Непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана

Цепная дробь, тесно связанная с тождествами Роджерса–Рамануджана

Непрерывная дробь Роджерса –Рамануджана — это непрерывная дробь , открытая Роджерсом (1894) и независимо Шринивасой Рамануджаном , и тесно связанная с тождествами Роджерса–Рамануджана . Она может быть вычислена явно для широкого класса значений ее аргумента.

Представление раскраски области подходящей дроби функции , где — непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана. ${\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}$ ${\displaystyle q^{-1/5}R(q)}$ ${\displaystyle R(q)}$

Определение

Представление приближения цепной дроби Роджерса–Рамануджана. ${\displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}$

Учитывая функции и , появляющиеся в тождествах Роджерса–Рамануджана, и предположим , ${\displaystyle G(q)}$ ${\displaystyle H(q)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\,j}}\,\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\[6pt]&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

с коэффициентами q -разложения OEIS : A003114 и OEIS : A003106 , соответственно, где обозначает бесконечный q-символ Похгаммера , j — j-функция , а ₂ F ₁ — гипергеометрическая функция . Тогда непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана равна ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}=q^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{(n|5)}\\[8pt]&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle (n\mid m)}$— символ Якоби.

Следует быть осторожным с обозначениями, поскольку формулы, использующие j-функцию, будут согласовываться с другими формулами только в том случае, если (квадрат нома ) используется в этом разделе, поскольку q -разложение j-функции (а также известная функция Дедекинда эта ) использует . Однако Рамануджан в своих примерах к Харди и приведенных ниже использовал вместо этого ном . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Особые ценности

Если q — ном или его квадрат, то и , а также их частное , связаны с модулярными функциями от . Поскольку они имеют целые коэффициенты, теория комплексного умножения подразумевает, что их значения для мнимого квадратичного поля являются алгебраическими числами , которые можно вычислить явно. ${\displaystyle q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}$ ${\displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Примеры R(q)

Учитывая общую форму, в которой Рамануджан использовал ном , ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}}$

е когда , ${\displaystyle \tau =i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =2i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi }=0.284079\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =4i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {4\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-8\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =2{\sqrt {5}}i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big (}5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0602094\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =5i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-5\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-\pi }}{1+{\cfrac {e^{-5\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}-{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.0432139\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =10i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-10\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}3{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}-4-\varphi {\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00186744\dots }$

когда , ${\displaystyle \tau =20i}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-20\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+{\cfrac {e^{-40\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\varphi ^{2}}{\varphi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\varphi -3{\sqrt {\varphi -1}})(3\varphi ^{3/2}+{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-\varphi =0.00000348734\dots }$

и является золотым сечением . Обратите внимание, что является положительным корнем уравнения четвертой степени , ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}}$

${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-2x+1=0}$

в то время как и являются двумя положительными корнями одной восьмерки , ${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}}$ ${\displaystyle R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}}$

${\displaystyle y^{4}+2\varphi ^{4}y^{3}+6\varphi ^{2}y^{2}-2\varphi ^{4}y+1=0}$

(так как имеет квадратный корень), что объясняет сходство двух замкнутых форм. В более общем случае, для положительного целого числа m , то и являются двумя корнями одного и того же уравнения, а также, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R(e^{-2\pi /m})}$ ${\displaystyle R(e^{-2\pi \,m})}$

${\displaystyle {\bigl [}R(e^{-2\pi /m})+\varphi {\bigr ]}{\bigl [}R(e^{-2\pi \,m})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi }$

Алгебраическая степень k для равна ( OEIS : A082682 ) . ${\displaystyle R(e^{-\pi \,n})}$ ${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots }$ ${\displaystyle k=8,4,32,8,\dots }$

Кстати, эти непрерывные дроби можно использовать для решения некоторых уравнений пятой степени, как показано в следующем разделе.

ПримерыГ(д) иЧАС(д)

Интересно, что существуют явные формулы для и в терминах j-функции и цепной дроби Роджерса-Рамануджана . Однако, поскольку использует квадрат нома , то следует быть осторожным с обозначениями, такими как и использовать то же самое . ${\displaystyle G(q)}$ ${\displaystyle H(q)}$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi \,i\tau }}$ ${\displaystyle j(\tau ),\,G(q),\,H(q)}$ ${\displaystyle r=R(q)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\[6pt]&=q^{1/60}{\frac {j(\tau )^{1/60}}{(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{1/20}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\[6pt]&={\frac {-1}{q^{11/60}}}{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{11/20}}{j(\tau )^{11/60}\,(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}}$

Конечно, вторичные формулы подразумевают, что и являются алгебраическими числами (хотя обычно высокой степени) для мнимого квадратичного поля . Например, приведенные выше формулы упрощаются до, ${\displaystyle q^{-1/60}G(q)}$ ${\displaystyle q^{11/60}H(q)}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(e^{-2\pi })&=(e^{-2\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}}\\[6pt]&=1.00187093\dots \\[6pt]H(e^{-2\pi })&={\frac {1}{(e^{-2\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi )^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}\\[6pt]&=1.00000349\ldots \end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}G(e^{-4\pi })&=(e^{-4\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}}\\[6pt]&=1.000003487354\dots \\[6pt]H(e^{-4\pi })&={\frac {1}{(e^{-4\pi })^{11/60}}}{\frac {1}{(5\,\varphi ^{3})^{1/4}\,(\varphi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}\\[6pt]&=1.000000000012\dots \end{aligned}}}$

и так далее, используя золотое сечение. ${\displaystyle \varphi }$

Вывод специальных значений

Тангенциальные суммы

Далее мы выражаем основные теоремы Роджерса-Рамануджана о непрерывных дробях R и S, используя тангенциальные суммы и тангенциальные разности:

${\displaystyle a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}}$

${\displaystyle c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}}$

Эллиптический ном и дополнительный ном имеют следующую связь друг с другом:

${\displaystyle \ln(q)\ln(q_{1})=\pi ^{2}}$

Дополнительный ном модуля k равен ному пифагорейского дополнительного модуля:

${\displaystyle q_{1}(k)=q(k')=q({\sqrt {1-k^{2}}})}$

Это теоремы отражения для цепных дробей R и S:

Буква в точности представляет собой золотое число : ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)=\cot[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\cos({\tfrac {1}{5}}{\pi })}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)=\tan[{\tfrac {1}{2}}\arctan(2)]=2\sin({\tfrac {1}{10}}{\pi })}$

Теоремы для квадратного нома строятся следующим образом:

Приведены следующие соотношения между цепными дробями и тета-функциями Якоби:

Вывод лемнискатных значений

В представленные теоремы вставлены определенные значения:

${\displaystyle S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=\Phi }$

Поэтому справедливо следующее тождество:

В аналоговой схеме получаем такой результат:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

Поэтому справедливо следующее тождество:

Более того, мы получаем то же самое соотношение, используя вышеупомянутую теорему о тета-функциях Якоби:

${\displaystyle S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=S(q)\oplus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{00}(q^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}{5\,\vartheta _{00}(q^{5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=1}$

Этот результат появляется из-за формулы суммирования Пуассона , и это уравнение можно решить следующим образом:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=1\ominus S{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1\ominus \tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}$

Используя другую упомянутую теорему о тета-функциях Якоби, можно определить следующее значение:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-\pi ){\bigr ]}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}-1}{{\sqrt[{4}]{5}}+1}}={\sqrt[{4}]{5}}\ominus 1=\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Эта цепочка уравнений приводит к следующей тангенциальной сумме:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}\oplus \tan {\bigl [}\arctan({\sqrt[{4}]{5}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

И поэтому получается следующий результат:

На следующем шаге мы снова используем теорему отражения для цепной дроби R:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-4\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(2){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}}$

И появляется еще один результат:

Вывод нелемнискатных значений

Теорема отражения теперь используется для следующих значений:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}}$

Тета-теорема Якоби приводит к еще одному соотношению:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\ominus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=R(q)\ominus R(q^{2}){\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}{\bigl [}q=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

Тангенциальным сложением двух упомянутых теорем получаем следующий результат:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\oplus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

При тангенциальном вычитании получается следующий результат:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\oplus R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus \tan {\bigl [}2\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}}$

В качестве альтернативного решения мы используем теорему для квадрата нома:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}\oplus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}=1}$

${\displaystyle {\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{-1}+1{\bigr \}}{\bigl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+1{\bigr \}}=2}$

Теперь снова берем теорему об отражении:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\Phi ^{-1}\ominus R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}$

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}={\frac {1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}}$

Подстановка последнего выражения в теорему о квадрате нома дает следующее уравнение:

${\displaystyle {\biggl \{}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}{\frac {\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}{1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}}}+1{\biggr \}}{\biggl \langle }R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\frac {{\bigl \{}1-\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}{{\bigl \{}\Phi +R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}+1{\biggr \rangle }=2}$

Стирая знаменатели, получаем уравнение шестой степени:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{6}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{5}-{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{4}+}$

${\displaystyle +2\,{\sqrt {5}}\,\Phi R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{3}+{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}^{2}+2\,\Phi ^{-2}R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}-1=0}$

Решением этого уравнения является уже упомянутое решение:

${\displaystyle R{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,)-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccot}(2){\bigr ]}}$

Отношение к модульным формам

${\displaystyle R(q)}$может быть связана с функцией Дедекинда эта , модульной формой веса 1/2, как, ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}$

Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана также может быть выражена через тета-функции Якоби . Напомним обозначения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}$

Обозначение немного легче запомнить , так как с четными индексами в левой части. Таким образом, ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta _{2}^{4}+\theta _{4}^{4}=\theta _{3}^{4}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\frac {\theta _{4}(x^{1/5})[5\,\theta _{4}(x^{5})^{2}-\theta _{4}(x)^{2}]}{2\,\theta _{4}(x^{5})[\theta _{4}(x)^{2}-\theta _{4}(x^{1/5})^{2}]}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}+{\bigg (}{\frac {\theta _{2}(x^{1/10})\,\theta _{3}(x^{1/10})\,\theta _{4}(x^{1/10})}{2^{3}\,\theta _{2}(x^{5/2})\,\theta _{3}(x^{5/2})\,\theta _{4}(x^{5/2})}}{\bigg )}^{1/3}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\times \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}$

${\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\times \cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}$

Обратите внимание, однако, что тета-функции обычно используют ном q = e ^iπτ , в то время как эта-функция Дедекинда использует квадрат нома q = e ^2iπτ , таким образом, переменная x была использована вместо этого для поддержания согласованности между всеми функциями. Например, пусть so . Подставляя это в тета-функции, получаем одно и то же значение для всех трех формул R ( x ), что является правильной оценкой непрерывной дроби, данной ранее, ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle x=e^{-\pi }}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\frac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

Можно также определить эллиптический ном,

${\displaystyle q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}}$

Маленькая буква k описывает эллиптический модуль, а большая буква K описывает полный эллиптический интеграл первого рода. Цепная дробь может быть также выражена эллиптическими функциями Якоби следующим образом:

${\displaystyle R{\big (}q(k){\big )}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan y{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} y{\biggr \}}^{2/5}=\left\{{\frac {{\sqrt {y^{2}+1}}-1}{y}}\right\}^{1/5}\left\{y\left[{\sqrt {{\frac {1}{y^{2}}}+1}}-1\right]\right\}^{2/5}}$

с

${\displaystyle y={\frac {2k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}{5-k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}.}$

Отношение к j-функции

Одна из формул, включающая j-функцию и эта-функцию Дедекинда, выглядит следующим образом:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}}$

где Поскольку также, ${\displaystyle x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}.\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}$

Исключив эта-частное между двумя уравнениями, можно выразить j ( τ ) через : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=R(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}}$

где числитель и знаменатель являются полиномиальными инвариантами икосаэдра . Используя модульное уравнение между и , находим, что, ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle R(q^{5})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\\[6pt]&j(5\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+18r^{25}+75r^{20}+75r^{10}-18r^{5}+1)^{2}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}}$

Пусть , тогда ${\displaystyle z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}}$ ${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}}$

который на самом деле является j-инвариантом эллиптической кривой ,

${\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}}$

параметризованный неточечными точками модульной кривой . ${\displaystyle X_{1}(5)}$

Функциональное уравнение

Для удобства можно также использовать обозначение, когда q = e ^2πiτ . В то время как другие модулярные функции, такие как j-инвариант, удовлетворяют, ${\displaystyle r(\tau )=R(q)}$

${\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )}$

и функция Дедекинда эта имеет,

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )}$

функциональное уравнение цепной дроби Роджерса–Рамануджана включает ^[2] золотое сечение , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\varphi \,r(\tau )}{\varphi +r(\tau )}}}$

Кстати,

${\displaystyle r({\tfrac {7+i}{10}})=i}$

Модульные уравнения

Существуют модульные уравнения между и . Элегантные уравнения для малых простых n следующие. ^[3] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle R(q^{n})}$

Для , пусть и , тогда ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{2})}$ ${\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Для , пусть и , тогда ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{3})}$ ${\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Для , пусть и , тогда ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{5})}$ ${\displaystyle v(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}$

Или, что эквивалентно, для , пусть и и , тогда ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{5})}$ ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle u^{5}={\frac {v\,(v^{2}-\varphi ^{2}v+\varphi ^{2})(v^{2}-\varphi ^{-2}v+\varphi ^{-2})}{(v^{2}+v+\varphi ^{2})(v^{2}+v+\varphi ^{-2})}}.}$

Для , пусть и , тогда ${\displaystyle n=11}$ ${\displaystyle u=R(q)}$ ${\displaystyle v=R(q^{11})}$ ${\displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}$

Относительно , обратите внимание, что ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).}$

Другие результаты

Рамануджан нашел много других интересных результатов относительно . ^[4] Пусть , и как золотое сечение . ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Если тогда, ${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle {\bigl [}R(e^{-2a})+\varphi {\bigl ]}{\bigl [}R(e^{-2b})+\varphi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\varphi .}$

Если тогда, ${\displaystyle 5ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle {\bigl [}R^{5}(e^{-2a})+\varphi ^{5}{\bigl ]}{\bigl [}R^{5}(e^{-2b})+\varphi ^{5}{\bigr ]}=5{\sqrt {5}}\,\varphi ^{5}.}$

Степени также могут быть выражены необычными способами. Для его куба , ${\displaystyle R(q)}$

${\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}}$

где

${\displaystyle \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}},}$

${\displaystyle \beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}.}$

Для его пятой степени пусть , тогда, ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$

${\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)}$

Уравнения пятой степени

Общее уравнение пятой степени в форме Бринга-Джеррарда:

${\displaystyle x^{5}-5x-4a=0}$

для каждого действительного значения можно решить с помощью цепной дроби Роджерса-Рамануджана и эллиптического нома ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle R(q)}$

${\displaystyle q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k){\big ]}.}$

Чтобы решить эту квинтику, эллиптический модуль должен быть сначала определен как

${\displaystyle k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})].}$

Тогда настоящее решение —

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{4\cot \langle 4\arctan\{S\}\rangle -3}}}}\\&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{{\frac {2}{S-1}}+{\frac {2}{S+1}}+{\frac {1}{S}}-S-3}}}}.\end{aligned}}}$

где . Напомним, в предыдущем разделе 5-я степень может быть выражена как : ${\displaystyle S=R[q(k)]\,R^{2}[q(k)^{2}].}$ ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle R^{5}[q(k)]=S\left({\frac {1-S}{1+S}}\right)^{2}}$

Пример 1

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Преобразовать в,

${\displaystyle ({\sqrt[{4}]{5}}x)^{5}-5({\sqrt[{4}]{5}}x)-4({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})=0}$

таким образом,

${\displaystyle a={\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}}$

${\displaystyle k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(a^{2})]={\tfrac {5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}-16}}}{5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}+16}}}}}$

${\displaystyle q(k)=0.0851414716\dots }$

${\displaystyle R[q(k)]=0.5633613184\dots }$

${\displaystyle R[q(k)^{2}]=0.3706122329\dots }$

и решение таково:

${\displaystyle x={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{R[q(k)]\,R[q(k)^{2}]^{2}\}\rangle -15}}}}=1.167303978\dots }$

и не могут быть представлены элементарными корневыми выражениями.

Пример 2

${\displaystyle x^{5}-5x-4{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}{\Bigr )}=0}$

таким образом,

${\displaystyle a={\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}}$

Учитывая более знакомые цепные дроби с замкнутыми формами,

${\displaystyle r_{1}=R{\big (}e^{-\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.511428\dots }$

${\displaystyle r_{2}=R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\sqrt[{4}]{5}}\,\varphi ^{1/2}-\varphi =0.284079\dots }$

${\displaystyle r_{4}=R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\varphi \,({\sqrt {5}}-\varphi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\varphi ^{3/2})=0.081002\dots }$

с золотым сечением и решение упрощается до ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{1}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{2}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{1}\,r_{2}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{1}\,r_{2}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{2}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{4}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{2}\,r_{4}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{2}\,r_{4}^{2}\}\rangle -15}}}}\\[6pt]&={\sqrt[{4}]{8}}=1.681792\dots \end{aligned}}}$

Ссылки

1. Дьюк, У. «Непрерывные дроби и модулярные функции», https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
2. Дьюк, У. «Непрерывные дроби и модулярные функции» (стр. 9)
3. Берндт, Б. и др. «Непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана», http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
4. Берндт, Б. и др. «Непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана»

• Роджерс, Л. Дж. (1894), «Второй мемуар о расширении некоторых бесконечных произведений», Труды Лондонского математического общества , с. 1-25 (1): 318–343, doi :10.1112/plms/s1-25.1.318
• Berndt, BC; Chan, HH; Huang, SS; Kang, SY; Sohn, J.; Son, SH (1999), «Непрерывная дробь Роджерса–Рамануджана» (PDF) , Журнал вычислительной и прикладной математики , 105 (1–2): 9–24, doi : 10.1016/S0377-0427(99)00033-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тождества Роджерса-Рамануджана». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана». MathWorld .