Последовательность Рекамана

Бесконечная последовательность целых чисел

В математике и информатике последовательность Рекамана ^{[1] [2]} — это хорошо известная последовательность , определяемая рекуррентным соотношением . Поскольку ее элементы связаны с предыдущими элементами простым образом, их часто определяют с помощью рекурсии .

Рисунок первых 75 членов последовательности Рекамана, согласно методу визуализации, показанному в видеоролике Numberphile «Слегка жуткая последовательность Рекамана» ^[3]

Он получил свое название в честь своего изобретателя Бернардо Рекамана Сантоса  [ es ] , колумбийского математика.

Определение

Последовательность Рекамана определяется как: ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\dots }$

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0&&{\text{if }}n=0\\a_{n-1}-n&&{\text{if }}a_{n-1}-n>0{\text{ and is not already in the sequence}}\\a_{n-1}+n&&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Первые члены последовательности:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)

Последовательность Рекамана была названа в честь ее изобретателя, колумбийского математика Бернардо Рекамана Сантоса, Нилом Слоаном , создателем On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) . Запись OEIS для этой последовательности — A005132.

Визуальное представление

График для первых 100 членов последовательности Рекамана. ^[4]

Наиболее распространенной визуализацией последовательности Рекамана является простое нанесение ее значений на график, как на рисунке справа.

14 января 2018 года на канале Numberphile на YouTube было опубликовано видео под названием «Немного жуткая последовательность Рекамана» ^[3], демонстрирующее визуализацию с использованием чередующихся полукругов, как показано на рисунке в верхней части этой страницы.

Звуковое представление

«Последовательность Рекамана»

«Воспроизвести последовательность Рекамана».

Значения последовательности могут быть связаны с музыкальными нотами, в таком случае выполнение последовательности может быть связано с исполнением музыкальной мелодии. ^[5]

Характеристики

Последовательность удовлетворяет: ^[1]

${\displaystyle a_{n}\geq 0}$

${\displaystyle |a_{n}-a_{n-1}|=n}$

Это не перестановка целых чисел: первый повторяющийся член — . ^[6] Другой — . ${\displaystyle 42=a_{24}=a_{20}}$ ${\displaystyle 43=a_{18}=a_{26}}$

Догадка

Нил Слоан предположил, что каждое число в конечном итоге появляется, ^{[7] [8] [9],} но это не было доказано. Несмотря на то, что было вычислено 10 ²³⁰ терминов (в 2018 году), число 852 655 не появилось в списке. ^[1]

Использует

Помимо своих математических и эстетических свойств, последовательность Рекамана может быть использована для защиты двумерных изображений с помощью стеганографии . ^[10]

Альтернативная последовательность

Последовательность является наиболее известной последовательностью, изобретенной Рекаманом. Есть еще одна последовательность, менее известная, определяемая как:

${\displaystyle a_{1}=1}$

${\displaystyle a_{n+1}={\begin{cases}a_{n}/n&&{\text{if }}n{\text{ divides }}a_{n}\\na_{n}&&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Эта запись OEIS — A008336.

Ссылки

1. "A005132 - Oeis".
2. «Последовательность Рекамана».
3. Немного жуткая последовательность Рекамана, видео Numberphile.
4. R.Ugalde, Laurence. "Recamán sequence in Fōrmulæ programming language". Fōrmulæ . Получено 26 июля 2021 г. .
5. «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей® (OEIS®)».
6. Математика менее путешествовала
7. "A057167 - Оеис".
8. "A064227 - Оеис".
9. "A064228 - Оеис".
10. S. Farrag и W. Alexan, «Безопасная стеганография 2D-изображений с использованием последовательности Рекамана», Международная конференция по передовым коммуникационным технологиям и сетям (CommNet) 2019 г., Рабат, Марокко, 2019 г., стр. 1–6. doi: 10.1109/COMMNET.2019.8742368

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A005132 (последовательность Рекамана)
• Немного жутковатая последовательность Рекамана. (14 июня 2018 г.) Numberphile на YouTube
• Последовательность Рекамана в Розеттском коде