В математике регулярная карта — это симметричная мозаика замкнутой поверхности . Точнее, регулярная карта — это разложение двумерного многообразия (такого как сфера , тор или действительная проективная плоскость ) на топологические диски, при этом каждый флаг (тройка инцидентных вершин-ребро-грань) может быть преобразован в любой другой флаг симметрией разложения . Регулярные карты являются, в некотором смысле, топологическими обобщениями Платоновых тел . Теория карт и их классификация связаны с теорией римановых поверхностей , гиперболической геометрией и теорией Галуа . Регулярные карты классифицируются в соответствии с: родом и ориентируемостью опорной поверхности, базовым графом или группой автоморфизмов .
Регулярные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, теоретико-групповым и теоретико-графовым.
Топологически отображение представляет собой 2-клеточное разложение компактного связного 2-многообразия. [1]
Род g, карты M задается соотношением Эйлера , которое равно , если карта ориентируема, и , если карта неориентируема. Важным фактом является то, что для каждого ориентируемого рода, за исключением тора, существует конечное (ненулевое) число регулярных карт.
С точки зрения теории групп, представление перестановки регулярной карты M является транзитивной группой перестановок C на множестве флагов , порожденной тремя свободными инволюциями с неподвижной точкой r 0 , r 1 , r 2 , удовлетворяющими (r r 2 ) 2 = I. В этом определении грани являются орбитами F = < r 0 , r 1 >, ребра являются орбитами E = < r 0 , r 2 >, а вершины являются орбитами V = < r 1 , r 2 >. Более абстрактно, группа автоморфизмов любой регулярной карты является невырожденным гомоморфным образом <2,m,n> -треугольной группы .
С точки зрения теории графов, карта представляет собой кубический граф с ребрами, окрашенными в синий, желтый и красный цвета, такой что: является связным, каждая вершина инцидентна одному ребру каждого цвета, а циклы ребер, не окрашенных в желтый цвет, имеют длину 4. Обратите внимание, что является графом флагов или графо-кодированной картой (GEM) карты, определенной на вершинном наборе флагов , и не является скелетом G = (V,E) карты. В общем случае, | | = 4|E|.
Отображение M является регулярным, если Aut(M) действует регулярно на флагах. Aut( M ) регулярного отображения транзитивно на вершинах, ребрах и гранях M . Отображение M называется рефлексивным тогда и только тогда, когда Aut( M ) является регулярным и содержит автоморфизм , который фиксирует как вершину v , так и грань f , но меняет порядок ребер на противоположный. Отображение, которое является регулярным, но не рефлексивным, называется хиральным .
Ниже приведен полный список регулярных отображений на поверхностях положительной эйлеровой характеристики χ: сфера и проективная плоскость. [2]
На изображениях ниже показаны три из 20 регулярных карт в тройном торе , помеченные их типами Шлефли.
Регулярные карты существуют как тороидальные многогранники как конечные части евклидовых мозаик, обернутые на поверхность дуоцилиндра как плоский тор . Они помечены {4,4} b , c для тех, которые связаны с квадратной мозаикой {4,4}. [4] {3,6} b , c связаны с треугольной мозаикой {3,6}, и {6,3} b , c связаны с шестиугольной мозаикой {6,3}. b и c являются целыми числами . [5] Существует 2 особых случая ( b ,0) и ( b , b ) с отражательной симметрией, в то время как общие случаи существуют в хиральных парах ( b , c ) и ( c , b ).
Регулярные карты вида {4,4} m ,0 можно представить как конечный правильный косой многогранник {4,4 | m }, рассматриваемый как квадратные грани дуопризмы m × m в 4-мерном пространстве.
Вот пример {4,4} 8,0, отображенный из плоскости как шахматная доска в цилиндрическое сечение тора. Проекция из цилиндра на тор искажает геометрию в 3-х измерениях, но может быть выполнена без искажения в 4-х измерениях.
В общем случае в правильных тороидальных многогранниках { p , q } b , c могут быть определены, если p или q четные, хотя только евклидовы из перечисленных выше могут существовать как тороидальные многогранники в 4-мерном пространстве. В {2 p , q } пути ( b , c ) могут быть определены как ступенчатые грань-ребро-грань по прямым линиям, в то время как двойственные формы { p ,2 q } будут видеть пути ( b , c ) как ступенчатые вершина-ребро-вершина по прямым линиям.
