М. (7 августа 1992 г.). «Модель Гейзенберга XXZ и квантовая группа Галилея». Журнал физики A: Математический и общий . 25 (15): L939–L943. arXiv : hep-th/9204054 . Бибкод : 1992JPhA...25L.939B. дои : 10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID  119046025.
2. Фаддеев, Л. Д. (26 мая 1996 г.). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv : hep-th/9605187v1 .
3. Rojas, Onofre; Souza, SM de; Corrêa Silva, EV; Thomaz, MT (декабрь 2001 г.). «Термодинамика предельных случаев модели XXZ без анзаца Бете». Brazilian Journal of Physics . 31 (4): 577–582. Bibcode : 2001BrJPh..31..577R. doi : 10.1590/s0103-97332001000400008 .
4. Том Кеннеди; Бруно Нахтергале. "Модель Гейзенберга - библиография" . Получено 6 июня 2019 г.
5. Фишер, Мэтью ПА (2004). «Дуальность в низкоразмерных квантовых теориях поля». Сильные взаимодействия в низкоразмерных . Физика и химия материалов с низкими размерами. Том 25. С. 419–438. doi :10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.
6. Либ, Эллиотт Х. (24 апреля 1967 г.). «Точное решение проблемы энтропии двумерного льда». Physical Review Letters . 18 (17): 692–694. Bibcode : 1967PhRvL..18..692L. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.692.
7. Дори, Патрик; Даннинг, Клэр; Татео, Роберто (10 августа 2007 г.). «Соответствие ODE/IM». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 40 (32): R205–R283. doi :10.1088/1751-8113/40/32/R01. ISSN  1751-8113. S2CID  14281617.
8. Baxter, Rodney J (1 апреля 1972 г.). «Одномерная анизотропная цепь Гейзенберга». Annals of Physics . 70 (2): 323–337. Bibcode : 1972AnPhy..70..323B. doi : 10.1016/0003-4916(72)90270-9. ISSN  0003-4916.
9. Корепин, VE (5 марта 2004 г.). "Универсальность масштабирования энтропии в одномерных бесщелевых моделях". Physical Review Letters . 92 (9): 096402. arXiv : cond-mat/0311056 . Bibcode :2004PhRvL..92i6402K. doi :10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID  15089496. S2CID  20620724.
10. Бейсерт, Никлас (1 декабря 2004 г.). «Оператор дилатации N=4 супертеории Янга–Миллса и интегрируемость». Physics Reports . 405 (1): 1–202. arXiv : hep-th/0407277 . Bibcode :2004PhR...405....1B. doi :10.1016/j.physrep.2004.09.007. S2CID  118949332.