RL-цепь

Электрическая цепь, состоящая из резистивных и индуктивных элементов, без емкостных элементов.

Резисторно -индукторная цепь ( RL цепь ), или RL фильтр или RL сеть , представляет собой электрическую цепь, состоящую из резисторов и индукторов, приводимых в действие источником напряжения или тока . ^[1] RL цепь первого порядка состоит из одного резистора и одного индуктора, либо последовательно приводимых в действие источником напряжения, либо параллельно приводимых в действие источником тока. Это один из простейших аналоговых электронных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой .

Введение

Основными пассивными линейными элементами схемы являются резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Эти элементы схемы можно объединить для формирования электрической схемы четырьмя различными способами: RC-цепь , RL-цепь, LC-цепь и RLC-цепь , с сокращениями, указывающими, какие компоненты используются. Эти схемы демонстрируют важные типы поведения, которые являются фундаментальными для аналоговой электроники . В частности, они могут действовать как пассивные фильтры .

Однако на практике конденсаторы (и RC-цепи) обычно предпочтительнее индукторов, поскольку их проще изготовить и они, как правило, меньше по размеру, особенно при более высоких значениях компонентов.

Как RC, так и RL цепи образуют однополюсный фильтр. В зависимости от того, подключен ли реактивный элемент (C или L) последовательно с нагрузкой или параллельно ей, будет определяться, будет ли фильтр фильтром нижних или верхних частот.

Часто схемы RL используются в качестве источников постоянного тока для усилителей ВЧ , где индуктор используется для пропускания постоянного тока смещения и блокирования попадания ВЧ обратно в источник питания.

Комплексное сопротивление

Комплексное сопротивление Z _L (в Омах ) катушки индуктивности с индуктивностью L (в Генри ) равно

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

Комплексная частота s — это комплексное число ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

где

• j представляет мнимую единицу : j ² = −1 ,
• σ — константа экспоненциального затухания (в радианах в секунду ), а
• ω — угловая частота (в радианах в секунду).

Собственные функции

Комплекснозначные собственные функции любой линейной стационарной системы (LTI) имеют следующие формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

Согласно формуле Эйлера , действительная часть этих собственных функций представляет собой экспоненциально затухающие синусоиды:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние является особым случаем, в котором входное напряжение представляет собой чистую синусоиду (без экспоненциального затухания). В результате,

${\displaystyle \sigma =0}$

и оценка s становится

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

Последовательная цепь

Последовательная RL-цепь

Рассматривая цепь как делитель напряжения , мы видим, что напряжение на катушке индуктивности равно:

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

а напряжение на резисторе равно:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Текущий

Ток в цепи везде одинаков, так как цепь последовательная:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

Передаточные функции

Передаточная функция по напряжению индуктора равна

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

Аналогично, передаточная функция для напряжения резистора равна

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

Передаточная функция по току равна

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

Полюса и нули

Передаточные функции имеют один полюс, расположенный в

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

Кроме того, передаточная функция для индуктора имеет ноль, расположенный в начале координат .

Коэффициент усиления и фазовый угол

Коэффициенты усиления по двум компонентам определяются путем взятия величин приведенных выше выражений:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

и

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

а фазовые углы равны:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

и

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

Обозначение фазора

Эти выражения вместе можно подставить в обычное выражение для фазора, представляющего выход: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

Импульсный ответ

Импульсная характеристика для каждого напряжения является обратным преобразованием Лапласа соответствующей передаточной функции. Она представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика для напряжения индуктора равна

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где u ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда , а τ = ⁠Л/Р⁠ —постоянная времени.

Аналогично импульсная характеристика для напряжения резистора равна

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

Нулевой ответ на входной сигнал

Реакция на нулевой вход (ZIR), также называемая естественной реакцией , RL-цепи описывает поведение цепи после того, как она достигла постоянных напряжений и токов и была отключена от любого источника питания. Она называется реакцией на нулевой вход, потому что не требует никакого входа.

ZIR цепи RL равен:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

Соображения частотной области

Это выражения частотной области . Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основывается на рассмотрении того, что происходит с этими усилениями, когда частота становится очень большой и очень маленькой.

При ω → ∞ :

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

При ω → 0 :

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Это показывает, что если выходной сигнал подается через индуктор, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (отбрасываются). Таким образом, схема ведет себя как фильтр верхних частот . Если же выходной сигнал подается через резистор, высокие частоты отбрасываются, а низкие частоты пропускаются. В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр нижних частот . Сравните это с поведением выходного сигнала резистора в RC-цепи , где все наоборот.

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания . Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется его частотой среза . Это требует, чтобы усиление схемы было уменьшено до

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

Решение приведенного выше уравнения дает

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

это частота, которую фильтр ослабит до половины своей первоначальной мощности.

Очевидно, что фазы также зависят от частоты, хотя этот эффект в целом менее интересен, чем изменения усиления.

При ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

При ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Таким образом, при постоянном токе (0  Гц ) напряжение резистора совпадает по фазе с напряжением сигнала, в то время как напряжение индуктора опережает его на 90°. По мере увеличения частоты напряжение резистора начинает отставать на 90° относительно сигнала, а напряжение индуктора становится синфазным с сигналом.

Соображения относительно временной области

В этом разделе мы опираемся на знание e — натуральной логарифмической константы .

Самый простой способ вывести поведение во временной области — использовать преобразования Лапласа выражений для V _L и V _{R ,} приведенных выше. Это эффективно преобразует jω → s . Предполагая ступенчатый вход (т. е. V _in = 0 до t = 0 , а затем V _in = V после):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Реакция на скачок напряжения индуктора.

Реакция резистора на скачок напряжения.

Разложения простейших дробей и обратное преобразование Лапласа дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, напряжение на индукторе стремится к 0 с течением времени, в то время как напряжение на резисторе стремится к V , как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному представлению о том, что индуктор будет иметь напряжение только до тех пор, пока ток в цепи изменяется — по мере того, как цепь достигает своего устойчивого состояния, дальнейшего изменения тока не происходит и, в конечном счете, напряжения на индукторе нет.

Эти уравнения показывают, что последовательная RL-цепь имеет постоянную времени, обычно обозначаемую τ = ⁠Л/Р⁠ это время, необходимое напряжению на компоненте, чтобы упасть (на индукторе) или подняться (на резисторе) до значения ⁠1/е⁠ его конечного значения. То есть, τ — это время, которое требуется V _L для достижения V ( ⁠1/е⁠ ) ​​и V _R для достижения V (1 − ⁠1/е⁠ ) ​​.

Скорость изменения дробная 1 − ⁠1/е⁠ за τ . Таким образом, при переходе от t = Nτ к t = ( N + 1) τ напряжение пройдет около 63% пути от своего уровня при t = Nτ к своему конечному значению. Таким образом, напряжение на катушке индуктивности упадет примерно до 37% после τ и по существу до нуля (0,7%) примерно через 5 τ . Закон напряжения Кирхгофа подразумевает, что напряжение на резисторе будет расти с той же скоростью. Когда затем источник напряжения заменяется коротким замыканием , напряжение на резисторе экспоненциально падает с t от V к 0. Резистор будет разряжен примерно до 37% после τ и по существу полностью разряжен (0,7%) примерно через 5 τ . Обратите внимание, что ток I в цепи ведет себя так же, как и напряжение на резисторе, по закону Ома .

Задержка времени нарастания или спада цепи в этом случае вызвана обратной ЭДС от индуктора, который, поскольку ток, протекающий через него, пытается измениться, не позволяет току (и, следовательно, напряжению на резисторе) расти или падать намного быстрее, чем постоянная времени цепи. Поскольку все провода имеют некоторую самоиндукцию и сопротивление, все цепи имеют постоянную времени. В результате, когда источник питания включается, ток не мгновенно достигает своего установившегося значения, ⁠В/Р⁠ . Вместо этого подъем занимает несколько временных констант для завершения. Если бы это было не так, и ток немедленно достиг бы стационарного состояния, чрезвычайно сильные индуктивные электрические поля были бы сгенерированы резким изменением магнитного поля — это привело бы к пробою воздуха в цепи и электрической дуге , вероятно, повреждая компоненты (и пользователей).

Эти результаты можно также получить, решив дифференциальное уравнение, описывающее цепь:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего множителя и дает ток, который необходимо дифференцировать, чтобы получить V _L ; второе уравнение простое. Решения точно такие же, как и те, которые получены с помощью преобразований Лапласа.

Уравнение короткого замыкания

Для оценки короткого замыкания рассматривается цепь RL. Более общее уравнение:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

При начальном условии:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

Которую можно решить с помощью преобразования Лапласа :

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

Таким образом:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

Затем антитрансформация возвращает:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

В случае, если напряжение источника представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда (DC):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

В случае, если напряжение источника представляет собой синусоидальную функцию (переменный ток):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right)+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left(e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}\left[{\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right]}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left[\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

Параллельная цепь

Параллельная RL-цепь

Когда и резистор, и индуктор соединены параллельно и питаются через источник напряжения, это известно как параллельная RL-цепь. ^[2] Параллельная RL-цепь, как правило, представляет меньший интерес, чем последовательная цепь, если только она не питается от источника тока. Это в значительной степени связано с тем, что выходное напряжение ( V _out ) равно входному напряжению ( V _in ); в результате эта цепь не действует как фильтр для входного сигнала напряжения.

С комплексными сопротивлениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

Это показывает, что катушка индуктивности отстает от тока резистора (и источника) на 90°.

Параллельная схема наблюдается на выходе многих схем усилителей и используется для изоляции усилителя от эффектов емкостной нагрузки на высоких частотах. Из-за фазового сдвига, вносимого емкостью, некоторые усилители становятся нестабильными на очень высоких частотах и ​​склонны к колебаниям. Это влияет на качество звука и срок службы компонентов, особенно транзисторов.

Смотрите также

• LC-контур
• RC-цепь
• RLC-цепь
• Электрическая сеть
• Список тем по электронике

Ссылки

1. «Цепь RL: формула, уравнение и диаграмма | Linquip» . 24 августа 2021 г. Проверено 16 марта 2022 г.
2. "RL Circuit: Working, Phasor Diagram, Impedance & Its Uses". ElProCus - Electronic Projects for Engineering Students . 2021-04-06 . Получено 2022-03-16 .