Квантовая система отсчета

Квантовая система отсчета — это система отсчета, которая рассматривается квантово-теоретически. Она, как и любая система отсчета , является абстрактной системой координат, которая определяет физические величины, такие как время , положение, импульс , спин и т. д. Поскольку она рассматривается в рамках формализма квантовой теории , она обладает некоторыми интересными свойствами, которые не существуют в обычной классической системе отсчета.

Система отсчета в классической механике и инерциальная система отсчета

Рассмотрим простую физическую задачу: автомобиль движется так, что он проходит расстояние в 1 милю за каждые 2 минуты, какова его скорость в метрах в секунду? С помощью некоторых преобразований и вычислений можно прийти к ответу «13,41 м/с»; с другой стороны, вместо этого можно ответить «0, относительно себя». Первый ответ правильный, потому что он признает, что в задаче подразумевается система отсчета. Второй ответ, хотя и педантичный, также правильный, потому что он использует тот факт, что в задаче не указана конкретная система отсчета. Эта простая задача иллюстрирует важность системы отсчета: система отсчета является квинтэссенцией четкого описания системы, независимо от того, включена ли она неявно или явно.

Когда говорят о машине, движущейся на восток, имеют в виду определенную точку на поверхности Земли; более того, поскольку Земля вращается, машина на самом деле движется в изменяющемся направлении относительно Солнца. Фактически, это лучшее, что можно сделать: описать систему относительно некоторой системы отсчета. Описание системы относительно абсолютного пространства не имеет особого смысла, потому что абсолютное пространство, если оно существует, ненаблюдаемо. Следовательно, невозможно описать путь машины в приведенном выше примере относительно некоторого абсолютного пространства. Это понятие абсолютного пространства беспокоило многих физиков на протяжении веков, включая Ньютона. Действительно, Ньютон полностью осознавал это и утверждал, что все инерциальные системы эквивалентны друг другу с точки зрения наблюдения . Проще говоря, относительные движения системы тел не зависят от инерциального движения всей системы. ^[1]

Инерциальная система отсчета (или инерциальная система отсчета вкратце) — это система , в которой выполняются все физические законы. Например, во вращающейся системе отсчета законы Ньютона должны быть изменены, поскольку есть дополнительная сила Кориолиса (такая система является примером неинерциальной системы отсчета). Здесь «вращающийся» означает «вращающийся относительно некоторой инерциальной системы отсчета». Поэтому, хотя верно, что для удобства в качестве системы отсчета всегда может быть выбрана любая физическая система, любая система в конечном итоге должна быть описана инерциальной системой отсчета, прямо или косвенно. Наконец, можно спросить, как можно найти инерциальную систему отсчета, и ответ кроется в законах Ньютона , по крайней мере, в ньютоновской механике : первый закон гарантирует существование инерциальной системы отсчета, в то время как второй и третий законы используются для проверки того, является ли данная система отсчета инерциальной или нет.

Может показаться, что инерциальную систему отсчета теперь можно легко найти, учитывая законы Ньютона, поскольку доступны эмпирические тесты. Наоборот, абсолютно инерциальная система отсчета неизвестна и, скорее всего, никогда не будет известна. Вместо этого инерциальная система отсчета аппроксимируется. Пока ошибка аппроксимации не обнаруживается измерениями, аппроксимированная инерциальная система отсчета (или просто «эффективная система») достаточно близка к абсолютно инерциальной системе отсчета. С эффективной системой отсчета и при условии, что физические законы справедливы в такой системе, описания систем будут такими же хорошими, как если бы использовалась абсолютно инерциальная система отсчета. В качестве отступления, эффективная система отсчета, используемая астрономами, — это система под названием « Международная небесная система отсчета » (ICRF), определяемая 212 радиоисточниками и с точностью около радиан. Однако вполне вероятно, что понадобится лучшая система, когда потребуется более точное приближение. ${\displaystyle 10^{-5}}$

Пересматривая проблему в самом начале, можно, конечно, найти в ней изъян двусмысленности, но обычно подразумевается, что в задаче неявно используется стандартная система отсчета. Фактически, когда система отсчета классическая, не имеет значения, включать ее в физическое описание системы или нет. Можно получить то же самое предсказание, рассматривая систему отсчета внутренне или внешне.

Для дальнейшей иллюстрации этого момента используется простая система с мячом, отскакивающим от стены. В этой системе стена может рассматриваться либо как внешний потенциал , либо как динамическая система, взаимодействующая с мячом. Первый вариант подразумевает помещение внешнего потенциала в уравнения движения мяча, тогда как последний рассматривает положение стены как динамическую степень свободы . Оба варианта дают одинаковое предсказание, и ни один из них не является особенно предпочтительным по сравнению с другим. Однако, как будет обсуждаться ниже, такая свобода выбора прекращает свое существование, когда система становится квантово-механической.

Квантовая система отсчета

Система отсчета может рассматриваться в формализме квантовой теории, и в этом случае она называется квантовой системой отсчета. Несмотря на различное название и трактовку, квантовая система отсчета по-прежнему разделяет многие понятия с системой отсчета в классической механике . Она связана с некоторой физической системой и является реляционной .

Например, если говорят, что частица со спином 1/2 находится в состоянии , подразумевается система отсчета, и ее можно понимать как некоторую систему отсчета относительно прибора в лаборатории. Очевидно, что описание частицы не помещает ее в абсолютное пространство, и делать это вообще не имело бы смысла, поскольку, как упоминалось выше, абсолютное пространство эмпирически ненаблюдаемо. С другой стороны, если говорят, что магнитное поле вдоль оси y задано, то поведение частицы в таком поле может быть описано. В этом смысле y и z являются просто относительными направлениями. Они не имеют и не должны иметь абсолютного значения. ${\displaystyle \left|\uparrow z\right\rangle }$

Можно заметить, что направление z , используемое в лаборатории в Берлине, в целом полностью отличается от направления z , используемого в лаборатории в Мельбурне. Две лаборатории, пытающиеся установить единую общую систему отсчета, столкнутся с важными проблемами, связанными с выравниванием. Изучение такого рода коммуникации и координации является основной темой в квантовой теории информации .

Как и в этом примере со спином 1/2 , квантовые системы отсчета почти всегда рассматриваются неявно в определении квантовых состояний, и процесс включения системы отсчета в квантовое состояние называется квантованием/интернализацией системы отсчета, тогда как процесс исключения системы отсчета из квантового состояния называется деквантованием ^{[ требуется цитата ]} /экстернализацией системы отсчета. В отличие от классического случая, в котором рассмотрение внутренней или внешней системы отсчета является чисто эстетическим выбором, интернализация и экстернализация системы отсчета действительно имеет значение в квантовой теории. ^[2]

Можно сделать одно последнее замечание о существовании квантовой системы отсчета. В конце концов, система отсчета, по определению, имеет четко определенное положение и импульс, в то время как квантовая теория, а именно принцип неопределенности , утверждает, что невозможно описать никакую квантовую систему с четко определенным положением и импульсом одновременно, так что, похоже, между ними есть некоторое противоречие. Оказывается, в качестве системы отсчета используется эффективная система отсчета, в данном случае классическая, так же, как в ньютоновской механике используется почти инерциальная система отсчета, и физические законы считаются действительными в этой эффективной системе отсчета. Другими словами, является ли движение в выбранной системе отсчета инерциальным или нет, не имеет значения.

Следующая трактовка атома водорода, мотивированная Ахарановым и Кауфхерром, может пролить свет на этот вопрос. ^[3] Предположим, что атом водорода находится в четко определенном состоянии движения, как можно описать положение электрона? Ответ заключается не в описании положения электрона относительно тех же координат, в которых движется атом, поскольку это нарушило бы принцип неопределенности, а в описании его положения относительно ядра. В результате из этого можно сказать больше об общем случае: в общем случае допустимо, даже в квантовой теории, иметь систему с четко определенным положением в одной системе отсчета и четко определенным движением в некоторой другой системе отсчета.

Дальнейшие соображения о квантовой системе отсчета

Пример рассмотрения систем отсчета в квантовой теории

Рассмотрим атом водорода. Кулоновский потенциал зависит только от расстояния между протоном и электроном:

${\displaystyle V(r)={\frac {-Ze^{2}}{r}}}$

При такой симметрии задача сводится к задаче о частице в центральном потенциале:

${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+{\frac {-Ze^{2}}{r}}\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$

Используя разделение переменных , решения уравнения можно записать в радиальной и угловой частях:

${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

где , и — орбитальный угловой момент, магнитное и энергетическое квантовые числа соответственно. ${\displaystyle l,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Теперь рассмотрим уравнение Шредингера для протона и электрона:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)=-iH\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)}$

Замена переменных на относительные и координаты центра масс дает

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi (x,y,z,X,Y,Z)}{\partial t}}=-i[-{\frac {1}{2M}}\nabla _{c.o.m.}^{2}-{\frac {1}{2\mu }}\nabla _{rel}^{2}+V(x,y,z)]\Psi }$

где — полная масса, а — приведенная масса. Окончательное изменение сферических координат с последующим разделением переменных даст уравнение для из вышеприведенного. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$

Однако если теперь необходимо обратить сделанное ранее изменение переменных, центр масс необходимо снова подставить в уравнение для : ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}{z_{1}-z_{2}}}\right)}$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\left({\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\right)}$

${\displaystyle X={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Важность этого результата в том, что он показывает, что волновая функция для составной системы запутана , вопреки тому, что обычно думают с классической точки зрения. Что еще важнее, он показывает, что энергия атома водорода связана не только с электроном, но и с протоном, и полное состояние не разлагается на состояние для электрона и одно для протона по отдельности. ^[1]

Правила суперотбора

Правила суперотбора, короче говоря, являются постулированными правилами, запрещающими подготовку квантовых состояний, которые демонстрируют когерентность между собственными состояниями определенных наблюдаемых. Первоначально они были введены для наложения дополнительных ограничений на квантовую теорию сверх ограничений правил отбора . Например, правила суперотбора для электрических зарядов запрещают подготовку когерентной суперпозиции различных собственных состояний заряда.

Как оказалось, отсутствие системы отсчета математически эквивалентно правилам суперотбора. Это мощное утверждение, поскольку долгое время считалось, что правила суперотбора имеют аксиоматическую природу, а теперь его фундаментальное положение и даже его необходимость подвергаются сомнению. Тем не менее, было показано, что в принципе всегда возможно (хотя и не всегда легко) снять все правила суперотбора с квантовой системы.

Деградация квантовой системы отсчета

Во время измерения, всякий раз, когда исследуются отношения между системой и используемой системой отсчета, неизбежно возникает нарушение для них обоих, которое известно как обратное действие измерения . Поскольку этот процесс повторяется, он снижает точность результатов измерения, и такое снижение пригодности системы отсчета называется деградацией квантовой системы отсчета. ^{[4] [5]} Способом оценки деградации системы отсчета является количественная оценка долговечности, а именно количества измерений, которые можно выполнить относительно системы отсчета до тех пор, пока не будет превышен определенный допуск погрешности.

Например, для спин- системы максимальное количество измерений, которые могут быть сделаны до превышения допуска на ошибку, , определяется как . Таким образом, долговечность и размер системы отсчета находятся в квадратичной зависимости в этом конкретном случае. ^[6] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n_{max}\simeq \epsilon j^{2}}$

В этой спин- системе деградация происходит из-за потери чистоты состояния опорной системы. С другой стороны, деградация может быть вызвана также несовпадением фоновой опоры. Было показано, что в таком случае долговечность имеет линейную зависимость от размера опорной системы. ^[4] ${\displaystyle j}$

Ссылки

1. Dickson, Michael (2004). «Взгляд из ниоткуда: квантовые системы отсчета и неопределенность». Исследования по истории и философии современной физики . 35 (2): 195–220. Bibcode : 2004SHPMP..35..195D. doi : 10.1016/j.shpsb.2003.12.003.
2. Барлетт, Стивен Д.; Рудольф, Терри; Спеккенс, Роберт В. (2006). «Диалог о двух взглядах на квантовые когерентности: фактистский и фиктивный». Международный журнал квантовой информации . 4 : 17. arXiv : quant-ph/0507214 . Bibcode : 2005quant.ph..7214B. doi : 10.1142/S0219749906001591. S2CID  16503770.
3. Ааронов, Ю.; Т. Кауфхерр (1984). «Квантовые системы отсчета». Phys. Rev. D. 30 ( 2): 368–385. Bibcode :1984PhRvD..30..368A. doi :10.1103/PhysRevD.30.368.
4. Poulin, D.; J. Yard (2007). "Динамика квантовой системы отсчета". New J. Phys . 9 (5): 156. arXiv : quant-ph/0612126 . Bibcode : 2007NJPh....9..156P. doi : 10.1088/1367-2630/9/5/156. S2CID  8337465.
5. Ахмади, Мехди; Дженнингс, Дэвид; Рудольф, Терри (2010). «Динамика квантовой системы отсчета, подвергающейся селективным измерениям и когерентным взаимодействиям». Physical Review A. 82 ( 3): 032320. arXiv : 1005.0798 . Bibcode : 2010PhRvA..82c2320A. doi : 10.1103/PhysRevA.82.032320. S2CID  119270210.
6. Бартлетт, Стивен Д.; Рудольф, Терри ; Спеккенс, Роберт В. (апрель–июнь 2007 г.). «Системы отсчета, правила суперотбора и квантовая информация». Reviews of Modern Physics . 79 (2): 555–606. arXiv : quant-ph/0610030 . Bibcode : 2007RvMP...79..555B. doi : 10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID  118880279.

Смотрите также

• Система отсчета
• Теория информации
• Квантовая информация