Риманова геометрия

Отделение дифференциальной геометрии

Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , изучающий римановы многообразия , определяемые как гладкие многообразия с римановой метрикой ( скалярным произведением в касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке). Это дает, в частности, локальные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.

Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). ^[1] Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R 3 . Развитие римановой геометрии привело к синтезу разнообразных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые можно применить к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать общую теорию относительности Эйнштейна , оказало глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также анализ и стимулировало развитие алгебраической и дифференциальной топологии .

Введение

Бернхард Риман

Риманова геометрия была впервые выдвинута в общих чертах Бернхардом Риманом в 19 веке. Он имеет дело с широким диапазоном геометрий, метрические свойства которых изменяются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии .

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику , которая часто помогает решать задачи дифференциальной топологии . Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий , которые (в четырёх измерениях) являются основными объектами теории общей относительности . Другие обобщения римановой геометрии включают геометрию Финслера .

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Дислокации и дисклинации вызывают кручение и искривление. ^{[2] [3]}

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

• Метрический тензор
• Риманово многообразие
• Связь Леви-Чивита
• Кривизна
• Тензор кривизны Римана
• Список тем дифференциальной геометрии
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Классические теоремы

Далее следует неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большую часть результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. ниже).

Приведенные формулировки далеко не являются ни очень точными, ни наиболее общими. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы

1. Теорема Гаусса–Бонне Интеграл от кривизны Гаусса на компактном двумерном римановом многообразии равен 2πχ( M ), где χ( M ) обозначает эйлерову характеристику M. Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенную теорему Гаусса-Бонне .
2. Теоремы Нэша вложения . Они утверждают, что каждое ^{риманово} многообразие может быть изометрически вложено в евклидово пространство Rn .

Геометрия в целом

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая некоторую информацию о топологическом типе многообразия или о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.

Сжатая кривизна сечения

1. Теорема о сфере . Если M — односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго зажатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
2. Теорема Чигера о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной | К | ≤ C , диаметр ≤ D и объем ≥ V.
3. Почти плоские многообразия Громова . Существует ε _n > 0 такое, что если n -мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны | К | ⩽ εn _и диаметр ⩽ 1, то его конечное накрытие диффеоморфно ниль- многообразию .

Секционная кривизна, ограниченная снизу

1. Теорема Чигера-Громолла о душе . Если M — некомпактное полное n -мерное риманово многообразие неотрицательной кривизны, то M содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S такое, что M диффеоморфно нормальному расслоению S ( S называется душой M ) . в частности, если M всюду ^имеет строго положительную кривизну, то оно диффеоморфно Rn . Г. Перельман в 1994 году дал удивительно элегантное и краткое доказательство гипотезы души: M диффеоморфно R ⁿ , если оно имеет положительную кривизну только в одной точке.
2. Теорема Громова о числах Бетти. Существует константа C = C ( n ) такая, что если M — компактное связное n -мерное риманово многообразие с положительной секционной кривизной, то сумма его чисел Бетти не превосходит C.
3. Теорема Гроува – Петерсена о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует только конечное число гомотопических типов компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной K ≥ C , диаметром ≤ D и объемом ≥ V.

Секционная кривизна, ограниченная сверху

1. Теорема Картана–Адамара утверждает, что полное односвязное риманово многообразие M с неположительной секционной кривизной диффеоморфно евклидову пространству R ⁿ с n = dim M посредством экспоненциального отображения в любой точке. Это означает, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны соединены единственной геодезической.
2. Геодезический поток любого компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны эргодичен .
3. Если M — полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k , то это пространство CAT( k ) . Следовательно, ее фундаментальная группа Γ =  π ₁ ( M ) является гиперболической по Громову . Это имеет множество последствий для структуры фундаментальной группы:

• оно конечно представлено ;
• проблема слов для Γ имеет положительное решение;
• группа Γ имеет конечную виртуальную когомологическую размерность ;
• он содержит лишь конечное число классов сопряженности элементов конечного порядка ;
• абелевы подгруппы группы Γ практически цикличны , так что она не содержит подгруппы, изоморфной Z × Z.

Кривизна Риччи ограничена снизу

1. Теорема Майерса . Если полное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
2. Формула Бохнера . Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит n , причем равенство тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
3. Теорема о расщеплении . Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. е. геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной линии и полного ( n -1)-мерного риманова многообразия. многообразие, имеющее неотрицательную кривизну Риччи.
4. Неравенство Бишопа–Громова . Объем метрического шара радиуса r в полном n -мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи не превосходит объема шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
5. Теорема Громова о компактности . Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром не более D предкомпактно в метрике Громова-Хаусдорфа .

Отрицательная кривизна Риччи

1. Группа изометрий компактного риманова многообразия отрицательной кривизны Риччи дискретна .
2. Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. ^[4] ( Это не относится к поверхностям .)

Положительная скалярная кривизна

1. n -мерный тор не допускает метрики положительной скалярной кривизны.
2. Если радиус инъективности компактного n -мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит n ( n -1).

Смотрите также

• Форма Вселенной
• Введение в математику общей теории относительности
• Нормальные координаты
• Систолическая геометрия
• Геометрия Римана–Картана в теории Эйнштейна–Картана (мотивация)
• Минимальная поверхность Римана
• Формула Рейли

Примечания

1. maths.tcd.ie
2. Кляйнерт, Хаген (1989). «Калибровочные поля в конденсированном состоянии, том II»: 743–1440. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
3. Кляйнерт, Хаген (2008). Многозначные поля в конденсированном состоянии, электромагнетизме и гравитации (PDF) . стр. 1–496. Бибкод : 2008mfcm.book.....К.
4. Иоахим Локамп показал (Анналы математики, 1994), что любое многообразие размерности больше двух допускает метрику отрицательной кривизны Риччи.

Рекомендации

Книги

• Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века , Серия университетских лекций, том. 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-2052-4. (Содержит исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing; Переработанное переиздание оригинала 1975 года.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия , Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag.
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Цзи, Атанасе Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 стр. ISBN 978-3-319-60039-0 

Статьи

• Брендл, Саймон ; Шон, Ричард М. (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной 1/4», Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B, doi : 10.1007/s11511-008- 0022-7, S2CID  15463483

Внешние ссылки

• Риманова геометрия В. А. Топоногова в Математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Риманова геометрия». Математический мир .