Регрессивный дискретный ряд Фурье

В прикладной математике регрессивный дискретный ряд Фурье (RDFS) является обобщением дискретного преобразования Фурье , где коэффициенты ряда Фурье вычисляются в смысле наименьших квадратов , а период является произвольным, т. е. не обязательно равным длине данных. Впервые он был предложен Аррудой (1992a, 1992b). Его можно использовать для сглаживания данных в одном или нескольких измерениях и для вычисления производных от сглаженной кривой, поверхности или гиперповерхности .

Техника

Одномерный регрессивный дискретный ряд Фурье

Одномерный RDFS, предложенный Аррудой (1992a), можно сформулировать очень простым способом. Имея выборочный вектор данных ( сигнал ) , можно записать алгебраическое выражение: ${\displaystyle x_{n}=x(t_{n})}$

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=-q}^{q}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}}+\varepsilon _{n},t_{n}{\text{ arbitrary }},\quad n=1,\dots ,N.\,}$

Обычно , но это не обязательно. ${\displaystyle t_{n}=n\,\Delta t}$

Приведенное выше уравнение можно записать в матричной форме как

${\displaystyle WX=x+\varepsilon .\,}$

Решение приведенной выше линейной системы уравнений методом наименьших квадратов можно записать в виде:

${\displaystyle {\hat {X}}=(W^{H}W)^{-1}W^{H}x\,}$

где — сопряженное транспонирование , а сглаженный сигнал получается из: ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\hat {x}}=W{\hat {X}}\,}$

Первую производную сглаженного сигнала можно получить из: ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t_{n})=\sum _{k=-q}^{q}{\frac {-i2\pi k}{T}}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}},\quad n=1,\dots ,N.\,}$

Двумерный регрессивный дискретный ряд Фурье (RDFS)

Двумерный или двумерный RDFS, предложенный Аррудой (1992b), также может быть сформулирован простым способом. Здесь для простоты будет рассмотрен случай равномерно распределенных данных. Общие случаи неравномерно распределенных и произвольных сеток приведены в ссылке (Арруда, 1992b). При наличии выборочной матрицы данных (двумерного сигнала ) можно записать алгебраическое выражение: ${\displaystyle x_{mn}=x(\xi _{m},\nu _{n}),m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N;}$

${\displaystyle x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi k\xi _{m}}{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi l\nu _{n}}{L_{\nu }}}+\varepsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,}$

Вышеуказанное уравнение можно записать в матричной форме для прямоугольной сетки. Для случая равномерно распределенной выборки: имеем: ${\displaystyle \xi _{m}=m\Delta \xi ,\nu _{n}=n\Delta \nu \,}$

${\displaystyle x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi km\Delta \xi }{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi ln\Delta \nu }{L_{\nu }}}+\epsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,}$

Решение методом наименьших квадратов можно представить следующим образом:

${\displaystyle {\hat {X}}=(W_{L_{\xi }}^{H}W_{L_{\xi }})^{-1}W_{L_{\xi }}^{H}xW_{L_{\nu }}^{*}(W_{L_{\nu }}W_{L_{\nu }}^{H})^{-1}\,}$

а сглаженная двумерная поверхность определяется выражением:

${\displaystyle {\hat {x}}=W_{L_{\xi }}{\hat {X}}W_{L_{\nu }}^{t}\,}$

где — сопряженная функция, а — транспонированная функция . ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle X^{t}}$ ${\displaystyle X}$

Дифференциацию по можно легко реализовать аналогично одномерному случаю (Arruda, 1992b). ${\displaystyle \xi {\text{ and }}\nu }$

Текущие приложения

• Пространственно-плотные приложения конденсации данных : Arruda, JRF [1993] применили RDFS для конденсации пространственно-плотных пространственных измерений, выполненных с помощью лазерного доплеровского виброметра, перед применением методов оценки параметров модального анализа . Совсем недавно Vanherzeele et al. (2006, 2008a) предложили обобщенную и оптимизированную RDFS для того же вида приложений. Обзор обработки оптических измерений с использованием RDFS был опубликован Vanherzeele et al. (2009).
• Применение пространственных производных : Батиста и др. [2009] применили RDFS для получения пространственных производных двумерных измеренных данных вибрации с целью определения свойств материала из поперечных мод прямоугольных пластин.
• Приложения SHM : Ванхерзеле и др. [2009] применили обобщенную версию RDFS для реконструкции томографии .

Программное обеспечение

Недавно был разработан пакет, включающий одномерную и двумерную RDFS, чтобы упростить ее использование в свободном программном обеспечении с открытым исходным кодом R:

• Пакет AR для RDFS на Github

Смотрите также

• Дискретное преобразование Фурье
• ряд Фурье

Ссылки

• Арруда, Дж. Р. Ф., 1992а: Анализ неравномерно распределенных данных с использованием регрессивного дискретного ряда Фурье. Журнал звука и вибрации, 156(3), 571–574.
• Арруда, Дж. Р. Ф., 1992b: Сглаживание поверхности и частные пространственные производные с использованием регрессивного дискретного ряда Фурье. Механические системы и обработка сигналов, 6(1), 41–50.
• Арруда, Дж. Р. Ф., 1993: Пространственный доменный модальный анализ слабодемпфированных структур с использованием лазерных велосиметров. Журнал вибрации и акустики, 115, 225–231.
• Батиста, Ф. Б., Альбукерке, Э. Л., Арруда, Дж. Р. Ф., Диас-младший, М., 2009: Определение жесткости изгиба симметричных ламинатов с использованием регрессивных дискретных рядов Фурье и конечных разностей. Журнал звука и вибрации, 320, 793–807.
• Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: Сокращение данных с использованием обобщенного регрессивного дискретного ряда Фурье, Журнал звука и вибрации, 298, 1–11.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008a: Сокращение пространственных данных с использованием оптимизированного регрессивного дискретного ряда Фурье, Journal of Sound and Vibration, 309, 858–867.
• Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: Томографическая реконструкция с использованием обобщенного регрессивного дискретного ряда Фурье, Механические системы и обработка сигналов, 22, 1237–1247.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: Обработка оптических измерений с использованием регрессивного дискретного ряда Фурье, Оптика и лазеры в машиностроении, 47, 461–472.