В математике скобка Ранкина–Коэна двух модулярных форм — это еще одна модулярная форма, обобщающая произведение двух модулярных форм. Ранкин (1956, 1957) дал некоторые общие условия для многочленов в производных модулярных форм, чтобы быть модулярными формами, а Коэн (1975) нашел явные примеры таких многочленов, которые дают скобки Ранкина–Коэна. Они были названы Загиром (1994), который ввел алгебры Ранкина–Коэна как абстрактную установку для скобок Ранкина–Коэна.
Если и являются модулярными формами веса k и h соответственно, то их n- я скобка Ранкина–Коэна [ f , g ] n задается выражением
Это модульная форма веса k + h + 2 n . Обратите внимание, что фактор включен так, что коэффициенты q-разложения являются рациональными, если коэффициенты и являются. и являются стандартными производными , в отличие от производной по квадрату нома , которая иногда также используется.
Таинственную формулу для скобки Ранкина–Коэна можно объяснить в терминах теории представлений . Модулярные формы можно рассматривать как векторы наименьшего веса для дискретных серий представлений SL 2 ( R ) в пространстве функций на SL 2 ( R )/SL 2 ( Z ). Тензорное произведение двух представлений наименьшего веса, соответствующих модулярным формам f и g, распадается как прямая сумма представлений наименьшего веса, индексированных неотрицательными целыми числами n , и короткий расчет показывает, что соответствующие векторы наименьшего веса являются скобками Ранкина–Коэна [ f , g ] n .
Первая скобка Ранкина–Коэна — это скобка Ли при рассмотрении кольца модулярных форм как алгебры Ли .
![{\displaystyle [f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r} {\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \ тау ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1977dc2952a2caeccc95c74afbd403d3944e372b)
![{\displaystyle [f,g]_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62be80c877f703fcd9584981a0814b5d1a54c553)
