Уравнение рендеринга

Интегральное уравнение

Уравнение рендеринга описывает общее количество света, излучаемого из точки x вдоль определенного направления просмотра, с учетом функции входящего света и BRDF .

В компьютерной графике уравнение рендеринга представляет собой интегральное уравнение , в котором равновесное излучение, выходящее из точки, определяется как сумма излучаемого и отраженного излучения в приближении геометрической оптики . Одновременно он был введен в компьютерную графику Дэвидом Иммелем и др. ^[1] и Джеймс Каджия ^[2] в 1986 году. Различные методы реалистичного рендеринга в компьютерной графике пытаются решить это уравнение.

Физической основой уравнения рендеринга является закон сохранения энергии . Предполагая, что L обозначает яркость , мы получаем, что в каждом конкретном положении и направлении исходящий свет (L _o ) представляет собой сумму излучаемого света (L _e ) и отраженного света (L _r ). Сам отраженный свет представляет собой сумму падающего света со всех направлений (L _i ), умноженную на поверхностное отражение и косинус угла падения.

Форма уравнения

Уравнение рендеринга можно записать в виде

${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)+L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$

${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=\int _{\Omega }f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)(\omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$

где

• ${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$это общая спектральная яркость длины волны , направленная наружу вдоль направления в момент времени из определенной позиции ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \mathbf {x} }$это место в космосе
• ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$это направление исходящего света
• ${\displaystyle \lambda }$это определенная длина волны света
• ${\displaystyle t}$пора
• ${\displaystyle L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$излучается спектральное излучение
• ${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$отраженное спектральное излучение
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\dots \operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$является интегралом по ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Omega }$- это единичное полушарие с центром, содержащее все возможные значения, где ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} >0}$
• ${\displaystyle f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$— это функция распределения двунаправленной отражательной способности , доля света, отраженного от и до в определенном положении , времени и на длине волны. ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$это отрицательное направление падающего света
• ${\displaystyle L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)}$- это спектральная яркость длины волны , идущая внутрь от направления во времени ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {n} }$нормальна ли поверхность при ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} }$— коэффициент ослабления внешнего излучения из-за угла падения , поскольку световой поток размазывается по поверхности, площадь которой больше площади проекции, перпендикулярной лучу. Это часто пишется как . ${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Двумя примечательными особенностями являются: его линейность — он состоит только из умножений и сложений и его пространственная однородность — он одинаков во всех положениях и ориентациях. Это означает, что возможен широкий диапазон факторингов и перестановок уравнения. Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода, подобное тем, которые возникают в квантовой теории поля . ^[3]

Обратите внимание на спектральную и временную зависимость этого уравнения : его можно отбирать или интегрировать по участкам видимого спектра , чтобы получить, например, трехцветный образец цвета. Значение пикселя для одного кадра анимации может быть получено путем фиксации размытия в движении , которое может быть получено путем усреднения по некоторому заданному интервалу времени (путем интегрирования по временному интервалу и деления на длину интервала). ^[4] ${\displaystyle L_{\text{o}}}$ ${\displaystyle t;}$ ${\displaystyle L_{\text{o}}}$

Обратите внимание, что решением уравнения рендеринга является функция . Функция связана с операцией трассировки лучей: входящее излучение с некоторого направления в одной точке является исходящим излучением в какой-то другой точке в противоположном направлении. ${\displaystyle L_{\text{o}}}$ ${\displaystyle L_{\text{i}}}$ ${\displaystyle L_{\text{o}}}$

Приложения

Решение уравнения рендеринга для любой сцены является основной задачей реалистичного рендеринга . Один из подходов к решению уравнения основан на методах конечных элементов , что приводит к алгоритму радиационности . Другой подход с использованием методов Монте-Карло привел к созданию множества различных алгоритмов, включая, среди прочего, отслеживание пути , картирование фотонов и перенос света в Метрополисе .

Ограничения

Хотя уравнение является очень общим, оно не охватывает все аспекты отражения света. Некоторые недостающие аспекты включают следующее:

• Передача , которая происходит, когда свет проходит через поверхность, например, когда он попадает на стеклянный предмет или на поверхность воды .
• Подповерхностное рассеяние , при котором пространственные положения входящего и исходящего света различны. Поверхности, визуализированные без учета подповерхностного рассеяния, могут выглядеть неестественно непрозрачными — однако нет необходимости учитывать это, если в уравнение включено пропускание, поскольку оно фактически будет включать также свет, рассеянный под поверхностью.
• Поляризация , при которой разные поляризации света иногда имеют разное распределение отражения, например, когда свет отражается от поверхности воды.
• Фосфоресценция , которая возникает, когда свет или другое электромагнитное излучение поглощается в один момент и испускается в более поздний момент, обычно с большей длиной волны (если поглощенное электромагнитное излучение не очень интенсивное),
• Интерференция , где проявляются волновые свойства света,
• Флуоресценция , при которой поглощаемый и излучаемый свет имеют разные длины волн .
• Нелинейные эффекты, при которых очень интенсивный свет может повысить энергетический уровень электрона с большей энергией, чем у одного фотона (это может произойти , если в электрон одновременно попадают два фотона), а также излучение света с более высокой энергией. частота, чем частота света, попадающего на поверхность, внезапно становится возможной, и
• Эффект Доплера , при котором свет, отражающийся от объекта, движущегося с очень высокой скоростью, меняет длину волны: если свет отражается от объекта, движущегося к нему, свет будет сдвинут в синий цвет , и фотоны будут упакованы более плотно, поэтому поток фотонов увеличится; если он отскочит от удаляющегося от него объекта, он сместится в красную сторону , и поток фотонов уменьшится. Этот эффект становится заметен только на скоростях, сравнимых со скоростью света , чего нельзя сказать о большинстве приложений рендеринга.

Для сцен, которые либо не состоят из простых поверхностей в вакууме, либо для которых время распространения света является важным фактором, исследователи обобщили уравнение рендеринга, чтобы получить уравнение объемного рендеринга ^[5] , подходящее для объемного рендеринга , и уравнение переходного рендеринга. ^[6] для использования с данными времяпролетной камеры .

Рекомендации

1. Иммель, Дэвид С.; Коэн, Майкл Ф.; Гринберг, Дональд П. (1986). «Метод излучательности для недиффузной среды» (PDF) . У Дэвида К. Эванса; Рассел Дж. Атай (ред.). СИГГРАФ '86 . Материалы 13-й ежегодной конференции «Компьютерная графика и интерактивные технологии». стр. 133–142. дои : 10.1145/15922.15901. ISBN  978-0-89791-196-2. S2CID  7384510.
2. Каджия, Джеймс Т. (1986). «Уравнение рендеринга» (PDF) . У Дэвида К. Эванса; Рассел Дж. Атай (ред.). СИГГРАФ '86 . Материалы 13-й ежегодной конференции «Компьютерная графика и интерактивные технологии». стр. 143–150. дои : 10.1145/15922.15902. ISBN  978-0-89791-196-2. S2CID  9226468.
3. Ватт, Алан; Ватт, Марк (1992). «12.2.1 Решение уравнения рендеринга для трассировки пути». Продвинутые методы анимации и рендеринга: теория и практика . Аддисон-Уэсли Профессионал. п. 293. ИСБН 978-0-201-54412-1.
4. Оуэн, Скотт (5 сентября 1999 г.). «Рефлексия: теория и математическая формулировка» . Проверено 22 июня 2008 г.
5. Каджия, Джеймс Т.; Фон Герцен, Брайан П. (1984), «Объемные плотности трассировки лучей», ACM SIGGRAPH Computer Graphics , 18 (3): 165–174, CiteSeerX 10.1.1.128.3394 , doi : 10.1145/964965.808594 
6. Смит, Адам М.; Скорупски, Джеймс; Дэвис, Джеймс (2008). Переходный рендеринг (PDF) (Технический отчет). Калифорнийский университет в Санта-Крус. UCSC-SOE-08-26.

Внешние ссылки

• Конспекты лекций из курса CS 348B Стэнфордского университета « Компьютерная графика: методы синтеза изображений»