Уравнение Рэлея–Плессета

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Уравнение Рэлея–Плессета часто применяется для изучения кавитационных пузырьков, которые здесь показаны образующимися за винтом.

В механике жидкости уравнение Рэлея –Плессета или уравнение Безанта–Рэлея–Плессета представляет собой нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение , которое описывает динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости. ^{[1] [2] [3] [4]} Его общая форма обычно записывается как

${\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0}$

где

${\displaystyle \rho _{L}}$плотность окружающей жидкости, предполагаемая постоянной

${\displaystyle R(t)}$радиус пузыря

${\displaystyle \nu _{L}}$— кинематическая вязкость окружающей жидкости, предполагаемая постоянной

${\displaystyle \sigma }$поверхностное натяжение на границе раздела пузырь-жидкость

${\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)}$, в котором — давление внутри пузырька, предполагаемое равномерным, а — внешнее давление, бесконечно удаленное от пузырька ${\displaystyle P_{B}(t)}$ ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$

При условии, что известно и задано, уравнение Рэлея–Плессета можно использовать для решения задачи о радиусе пузырька, изменяющемся во времени . ${\displaystyle P_{B}(t)}$ ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ ${\displaystyle R(t)}$

Уравнение Рэлея–Плессета можно вывести из уравнений Навье–Стокса при условии сферической симметрии . ^[4] Его также можно вывести с использованием баланса энергии. ^[5]

История

Пренебрегая поверхностным натяжением и вязкостью, уравнение было впервые выведено У. Х. Безантом в его книге 1859 года с постановкой задачи, сформулированной следующим образом: Бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, и сферическая часть жидкости внезапно уничтожается; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке массы и время, за которое полость будет заполнена, при этом давление на бесконечном расстоянии предполагается постоянным (фактически, Безант приписывает эту проблему проблемам Кембриджского сената-палаты 1847 года). ^[6] Безант предсказал, что время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса, будет ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}}$

Лорд Рэлей нашел более простой вывод того же результата, основанный на сохранении энергии . Кинетическая энергия втекающей жидкости равна , где — зависящий от времени радиус пустоты, а радиальная скорость жидкости там. Работа, совершаемая жидкостью, вдавливающейся на бесконечности, равна , и приравнивание этих двух энергий дает соотношение между и . Затем, отметив, что , разделение переменных дает результат Безанта. Рэлей пошел дальше Безанта, оценив интеграл ( бета-функцию Эйлера ) в терминах гамма-функций . Рэлей адаптировал этот подход к случаю полости, заполненной идеальным газом (пузырьком), включив член для работы, совершаемой при сжатии газа. ${\displaystyle 2\pi \rho U^{2}R^{3}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\partial R/\partial t}$

Для случая совершенно пустой пустоты Рэлей определил, что давление в жидкости на радиусе определяется по формуле: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)}$

Когда пустота составляет не менее четверти своего первоначального объема, то давление монотонно уменьшается от бесконечности до нуля при . По мере дальнейшего сжатия пустоты возникает максимум давления, больший, чем при ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$

${\displaystyle r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}}$

очень быстро растёт и сходится в пустоте.

Впервые это уравнение было применено к движущимся кавитационным пузырькам Милтоном С. Плессетом в 1949 году с учетом эффектов поверхностного натяжения. ^[7]

Вывод

Численное интегрирование уравнения RP, включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально находящийся в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0=50 мкм, пузырек, подвергающийся колебательному давлению на своей собственной частоте, расширяется, а затем схлопывается.

Численное интегрирование уравнения RP, включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально находящийся в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0=50 мкм, пузырек, подвергающийся перепаду давления, расширяется, а затем схлопывается.

Уравнение Рэлея–Плессета можно вывести полностью из первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра. ^[3] Рассмотрим сферический пузырек с зависящим от времени радиусом , где — время. Предположим, что пузырек содержит однородно распределенный пар/газ с однородной температурой и давлением . Снаружи пузырька находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью и динамической вязкостью . Пусть температура и давление вдали от пузырька равны и . Температура предполагается постоянной. На радиальном расстоянии от центра пузырька изменяющимися свойствами жидкости являются давление , температура и радиально направленная наружу скорость . Обратите внимание, что эти свойства жидкости определены только вне пузырька, для . ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{B}(t)}$ ${\displaystyle P_{B}(t)}$ ${\displaystyle \rho _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle T_{\infty }}$ ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ ${\displaystyle T_{\infty }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r,t)}$ ${\displaystyle T(r,t)}$ ${\displaystyle u(r,t)}$ ${\displaystyle r\geq R(t)}$

Сохранение массы

По закону сохранения массы , закон обратных квадратов требует, чтобы радиально направленная наружу скорость была обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька). ^[7] Поэтому, если будет некоторой функцией времени, ${\displaystyle u(r,t)}$ ${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

В случае нулевого переноса массы через поверхность пузырька скорость на границе раздела должна быть

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

что дает это

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

В случае, когда происходит перенос массы и предполагается, что содержимое пузырька имеет постоянную плотность, скорость увеличения массы внутри пузырька определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

где - объем пузырька. Если - скорость жидкости относительно пузырька при , то масса, входящая в пузырек, определяется как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u_{L}}$ ${\displaystyle r=R}$

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

где - площадь поверхности пузыря. Теперь по закону сохранения массы , следовательно , . Отсюда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$ ${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$

Поэтому

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

Во многих случаях плотность жидкости намного больше плотности пара, поэтому ее можно аппроксимировать исходной формой нулевого массопереноса , так что ^[7] ${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$

Сохранение импульса

Предполагая, что жидкость является ньютоновской , несжимаемое уравнение Навье–Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении дает

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Подстановка кинематической вязкости и перестановка дает ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

при этом замена из сохранения массы дает ${\displaystyle u(r,t)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Обратите внимание, что вязкие члены сокращаются во время подстановки. ^[7] Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька дает ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

Граничные условия

Пусть будет нормальным напряжением в жидкости, направленным радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости с постоянной плотностью и постоянной вязкостью, ${\displaystyle \sigma _{rr}}$

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

Поэтому на некотором небольшом участке поверхности пузырька результирующая сила на единицу площади, действующая на пластинку, равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\\end{aligned}}}$

где поверхностное натяжение . ^[7] Если нет переноса массы через границу, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, поэтому ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}}$

и поэтому результат сохранения импульса становится

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

где перестановка и разрешение дают уравнение Рэлея–Плессета ^[7] ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея–Плессета можно более кратко записать как

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

Решения

Совсем недавно были найдены аналитические решения в замкнутой форме для уравнения Рэлея–Плессета как для пустого, так и для заполненного газом пузырька ^[8] и обобщены на N-мерный случай. ^[9] Также были изучены случаи, когда поверхностное натяжение присутствует из-за эффектов капиллярности. ^{[9] [10]}

Кроме того, для особого случая, когда поверхностное натяжение и вязкость не учитываются, также известны аналитические приближения высокого порядка. ^[11]

В статическом случае уравнение Рэлея–Плессета упрощается, приводя к уравнению Юнга–Лапласа :

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}$

Если рассматривать только бесконечно малые периодические изменения радиуса пузырька и давления, уравнение RP также дает выражение для собственной частоты колебания пузырька .

Ссылки

1. Рэлей, Лорд (1917). «О давлении, развиваемом в жидкости при коллапсе сферической полости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 6. 34 (200): 94–98. doi :10.1080/14786440808635681.
2. Плессет, М. С. (1949). «Динамика кавитационных пузырьков». Журнал прикладной механики . 16 (3): 228–231. Bibcode : 1949JAM....16..277P. doi : 10.1115/1.4009975.
3. Leighton, TG (17 апреля 2007 г.). «Вывод уравнения Рэлея–Плессета в терминах объема». Саутгемптон , Великобритания: Институт исследований звука и вибрации. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
4. Lin, Hao; Brian D. Storey; Andrew J. Szeri (2002). «Инерционно-приводимые неоднородности в бурно схлопывающихся пузырьках: справедливость уравнения Рэлея–Плессета». Journal of Fluid Mechanics . 452 (1): 145–162. Bibcode :2002JFM...452..145L. doi :10.1017/S0022112001006693. ISSN  0022-1120. S2CID  17006496. Архивировано из оригинала 2019-06-08 . Получено 2012-05-31 .
5. Лейтон, ТГ (январь 2007 г.). Вывод уравнения Рэлея-Плессета в терминах объема (PDF) . Технический отчет ISVR № 308.
6. Besant, WH (1859). «Статья 158». Трактат о гидростатике и гидродинамике. Deighton, Bell. стр. 170–171.
7. Бреннен, Кристофер Э. (1995). Кавитация и динамика пузырьков . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-509409-1.
8. Кудряшов, Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (18 сентября 2014 г.). "Аналитические решения уравнения Рэлея для пустого и заполненного газом пузыря". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 47 (40): 405202. arXiv : 1409.6699 . Bibcode :2014JPhA...47N5202K. doi :10.1088/1751-8113/47/40/405202. S2CID  118557571.
9. Кудряшов, Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (31 декабря 2014 г.). «Аналитические решения задач динамики пузырьков». Physics Letters A . 379 (8): 798–802. arXiv : 1608.00811 . Bibcode :2016arXiv160800811K. doi :10.1016/j.physleta.2014.12.049. S2CID  119162123.
10. Mancas, SC; Rosu, Haret C. (2016). «Кавитация сферических пузырьков: замкнутая форма, параметрические и численные решения». Physics of Fluids . 28 (2): 022009. arXiv : 1508.01157 . Bibcode : 2016PhFl...28b2009M. doi : 10.1063/1.4942237. S2CID  118607832.
11. Obreschkow, D.; Bruderer M.; Farhat, M. (5 июня 2012 г.). «Аналитические приближения для коллапса пустого сферического пузыря». Physical Review E. 85 ( 6): 066303. arXiv : 1205.4202 . Bibcode : 2012PhRvE..85f6303O. doi : 10.1103/PhysRevE.85.066303. PMID  23005202. S2CID  1160322.