Риманова геометрия

Раздел дифференциальной геометрии

Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , изучающий римановы многообразия , определяемые как гладкие многообразия с римановой метрикой ( внутренним произведением на касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке). Это дает, в частности, локальные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно вывести некоторые другие глобальные величины путем интегрирования локальных вкладов.

Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). ^[1] Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R3 . Развитие римановой геометрии привело к синтезу разнообразных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них , с методами, которые могут быть применены к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать общую теорию относительности Эйнштейна , оказало глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также на анализ и стимулировало развитие алгебраической и дифференциальной топологии .

Введение

Бернхард Риман

Риманова геометрия была впервые предложена в общем виде Бернхардом Риманом в 19 веке. Она имеет дело с широким спектром геометрий, метрические свойства которых меняются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии .

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику , которая часто помогает решать проблемы дифференциальной топологии . Она также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий , которые (в четырех измерениях) являются основными объектами общей теории относительности . Другие обобщения римановой геометрии включают финслерову геометрию .

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Дислокации и дисклинации производят кручения и кривизну. ^{[2] [3]}

В следующих статьях представлен полезный вводный материал:

• Метрический тензор
• риманово многообразие
• Связь Леви-Чивита
• Кривизна
• Тензор кривизны Римана
• Список тем по дифференциальной геометрии
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Классические теоремы

Далее следует неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от их важности и элегантности формулировки. Большинство результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. ниже).

Формулировки, приведенные здесь, далеки от точных или самых общих. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет узнать, о чем эти определения.

Общие теоремы

1. Теорема Гаусса–Бонне. Интеграл гауссовой кривизны на компактном двумерном римановом многообразии равен 2πχ( M ), где χ( M ) обозначает эйлерову характеристику M.Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенную теорему Гаусса–Бонне .
2. Теоремы вложения Нэша . Они утверждают, что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в евклидово пространство R ⁿ .

Геометрия в большом масштабе

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения о кривизне), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая либо некоторую информацию о топологическом типе многообразия, либо о поведении точек на «достаточно больших» расстояниях.

Ущипнулкривизна сечения

1. Теорема о сфере . Если M — односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго зажатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
2. Теорема конечности Чигера. При заданных константах C , D и V существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной | K | ≤ C , диаметром ≤ D и объемом ≥ V.
3. Почти плоские многообразия Громова . Существует ε _n > 0 такое, что если n -мерное риманово многообразие имеет метрику с секционной кривизной | K | ≤ ε _n и диаметром ≤ 1, то его конечное покрытие диффеоморфно нуль-многообразию .

Секционная кривизна ограничена снизу

1. Теорема Чигера–Громолла о душе . Если M — некомпактное полное неотрицательно искривленное n -мерное риманово многообразие, то M содержит компактное, вполне геодезическое подмногообразие S, такое что M диффеоморфно нормальному расслоению S (S называется душой M). В частности, если M имеет строго положительную кривизну всюду , то оно диффеоморфно R n . В 1994 году ^Г. Перельман дал удивительно элегантное/короткое доказательство гипотезы о душе: M диффеоморфно R ^{n ,} если оно имеет положительную кривизну только в одной точке.
2. Теорема Громова о числах Бетти. Существует константа C = C ( n ) такая, что если M — компактное связное n -мерное риманово многообразие с положительной секционной кривизной, то сумма его чисел Бетти не превосходит C .
3. Теорема конечности Гроува–Петерсена. При заданных константах C , D и V существует лишь конечное число гомотопических типов компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной K ≥ C , диаметром ≤ D и объемом ≥ V.

Секционная кривизна ограничена сверху

1. Теорема Картана –Адамара утверждает, что полное односвязное риманово многообразие M с неположительной секционной кривизной диффеоморфно евклидову пространству R ⁿ с n = dim M посредством экспоненциального отображения в любой точке. Из нее следует, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия с неположительной секционной кривизной соединены единственной геодезической.
2. Геодезический поток любого компактного риманова многообразия с отрицательной секционной кривизной является эргодическим .
3. Если M — полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k , то оно является пространством CAT( k ) . Следовательно, его фундаментальная группа Γ =  π ₁ ( M ) является гиперболической по Громову . Это имеет много последствий для структуры фундаментальной группы:

• он конечно представлен ;
• проблема со словами для Γ имеет положительное решение;
• группа Γ имеет конечную виртуальную когомологическую размерность ;
• он содержит только конечное число классов сопряженности элементов конечного порядка ;
• абелевы подгруппы группы Γ виртуально цикличны , так что она не содержит подгруппы, изоморфной Z × Z.

Кривизна Риччи ограничена снизу

1. Теорема Майерса . Если полное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
2. Формула Бохнера . Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превышает n , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
3. Теорема о расщеплении . Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. е. геодезическую, которая минимизирует расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению действительной линии и полного ( n -1)-мерного риманова многообразия, имеющего неотрицательную кривизну Риччи.
4. Неравенство Бишопа–Громова . Объем метрического шара радиуса r в полном n -мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи имеет объем, не превышающий объем шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
5. Теорема Громова о компактности . Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром не более D является предкомпактным в метрике Громова-Хаусдорфа .

Отрицательная кривизна Риччи

1. Группа изометрий компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной Риччи дискретна .
2. Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. ^[4] ( Это неверно для поверхностей .)

Положительная скалярная кривизна

1. N -мерный тор не допускает метрики с положительной скалярной кривизной.
2. Если радиус инъективности компактного n -мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превышает n ( n -1).

Смотрите также

• Форма вселенной
• Введение в математику общей теории относительности
• Нормальные координаты
• Систолическая геометрия
• Геометрия Римана–Картана в теории Эйнштейна–Картана (мотивация)
• Минимальная поверхность Римана
• формула Рейли

Примечания

1. математика.tcd.ie
2. Кляйнерт, Хаген (1989), Калибровочные поля в конденсированных средах, том II, World Scientific, стр. 743–1440
3. Кляйнерт, Хаген (2008), Многозначные поля в конденсированных средах, электромагнетизме и гравитации (PDF) , World Scientific, стр. 1–496, Bibcode : 2008mfcm.book.....K
4. Иоахим Лохкамп показал (Annals of Mathematics, 1994), что любое многообразие размерности больше двух допускает метрику отрицательной кривизны Риччи.

Ссылки

Книги

• Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века , университетская серия лекций, т. 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2052-4. (Предоставляет исторический обзор и исследование, включая сотни ссылок.)
• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing; Переработанное переиздание оригинала 1975 года.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия , Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag.
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Цзи, Атанас Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 стр. ISBN 978-3-319-60039-0 

Статьи

• Брендл, Саймон ; Шен, Ричард М. (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленными на 1/4 кривизнами», Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B, doi : 10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID  15463483

Внешние ссылки

• Риманова геометрия В. А. Топоногова в Энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. , «Риманова геометрия», MathWorld