потенциал Рисса

В математике потенциал Рисса — это потенциал, названный в честь его первооткрывателя, венгерского математика Марселя Рисса . В некотором смысле потенциал Рисса определяет обратный для степени оператора Лапласа в евклидовом пространстве. Они обобщают на несколько переменных интегралы Римана–Лиувилля одной переменной.

Определение

Если 0 <  α  <  n , то потенциал Рисса I _α f локально интегрируемой функции f на R n ^— это функция, определяемая соотношением

где константа определяется как

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}$

Этот сингулярный интеграл хорошо определен при условии, что f достаточно быстро убывает на бесконечности, в частности, если f  ∈  L ^p ( R ⁿ ) с 1 ≤  p  <  n / α . Фактически, для любого 1 ≤  p ( p >1 является классическим, согласно Соболеву, тогда как для p =1 см. (Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2014), скорость убывания f и скорость убывания I _α f связаны в форме неравенства ( неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева )

${\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},}$

где — векторное преобразование Рисса . В более общем случае операторы I _α хорошо определены для комплексных α, таких что 0 < Re α < n . ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$

Потенциал Рисса можно определить более обобщенно в слабом смысле как свертку

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

где K _α — локально интегрируемая функция:

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}$

Потенциал Рисса, таким образом, может быть определен всякий раз, когда f является распределением с компактным носителем. В этой связи потенциал Рисса положительной борелевской меры μ с компактным носителем представляет интерес в основном для теории потенциала, поскольку I _α μ является тогда (непрерывной) субгармонической функцией вне носителя μ и полунепрерывен снизу на всем R ⁿ .

Рассмотрение преобразования Фурье показывает, что потенциал Рисса является множителем Фурье . ^[1] Фактически, можно

${\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}$

и поэтому, по теореме о свертке ,

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}$

Потенциалы Рисса удовлетворяют следующему свойству полугруппы , например, для быстро убывающих непрерывных функций:

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

предоставил

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}$

Кроме того, если 0 < Re α < n –2 , то

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.}$

Для этого класса функций также имеется

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$

Смотрите также

• потенциал Бесселя
• Дробное интегрирование
• пространство Соболева

Примечания

1. Самко 1998, раздел II.

Ссылки

• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0350027
• Рис, Марсель (1949), «Интеграль Римана-Лиувилля и проблема Коши», Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN  0001-5962, MR  0030102.
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Потенциал Рисса", Энциклопедия математики , EMS Press
• Шикорра, Армин; Спектор, Даниэль; Ван Шафтинген, Жан (2014), Оценка типа An ${\displaystyle L^{1}}$ для потенциалов Рисса , arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937, S2CID  55497245
• Стайн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8
• Самко, Стефан Г. (1998), «Новый подход к обращению потенциального оператора Рисса» (PDF) , Дробное исчисление и прикладной анализ , 1 (3): 225–245