R-алгеброид

В математике R-алгеброиды строятся, начиная с группоидов . Это более абстрактные концепции, чем алгеброиды Ли , которые играют в теории группоидов Ли ту же роль , что и алгебры Ли в теории групп Ли . (Таким образом, алгеброид Ли можно рассматривать как « алгебру Ли со многими объектами »).

Определение

R -алгеброид , , строится из группоида следующим образом. Множество объектов совпадает с множеством объектов и является свободным R-модулем на множестве , с композицией, заданной обычным билинейным правилом, расширяющим композицию . ^[1] ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

R-категория

Группоид можно рассматривать как категорию с обратимыми морфизмами. Тогда R-категория определяется как расширение концепции R -алгеброида путем замены группоида в этой конструкции на общую категорию C , не имеющую все морфизмы обратимыми. ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

R-алгеброидыс помощьюпродукты свертки

Можно также определить R-алгеброид , как множество функций с конечным носителем , и с произведением свертки , определенным следующим образом: [ ^2] ${\displaystyle {\bar {R}}{\mathsf {G}}:=R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c){\longrightarrow }R}$ ${\displaystyle \displaystyle (f*g)(z)=\sum \{(fx)(gy)\mid z=x\circ y\}}$

Только эта вторая конструкция естественна для топологического случая, когда нужно заменить « функцию » на « непрерывную функцию с компактным носителем », и в этом случае . ${\displaystyle R\cong \mathbb {C} }$

Примеры

• Каждая алгебра Ли является алгеброидом Ли над одноточечным многообразием .
• Алгеброид Ли, связанный с группоидом Ли .

Смотрите также

• Алгебраическая категория
• Алгеброид (значения)
• Биалгебра
• Бикатегория
• Продукт свертки
• Скрещенный модуль
• Двойной группоид
• Многомерная алгебра
• алгебра Хопфа
• Модуль (математика)
• Кольцо (математика)

Ссылки

1. Моса 1986
2. Браун и Моза 1986

В данной статье использованы материалы из книг Algebroid Structures и Algebroid Extended Symmetries на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike .

Источники

• Браун, Р .; Моза, Г. Х. (1986). «Двойные алгеброиды и скрещенные модули алгеброидов». Препринт по математике . Университет Уэльса-Бангор.
• Mosa, GH (1986). Многомерные алгеброиды и скрещенные комплексы (PhD). Университет Уэльса. uk.bl.ethos.815719.
• Mackenzie, Kirill CH (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 124. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34882-9.
• Mackenzie, Kirill CH (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 213. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49928-6.
• Марль, Шарль-Мишель (2002). «Дифференциальное исчисление на алгеброиде Ли и пуассоновых многообразиях». arXiv : 0804.2451 [math.DG].
• Вайнштейн, Алан (1996). «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии». AMS Notices . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 . Bibcode :1996math......2220W. CiteSeerX  10.1.1.29.5422 .