Функция нескольких действительных переменных

В математическом анализе и его приложениях функция нескольких действительных переменных или действительная многомерная функция — это функция с более чем одним аргументом , причем все аргументы являются действительными переменными. Эта концепция расширяет идею функции действительной переменной на несколько переменных. «Входные» переменные принимают действительные значения, в то время как «выход», также называемый «значением функции», может быть действительным или комплексным . Однако изучение комплекснозначных функций можно легко свести к изучению действительнозначных функций , рассматривая действительную и мнимую части комплексной функции; поэтому, если явно не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только действительнозначные функции.

Область определения функции $n$ переменных — это подмножество ⁠ ⁠ , $\mathbb {R} ^{n}$ для которого функция определена. Как обычно, область определения функции нескольких действительных переменных должна содержать непустое открытое подмножество ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ .

Общее определение

Функции

f (x 1, x 2, \dots, x n)

от

n

переменных, построенные в виде графиков в пространстве

R n + 1.

Домены — красные

n

-мерные области, изображения — фиолетовые

n

-мерные кривые.

Действительная функция от n $действительных$ переменных — это функция , которая принимает на вход $n$ действительных чисел , обычно представленных переменными x $1, x 2, \dots, x n$ , для получения другого действительного числа, значения функции, обычно обозначаемого $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ . Для простоты в этой статье действительная функция от нескольких действительных переменных будет просто называться функцией . Чтобы избежать какой-либо двусмысленности, другие типы функций, которые могут возникнуть, будут явно указаны.

Некоторые функции определены для всех действительных значений переменных (говорят, что они определены везде), но некоторые другие функции определены только если значение переменной берется в подмножестве $X$ R $n$ , области определения функции, которая всегда должна содержать открытое подмножество $R$ $n$ . Другими словами, действительная функция от $n действительных переменных$ $—$ это функция

f:X\to \mathbb {R}

такой, что его область $X$ является подмножеством $Rn,$ содержащим непустое открытое множество.

Элемент $X$ является $n$ - кортежем $(x 1, x 2, \dots, x n)$ (обычно разграниченным скобками), общая нотация для обозначения функций будет $f ((x 1, x 2, \dots, x n))$ . Распространенное использование, гораздо более старое, чем общее определение функций между множествами, состоит в том, чтобы не использовать двойные скобки и просто писать $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ .

Также принято сокращать $n$ -кортеж $(x 1, x 2, \dots, x n),$ используя обозначения, похожие на те, что используются для векторов , например, жирный шрифт $x$ , подчеркивание $x$ или стрелка сверху $x \to$ . В этой статье будет использоваться жирный шрифт.

Простым примером функции двух переменных может быть:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

что является объемом $V$ конуса с площадью основания $A$ и высотой $h,$ измеренной перпендикулярно основанию. Область ограничивает все переменные положительными, поскольку длины и площади должны быть положительными.

Пример функции с двумя переменными:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

где $a$ и $b$ — действительные ненулевые константы. Используя трехмерную декартову систему координат , где плоскость xy — это область $R 2$ , а ось z — это область значений $R$ , можно визуализировать изображение как двумерную плоскость с наклоном a в положительном направлении x и наклоном $b в положительном направлении$ $y$ . Функция хорошо определена во всех точках $($ $x$ $,$ $y$ $)$ в $R$ $2$ . Предыдущий пример можно легко расширить до более высоких измерений:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

для $p$ ненулевых действительных констант $a 1, a 2, \dots, a p$ , описывающих $p$ -мерную гиперплоскость .

Евклидова норма :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

также является функцией n переменных, которая определена всюду, в то время как

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

определено только для $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ .

Для нелинейного примера функции от двух переменных:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

которая берет все точки в $X$ , диске радиуса $\sqrt 8 ,$ «проколотом» в начале координат $(x, y) = (0, 0)$ в плоскости $R 2$ , и возвращает точку в $R$ . Функция не включает начало координат $(x, y) = (0, 0)$ , если бы это было так, то $f$ была бы плохо определена в этой точке. Используя трехмерную декартову систему координат с плоскостью xy в качестве области $R 2$ , а осью z в качестве области $R$ , изображение можно визуализировать как криволинейную поверхность.

Функцию можно оценить в точке $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ в $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

Однако функцию нельзя оценить, скажем,

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

поскольку эти значения $x$ и $y$ не удовлетворяют правилу домена.

Изображение

Образ функции $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ — это множество всех значений $f$ , когда $n$ -кортеж $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ выполняется во всей области определения $f . Для непрерывной (см$ . ниже определение) действительной функции, которая имеет связную область определения, образ — это либо интервал , либо одно значение. В последнем случае функция является постоянной функцией .

Прообраз данного действительного числа $c$ называется множеством уровня . Это множество решений уравнения f $($ $x$ $1$ $,$ $x$ 2 $,$ $\dots,$ $x$ $n$ $)$ $=$ $c$ .

Домен

Область определения функции нескольких действительных переменных — это подмножество $R n$ , которое иногда, но не всегда, явно определено. Фактически, если ограничить область определения $X$ функции $f$ подмножеством $Y \subset X$ , то формально получится другая функция — ограничение функции $f$ на $Y$ , которое обозначается . На практике часто (но не всегда) не вредно отождествлять $f$ и , и опускать ограничитель $|$ $Y$ . $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

И наоборот, иногда можно естественным образом расширить область определения данной функции, например, с помощью непрерывности или аналитического продолжения .

Более того, многие функции определены таким образом, что трудно явно указать их область определения. Например, если задана функция $f$ , может быть трудно указать область определения функции Если $f$ является многомерным полиномом , (имеющим в качестве области определения), даже трудно проверить, является ли область определения $g$ также . Это эквивалентно проверке того, всегда ли полином положителен, и является объектом активной области исследований (см. Положительный полином ). $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Алгебраическая структура

Обычные арифметические операции над действительными числами можно распространить на действительные функции нескольких действительных переменных следующим образом:

Для каждого действительного числа $r$ постоянная функция определена всюду. $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$
Для каждого действительного числа $r$ и каждой функции $f$ функция: имеет ту же область определения, что и $f$ (или определена всюду, если $r$ $= 0$ ). $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Если $f$ и $g$ — две функции соответствующих областей $X$ и $Y$ такие, что $X \cap Y$ содержит непустое открытое подмножество $R n$ , то и — функции, имеющие область определения, содержащую $X$ $\cap$ $Y$ . $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Отсюда следует, что функции $n$ переменных, которые определены всюду, и функции $n$ переменных, которые определены в некоторой окрестности данной точки, образуют коммутативные алгебры над действительными числами ( $R$ -алгебры). Это прототипический пример функционального пространства .

Аналогично можно определить

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

которая является функцией только в том случае, если множество точек $(x 1, \dots, x n)$ в области определения $f,$ таких что $f (x 1, \dots, x n) \neq 0,$ содержит открытое подмножество $R n$ . Это ограничение подразумевает, что две вышеуказанные алгебры не являются полями .

Одномерные функции, связанные с многомерной функцией

Можно легко получить функцию от одной действительной переменной, придав постоянное значение всем переменным, кроме одной. Например, если $(a 1, \dots, a n)$ — точка внутренней области определения функции $f$ , мы можем зафиксировать значения $x 2, \dots, x n$ на $a 2, \dots, a n$ соответственно, чтобы получить одновариантную функцию

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

область определения которой содержит интервал с центром в точке $a 1.$ Эту функцию можно также рассматривать как ограничение функции $f$ на линию, определяемую уравнениями $x i = a i$ для $i = 2, \dots, n$ .

Другие одномерные функции могут быть определены путем ограничения $f$ любой прямой, проходящей через $(a 1, \dots, a n)$ . Это функции

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

где $c i$ — действительные числа, не все из которых равны нулю.

В следующем разделе мы покажем, что если функция многих переменных непрерывна, то непрерывны и все эти функции одной переменной, но обратное не обязательно верно.

Непрерывность и предел

До второй половины 19 века математики рассматривали только непрерывные функции . В то время понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологического пространства и непрерывного отображения между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции нескольких действительных переменных повсеместно встречаются в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическими пространствами.

Для определения непрерывности полезно рассмотреть функцию расстояния $R n$ , которая является всюду определенной функцией $2 n$ действительных переменных:

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Функция $f$ непрерывна в точке $a$ $= ($ $a$ $1$ $, \dots,$ $a$ $n$ $)$ , которая находится внутри ее области определения, если для каждого положительного действительного числа ε $существует$ положительное действительное число $φ$ такое, что $|$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $a$ $)| <$ $ε$ для всех $x$ таких, что $d$ $($ $x$ $a$ $) <$ $φ$ . Другими словами, $φ$ может быть выбрано достаточно малым для того, чтобы образ $шара$ радиуса $φ$ с центром в $точке a,$ содержащимся в интервале длины $2$ $ε$ с центром в точке $f$ $($ $a$ $)$ , был непрерывным, если он непрерывен в каждой точке своей области определения.

Если функция непрерывна в точке $f (a)$ , то все одномерные функции, полученные путем фиксации всех переменных $x i ,$ за исключением одной, при значении $a i$ , непрерывны в $точке f (a)$ . Обратное неверно; это означает, что все эти одномерные функции могут быть непрерывными для функции, которая не является непрерывной в точке $f (a)$ . Например, рассмотрим функцию $f$ такую, что $f (0, 0) = 0$ , а в противном случае определяется как

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Функции $x \mapsto f (x, 0)$ и $y \mapsto f (0, y)$ обе постоянны и равны нулю, и поэтому непрерывны. Функция $f$ не является непрерывной в точке $(0, 0)$ , потому что, если $ε < 1/2$ и $y = x 2 \neq 0$ , мы имеем $f (x, y) = 1/2$ , даже если $| x |$ очень мало. Хотя эта функция не является непрерывной, она обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что все одномерные функции, полученные путем ее ограничения линией, проходящей через $(0, 0),$ также непрерывны. Фактически, мы имеем

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

для $λ \neq 0$ .

Предел в точке действительной функции нескольких действительных переменных определяется следующим образом. ^[1] Пусть $a$ $= ($ $a$ $1$ $,$ $a$ $2$ $, \dots,$ $a$ $n$ $)$ — точка в топологическом замыкании области определения $X$ функции $f$ . Функция $f$ имеет предел L $,$ когда $x$ стремится к $a$ , обозначаемый

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

если выполняется следующее условие: для каждого положительного действительного числа $ε > 0$ существует положительное действительное число $δ > 0$ такое, что

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

для всех $x$ в области определения, таких что

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

Если предел существует, то он единственный. Если $a$ находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в точке $a$ . В этом случае мы имеем

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

Когда $a$ находится на границе области определения $f$ , и если $f$ имеет предел в точке $a$ , последняя формула позволяет «расширить по непрерывности» область определения $f$ до $a$ .

Симметрия

Симметричная функция — это функция $f$ , которая остается неизменной при замене двух переменных $x i$ и $x j :$

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

где $i$ и $j$ — каждое из $1, 2, \dots, n$ . Например:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

симметрична относительно $x, y, z,$ поскольку замена любой пары $x, y, z$ оставляет $f$ неизменной, но не симметрична относительно всех $x, y, z, t$ , поскольку замена $t$ на $x$ , $y$ или $z$ дает другую функцию.

Состав функции

Предположим, что функции

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

или более компактно $ξ = ξ (x)$ , все определены в области $X$ . Так как $n$ -кортеж $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ изменяется в $X$ , подмножестве $R n$ , $m$ -кортеж $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ изменяется в другой области $Ξ ,$ подмножестве $R m$ . Перефразируя это:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

Тогда функция $ζ$ функций $ξ (x),$ определенных на $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

является композицией функций, определенной на $X$ , ^[2] другими словами, отображение

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Обратите внимание, что числа $m$ и $n$ не обязательно должны быть равны.

Например, функция

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

определено всюду на $R 2$ можно переписать, введя

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

который также везде определен в $R 3$ для получения

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

Композицию функций можно использовать для упрощения функций, что полезно для вычисления кратных интегралов и решения уравнений в частных производных .

Исчисление

Элементарное исчисление — это исчисление действительных функций одной действительной переменной, и основные идеи дифференцирования и интегрирования таких функций могут быть распространены на функции более чем одной действительной переменной; это расширение — многомерное исчисление .

Частные производные

Частные производные можно определить по каждой переменной:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Частные производные сами по себе являются функциями, каждая из которых представляет скорость изменения $f$ параллельно одной из осей $x 1, x 2, \dots, x n$ во всех точках области определения (если производные существуют и непрерывны — см. также ниже). Первая производная положительна, если функция возрастает вдоль направления соответствующей оси, отрицательна, если она убывает, и равна нулю, если нет ни увеличения, ни убывания. Оценка частной производной в определенной точке области определения дает скорость изменения функции в этой точке в направлении, параллельном определенной оси, — действительное число.

Для действительных функций действительной переменной $y = f (x)$ ее обычная производная $dy / dx$ геометрически является градиентом касательной к кривой $y = f (x)$ во всех точках области. Частные производные распространяют эту идею на касательные гиперплоскости к кривой.

Частные производные второго порядка можно вычислить для каждой пары переменных:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Геометрически они связаны с локальной кривизной изображения функции во всех точках области. В любой точке, где функция хорошо определена, функция может возрастать вдоль некоторых осей и/или убывать вдоль других осей и/или не возрастать или не убывать вообще вдоль других осей.

Это приводит к множеству возможных стационарных точек : глобальные или локальные максимумы , глобальные или локальные минимумы и седловые точки — многомерный аналог точек перегиба для действительных функций одной действительной переменной. Матрица Гессе — это матрица всех частных производных второго порядка, которые используются для исследования стационарных точек функции, важных для математической оптимизации .

В общем случае частные производные высшего порядка $p$ имеют вид:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

где $p 1, p 2, \dots, p n$ — каждое из целых чисел от $0$ до $p,$ таких что $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ , используя определения нулевых частных производных как операторов тождества :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

Число возможных частных производных увеличивается с ростом $p$ , хотя некоторые смешанные частные производные (по отношению к более чем одной переменной) излишни из-за симметрии частных производных второго порядка . Это уменьшает число частных производных для вычисления для некоторых $p$ .

Многомерная дифференцируемость

Функция $f (x)$ дифференцируема в окрестности точки $a,$ если существует набор из $n$ чисел, зависящих от $a$ в общем случае, $A$ $($ $a$ $) = ($ $A$ $1$ $($ $a$ $),$ $A$ $2$ $($ $a$ $)$ $, \dots,$ $A$ $n$ $($ a $))$ , так что: ^[3]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

где как . Это означает, что если $f$ дифференцируема в точке $a$ , то $f$ непрерывна в точке $x$ $=$ $a$ , хотя обратное неверно — непрерывность в области не подразумевает дифференцируемости в области. Если $f$ дифференцируема в $точке a$ , то частные производные первого порядка существуют в точке $a$ и: $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

для $i = 1, 2, \dots, n$ , которые можно найти из определений отдельных частных производных, поэтому частные производные $f$ существуют.

Предполагая $n$ -мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат , эти частные производные можно использовать для формирования векторного линейного дифференциального оператора , называемого градиентом (также известного как « набла » или « дель ») в этой системе координат:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

широко используется в векторном исчислении , поскольку полезен для построения других дифференциальных операторов и компактной формулировки теорем в векторном исчислении.

Тогда замена градиента $\nabla f$ (оцененного при $x = a)$ с небольшой перестановкой дает:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение . $Это$ уравнение представляет собой наилучшее линейное приближение функции $f$ во всех точках $x$ в окрестности $a$ . Для бесконечно малых изменений $f$ и $x$ при x $\to$ $a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

который определяется как полный дифференциал или просто дифференциал f в точке $a$ . Это выражение соответствует полному бесконечно малому изменению $f путем сложения всех бесконечно малых изменений f во всех направлениях x i. Кроме того, df$ $можно$ рассматривать $как$ ковектор $с$ $базисными$ векторами $как$ бесконечно малыми dx i в $каждом$ $направлении$ и частными производными $f$ как компонентами.

Геометрически $\nabla f$ перпендикулярна уровням $f$ , заданным как $f (x) = c$ , что для некоторой константы $c$ описывает $(n - 1)$ -мерную гиперповерхность. Дифференциал константы равен нулю:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

в котором $d x$ представляет собой бесконечно малое изменение $x$ на гиперповерхности $f (x) = c$ , и поскольку скалярное произведение $\nabla f$ и $d x$ равно нулю, это означает, что $\nabla f$ перпендикулярно $d x$ .

В произвольных криволинейных системах координат в $n$ измерениях явное выражение для градиента не было бы таким простым - были бы масштабные коэффициенты в терминах метрического тензора для этой системы координат. Для приведенного выше случая, используемого в этой статье, метрика - это просто дельта Кронекера , а масштабные коэффициенты все равны 1.

Классы дифференцируемости

Если все частные производные первого порядка вычислены в точке $a$ в области:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны для всех $a$ в области, $f$ имеет класс дифференцируемости $C 1.$ В общем случае, если все частные производные порядка $p$ вычислены в точке $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

существуют и непрерывны, где $p 1, p 2, \dots, p n$ и $p$ такие же, как указано выше, для всех $a$ в области определения, то $f$ дифференцируема до порядка $p$ во всей области определения и имеет класс дифференцируемости $C p$ .

Если $f$ имеет класс дифференцируемости $C \infty$ , $f$ имеет непрерывные частные производные всех порядков и называется гладкой . Если $f$ является аналитической функцией и равна своему ряду Тейлора около любой точки в области, обозначение $C ω$ обозначает этот класс дифференцируемости.

Множественная интеграция

Определенное интегрирование можно расширить до многократного интегрирования по нескольким действительным переменным с помощью обозначений;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

где каждая область $R 1, R 2, \dots, R n$ является подмножеством или всей действительной прямой:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

и их декартово произведение дает область для интегрирования как единого множества:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

n -мерный гиперобъем . При вычислении определенный интеграл является действительным числом, если интеграл сходится в области $R$ интегрирования (результат определенного интеграла может расходиться до бесконечности для данной области, в таких случаях интеграл остается плохо определенным). Переменные рассматриваются как «фиктивные» или $«$ связанные» переменные , которые подставляются вместо чисел в процессе интегрирования.

Интеграл действительной функции действительной переменной $y = f (x)$ по $x$ имеет геометрическую интерпретацию как площадь, ограниченная кривой $y = f (x)$ и осью $x$ . Кратные интегралы расширяют размерность этой концепции: предполагая $n$ -мерный аналог прямоугольной декартовой системы координат , указанный выше определенный интеграл имеет геометрическую интерпретацию как $n$ -мерный гиперобъем, ограниченный $f (x)$ и осями $x 1, x 2, \dots, x n$ , которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми в зависимости от интегрируемой функции (если интеграл сходится).

Хотя ограниченный гиперобъем является полезным пониманием, более важная идея определенных интегралов заключается в том, что они представляют полные величины в пространстве. Это имеет значение в прикладной математике и физике: если $f$ — некоторое скалярное поле плотности , а $x$ — координаты вектора положения , т. е. некоторая скалярная величина на единицу n -мерного гиперобъема, то интегрирование по области $R$ дает общую величину величины в $R$ . Более формальные понятия гиперобъема являются предметом теории меры . Выше мы использовали меру Лебега , см. Интегрирование Лебега для получения дополнительной информации по этой теме.

Теоремы

С помощью определений многократного интегрирования и частных производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая фундаментальную теорему исчисления по нескольким действительным переменным (а именно теорему Стокса ), интегрирование по частям по нескольким действительным переменным, симметрию высших частных производных и теорему Тейлора для многомерных функций . Оценку смеси интегралов и частных производных можно выполнить, используя дифференцирование теоремы под знаком интеграла .

Векторные исчисления

Можно собрать ряд функций каждой из нескольких действительных переменных, скажем

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

в $m$ -кортеж или иногда как вектор-столбец или вектор-строку соответственно:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

все рассматриваются на тех же основаниях, что и векторное поле $m$ -компоненты , и используется та форма, которая удобна. Все приведенные выше обозначения имеют общую компактную запись $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . Исчисление таких векторных полей — это векторное исчисление . Для получения дополнительной информации об обработке векторов-строк и векторов-столбцов многомерных функций см. матричное исчисление .

Неявные функции

Действительная неявная функция нескольких действительных переменных не записывается в виде " $y = f (\dots)$ ". Вместо этого отображение происходит из пространства $R n + 1$ в нулевой элемент в $R$ (просто обычный ноль 0):

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

— это уравнение относительно всех переменных. Неявные функции — это более общий способ представления функций, поскольку если:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

то мы всегда можем определить:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

Однако обратное не всегда возможно, т.е. не все неявные функции имеют явный вид.

Например, используя интервальную нотацию , пусть

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

Выбирая 3-мерную (3D) декартову систему координат, эта функция описывает поверхность 3D эллипсоида с центром в начале координат $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ с постоянными большими полуосями $a, b, c$ , вдоль положительных осей x , y и z соответственно. В случае $a = b = c = r$ у нас есть сфера радиуса $r$ с центром в начале координат. Другие примеры конического сечения , которые можно описать аналогичным образом, включают гиперболоид и параболоид , в более общем смысле, так может быть описана любая 2D поверхность в 3D евклидовом пространстве. Приведенный выше пример можно решить относительно $x$ , $y$ или $z$ ; однако гораздо аккуратнее записать его в неявной форме.

Более сложный пример:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

для ненулевых действительных констант $A, B, C, ω$ эта функция хорошо определена для всех $(t, x, y, z)$ , но ее нельзя явно решить для этих переменных и записать в виде « $t =$ », « $x =$ » и т. д.

Теорема о неявной функции более чем двух действительных переменных касается непрерывности и дифференцируемости функции следующим образом. ^[4] Пусть $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ — непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и пусть ϕ, вычисленная в точке $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, an, b),$ равна нулю:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

и пусть первая частная производная $ϕ$ по $y,$ вычисленная в точке $(a, b),$ не равна нулю:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

Тогда существует интервал $[y 1, y 2]$ , содержащий $b$ , и область $R$ , содержащая $(a, b)$ , такие, что для каждого $x$ в $R$ существует ровно одно значение $y$ в $[y 1, y 2],$ удовлетворяющее $ϕ (x, y) = 0$ , и $y$ является непрерывной функцией $x ,$ так что $ϕ (x, y (x)) = 0$ . Полные дифференциалы функций равны:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

Подстановка $dy$ в последний дифференциал и приравнивание коэффициентов дифференциалов дает частные производные первого порядка от $y$ по $x i$ через производные исходной функции, каждая из которых является решением линейного уравнения

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

для $i = 1, 2, \dots, n$ .

Комплекснозначная функция нескольких действительных переменных

Комплекснозначную функцию нескольких действительных переменных можно определить, ослабив в определении действительных функций ограничение области определения действительными числами и допустив комплексные значения.

Если $f (x 1, \dots, x n)$ является такой комплекснозначной функцией, ее можно разложить следующим образом:

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

где $g$ и $h$ — действительные функции. Другими словами, изучение комплексных функций легко сводится к изучению пар действительных функций.

Это сокращение работает для общих свойств. Однако для явно заданной функции, такой как:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

вычисление действительной и мнимой части может оказаться затруднительным.

Приложения

Многомерные функции действительных переменных неизбежно возникают в технике и физике , поскольку наблюдаемые физические величины являются действительными числами (с соответствующими единицами и размерностями ), а любая физическая величина, как правило, зависит от ряда других величин.

Примеры действительных функций нескольких действительных переменных

Примерами в механике сплошной среды являются локальная плотность массы $ρ$ распределения массы, скалярное поле , которое зависит от пространственных координат положения (здесь для примера декартовых), $r = (x, y, z)$ и времени $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

Аналогично обстоит дело с плотностью электрического заряда для электрически заряженных объектов и многочисленных других скалярных потенциальных полей.

Другим примером является поле скорости , векторное поле , которое имеет компоненты скорости $v = (v x, v y, v z)$ , каждая из которых является многомерной функцией пространственных координат и времени аналогично:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

Аналогично и для других физических векторных полей, таких как электрические поля и магнитные поля , а также поля векторного потенциала .

Другим важным примером является уравнение состояния в термодинамике , уравнение, связывающее давление $P$ , температуру $T$ и объем $V$ жидкости, в общем случае оно имеет неявный вид:

f(P,V,T)=0

Простейшим примером является закон идеального газа :

f(P,V,T)=PV-nRT=0

где $n$ — число молей , постоянное для фиксированного количества вещества , а $R —$ газовая постоянная . Намного более сложные уравнения состояния были получены эмпирическим путем, но все они имеют указанную выше неявную форму.

Действительные функции нескольких действительных переменных широко распространены в экономике . В основе теории потребления полезность выражается как функция количества различных потребляемых товаров, причем каждое количество является аргументом функции полезности. Результатом максимизации полезности является набор функций спроса , каждая из которых выражает требуемое количество конкретного товара как функцию цен различных товаров и дохода или богатства. В теории производителя обычно предполагается, что фирма максимизирует прибыль как функцию количества различных произведенных товаров и количества различных используемых факторов производства. Результатом оптимизации является набор функций спроса на различные факторы производства и набор функций предложения для различных продуктов; каждая из этих функций имеет в качестве своих аргументов цены товаров и факторов производства.

Примеры комплекснозначных функций нескольких действительных переменных

Некоторые "физические величины" могут быть на самом деле комплексными - например, комплексное сопротивление , комплексная диэлектрическая проницаемость , комплексная проницаемость и комплексный показатель преломления . Они также являются функциями действительных переменных, таких как частота или время, а также температура.

В двумерной механике жидкости , в частности в теории потенциальных потоков, используемых для описания движения жидкости в 2D, комплексный потенциал

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

является комплекснозначной функцией двух пространственных координат $x$ и $y$ и других действительных переменных, связанных с системой. Действительная часть — это потенциал скорости , а мнимая часть — это функция потока .

Сферические гармоники встречаются в физике и технике как решение уравнения Лапласа , а также как собственные функции оператора z -компоненты углового момента , которые являются комплекснозначными функциями действительных сферических полярных углов :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

В квантовой механике волновая функция обязательно комплекснозначна, но является функцией действительных пространственных координат (или компонент импульса ), а также времени $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

где каждый из них связан преобразованием Фурье .

Смотрите также

Ссылки

^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Т. 2. Библиотека Wiley Classics. С. 46–47. ISBN 0-471-60840-8.
^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Т. 2. Библиотека классических произведений издательства Wiley. С. 70. ISBN 0-471-60840-8.
^ W. Fulks (1978). Расширенный исчисление . John Wiley & Sons. стр. 300–302. ISBN 0-471-02195-4.
^ Р. Курант. Дифференциальное и интегральное исчисление . Т. 2. Библиотека Wiley Classics. С. 117–118. ISBN 0-471-60840-8.

Ф. Айрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление . Серия набросков Шаума (5-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
R. Wrede, MR Spiegel (2010). Расширенный исчисление . Серия набросков Шаума (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
WF Hughes, JA Brighton (1999). Динамика жидкости . Серия набросков Шаума (3-е изд.). McGraw Hill. стр. 160. ISBN 978-0-07-031118-3.
Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-00994-40680.
S. Dineen (2001). Многомерное исчисление и геометрия. Springer Undergraduate Mathematics Series (2-е изд.). Springer. ISBN 185-233-472-X.
Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: Элементарная теория. Springer. ISBN 354-065-340-6.
MA Moskowitz, F. Paliogiannis (2011). Функции нескольких действительных переменных. World Scientific. ISBN 978-981-429-927-5.
W. Fleming (1977). Функции нескольких переменных. Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-902-066.