Квантовые неравенства

Ограничения на распределение энергии в пространстве-времени в квантовой механике

Квантовые неравенства — это локальные ограничения на величину и степень распределения отрицательной плотности энергии в пространстве-времени. Первоначально задуманные для прояснения давней проблемы квантовой теории поля (а именно, возможности неограниченной отрицательной плотности энергии в точке), квантовые неравенства доказали свою способность иметь широкий спектр приложений. ^[1]

Форма квантовых неравенств напоминает принцип неопределенности .

Энергетические условия в классической теории поля

Теория общей теории относительности Эйнштейна сводится к описанию взаимосвязи между кривизной пространства-времени, с одной стороны, и распределением материи в пространстве-времени, с другой. Точные детали этой взаимосвязи определяются уравнениями Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$.

Здесь тензор Эйнштейна описывает кривизну пространства-времени, тогда как тензор энергии-импульса описывает локальное распределение материи. ( — константа.) Уравнения Эйнштейна выражают локальные соотношения между участвующими величинами — в частности, это система связанных нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$

В этой точке можно сделать очень простое наблюдение: нулевая точка энергии-импульса не является произвольной. Добавление "константы" к правой стороне уравнений Эйнштейна приведет к изменению тензора Эйнштейна, а значит, и свойств кривизны пространства-времени.

Все известные классические поля материи подчиняются определенным « энергетическим условиям ». Наиболее известным классическим энергетическим условием является «слабое энергетическое условие»; оно утверждает, что локальная плотность энергии, измеряемая наблюдателем, движущимся вдоль времениподобной мировой линии, является неотрицательной. Слабое энергетическое условие является существенным для многих наиболее важных и мощных результатов классической теории относительности — в частности, теорем о сингулярности Хокинга и др.

Энергетические условия в квантовой теории поля

Ситуация в квантовой теории поля несколько иная: ожидаемое значение плотности энергии может быть отрицательным в любой заданной точке. На самом деле, все еще хуже: настраивая состояние квантового поля материи, ожидаемое значение локальной плотности энергии можно сделать произвольно отрицательным.

Неравенства

Для свободных, безмассовых, минимально связанных скалярных полей, для всех выполняется следующее неравенство вдоль любой инерциальной мировой линии наблюдателя со скоростью и собственным временем : ^[2] ${\displaystyle \tau _{0}>0}$ ${\displaystyle u^{i}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {\tau _{0}}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\langle T_{ij}u^{i}u^{j}\rangle d\tau }{\tau ^{2}+\tau _{0}^{2}}}\geq -{\frac {3}{32\pi ^{2}\tau _{0}^{4}}}.}$

Это подразумевает усредненное слабое энергетическое условие как , но также накладывает более строгие ограничения на продолжительность эпизодов отрицательной энергии. ${\displaystyle \tau _{0}\rightarrow \infty }$

Аналогичные границы можно построить для массивных скалярных или электромагнитных полей. ^[3] Связанные теоремы подразумевают, что импульсы отрицательной энергии должны быть компенсированы большим положительным импульсом (с величиной, растущей с увеличением расстояния между импульсами). ^[4]

Обратите внимание, что неравенство выше применимо только к инерциальным наблюдателям: для ускоренных наблюдателей ограничения слабее или отсутствуют. ^{[5] [6]}

Приложения

Распределения отрицательной плотности энергии составляют то, что часто называют экзотической материей , и допускают несколько интригующих возможностей: например, двигатель Алькубьерре потенциально позволяет совершать космические путешествия со скоростью, превышающей скорость света.

Квантовые неравенства ограничивают величину и пространственно-временной масштаб отрицательных плотностей энергии. В случае варп-двигателя Алькубьерре , упомянутого выше, квантовые неравенства предсказывают, что количество экзотической материи, необходимое для создания и поддержания «пузыря» варп-двигателя, намного превышает общую массу-энергию вселенной.

История

Самые ранние исследования квантовых неравенств были проведены Ларри Фордом и Томом Романом; одним из первых соавторов был Митч Пфеннинг, один из студентов Форда в Университете Тафтса. Важная работа была также проделана Ианной Фланаган. ^{[ необходима цитата ]} Совсем недавно Крис Фьюстер (из Университета Йорка , Великобритания) применил строгую математику для получения множества довольно общих квантовых неравенств. Соавторами были Форд, Роман, Пфеннинг, Стефан Холландс и Райнер Верч. ^{[ необходима цитата ]}

Дальнейшее чтение

Веб-сайты

Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени в Институте Эрвина Шредингера

Квантовые энергетические неравенства (Йоркский университет, Великобритания)

Ссылки

1. Фьюстер, Кристофер (2012). «Лекции о квантовых энергетических неравенствах». arXiv : 1208.5399 [gr-qc].
2. Форд, Ларри; Роман, Томас (1995). «Усредненные энергетические условия и квантовые неравенства». Physical Review D. 51 ( 8): 4277–4286. arXiv : gr-qc/9410043 . Bibcode : 1995PhRvD..51.4277F. doi : 10.1103/PhysRevD.51.4277. PMID  10018903. S2CID  7413835.
3. Форд, Ларри; Роман, Томас (1997). «Ограничения на отрицательную плотность энергии в плоском пространстве-времени». Physical Review D. 55 ( 4): 2082. arXiv : gr-qc/9607003 . Bibcode : 1997PhRvD..55.2082F. doi : 10.1103/PhysRevD.55.2082. S2CID  14379955.
4. Форд, Томас (1999). "Гипотеза квантового интереса". Physical Review D. 60 ( 10): 104018. arXiv : gr-qc/9901074 . Bibcode : 1999PhRvD..60j4018F. doi : 10.1103/PhysRevD.60.104018. S2CID  12445154.
5. Фьюстер, Кристофер (2000). «Общее квантовое неравенство мировой линии». Классическая и квантовая гравитация . 17 (9): 1897–1911. arXiv : gr-qc/9910060 . Bibcode :2000CQGra..17.1897F. doi :10.1088/0264-9381/17/9/302. S2CID  250839579.
6. Форд, Ларри; Роман, Томас (2013). «Отрицательная энергия, наблюдаемая ускоренными наблюдателями». Physical Review D. 87 ( 5): 085001. arXiv : 1302.2859 . Bibcode : 2013PhRvD..87h5001F. doi : 10.1103/PhysRevD.87.085001. S2CID  119293793.