В алгебраической геометрии морфизм между схемами называется квазикомпактным , если Y может быть покрыта открытыми аффинными подсхемами такими, что прообразы компактны . [1] Если f квазикомпактна, то прообраз компактной открытой подсхемы (например, открытой аффинной подсхемы) относительно f компактен .
Недостаточно, чтобы Y допускал покрытие компактными открытыми подсхемами, прообразы которых компактны. Чтобы привести пример, [2] пусть A — кольцо , которое не удовлетворяет условиям возрастающей цепи на радикальных идеалах , и положим . Тогда X содержит открытое подмножество U , которое не компактно. Пусть Y — схема, полученная склеиванием двух X вдоль U . X , Y оба компактны. Если — включение одной из копий X , то прообраз другого X , открытого аффинного в Y , есть U — не компактно. Следовательно, f не является квазикомпактным.
Морфизм из квазикомпактной схемы в аффинную схему является квазикомпактным.
Пусть — квазикомпактный морфизм между схемами. Тогда замкнут тогда и только тогда, когда он устойчив относительно специализации.
Композиция квазикомпактных морфизмов квазикомпактна. Изменение базы квазикомпактного морфизма квазикомпактно.
Аффинная схема является квазикомпактной. Фактически, схема является квазикомпактной тогда и только тогда, когда она является конечным объединением открытых аффинных подсхем. Критерий Серра дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы квазикомпактная схема была аффинной.
Квазикомпактная схема имеет по крайней мере одну замкнутую точку. [3]
{{citation}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на апрель 2024 г. ( ссылка ). См. в частности предложение 4.1.